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2021海南省北京师范大学万宁附中高二下学期第一次月考数学试题含答案
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北师大万宁附中2020-2021学年度下学期高二第一次月考数学试题第Ⅰ卷（选择题 共 60分）一单选题（8×5=40分）1．已知集合P＝{x|－16 D．a<－1或a>26若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为( ) A 1 B．eq \r(2) C.eq \f(\r(2),2) D．eq \r(3)7如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x1＋x2＝( )A.eq \f(2,3) B．eq \f(10,9) C.eq \f(8,9) D． 8．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为A.232 B.252 C.472 D.484二多选题（4×5=20分）9．已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是（ ）A．函数的增区间是B．函数的增区间是C．是函数的极小值点D．是函数的极小值点10已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是（ ） B． C． D．11．、、、、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ）A．若、两人站在一起有24种方法 B．若、不相邻共有72种方法C．若在左边有60种排法 D．若不站在最左边，不站最右边，有78种方法12．已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=1，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（ ）A．函数g(x)在(1，+∞)上为单调递增函数 B．x=1是函数g(x)的极小值点C．函数g(x)至多有两个零点 D．当x≤0时，不等式恒成立第Ⅱ卷（非选择题 共90 分）三填空题（4×5=20分）13已知函数，求过定点（1，）的切线方程是__________14．3封信件投到4个信箱中总共有________种投信方法15用0、 1、 2、 3 、4、 5 六个数字可组成__________个无重复数字且不大于4310的四位偶数。16已知函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围是____四 解答题（70分）17（10分）已知函数（1）求它的最小正周期和单调递增区间；（2）若，求此函数的值域.18（12分）．已知等差数列满足，且是，的等比中项.求数列的通项公式； （2）设.求数列的前n项和.19（12分）．在直三棱柱中，分别是线段的中点，过线段的中点作的平行线，分别交于点． （1）证明：平面平面；(2)求二面角的余弦值．20（12分）某校从高二年级学生中随机抽取40名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中实数a的值;(2)若该校高二年级共有学生640人,试估计该校高二年级期中考试数学成绩不低于60分的学生人数;(3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，有，椭圆的离心率为；（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，过点作斜率为的直线与椭圆交于不同两点，线段的中垂线为，记的纵截距为，求的取值范围22．（12分）已知.其中常数.（1）当时，求在上的最大值；（2）若对任意均有两个极值点，（ⅰ）求实数b的取值范围；（ⅱ）当时，证明：.答案一选择题1 A 2 B 3 C 4 C 5 C 6 B 7 A 8 C 9 BD 1 0 ACD 11 BCD 12 ABC二填空题13 3 14 64 15 110 16 (2 e)三解答题17）……….2由，得，………..4.故此函数的单调递增区间为（）………5（2）由，得………6的值域为……….8的值域为，……9故此函数的值域为……10（18）设等差数列的公差为d，∵，即，……2，，，∴，，，∵是，的等比中项，……4∴，即，解得∴数列的通项公式为……6（2）由（1）得…….8∴……10。……12（19）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴BC⊥AD，∵M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC，∴MN⊥AD，…………….2∵AA1⊥平面ABC,平面ABC，∴AA1⊥MN，∵AD,AA1平面ADD1A1，且AD∩AA1=A，∴MN⊥平面ADD1A1∴，……….4又平面A1MN，所以平面A1MN⊥平面ADD1A1；………6（2）设AA1=1，如图：过A1作A1E∥BC，建立以A1为坐标原点，A1E，A1D1，A1A分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图则A1(0，0，0)，A(0，0，1)，∵P是AD的中点，∴M，N分别为AB，AC的中点．则，，………..8则，，，设平面AA1M的法向量为，则，得, 令，则，则，同理设平面A1MN的法向量为，则，得，令，则，则，………………10则，∵二面角A-A1M-N是锐二面角，∴二面角A-A1M-N的余弦值是．……………………..12(20)解：(1 ) a= 0.030………………………………….3(2)根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为 ．………………………………………4由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为人．……………………………6（3）解：成绩在分数段内的人数为人，分别记为，．成绩在分数段内的人数为人，分别记为，，，．7分若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共15种．…………………………………………………9分如果两名学生的数学成绩都在分数段内或都在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10．如果一个成绩在分数段内，另一个成绩在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．………..10记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件，则事件包含的基本事件有：，，，，，，共7种．……………………11所以所求概率为．……………………………………………………….12（21）由题意知，所以，所以 ， 又因为椭圆的离心率为，可得，…………………………………2所以，所以椭圆的标准方程为………………...3 （2）由题意可知直线的斜率存在，设，联立方程组，整理得，……4可得，………………………………….5.又由，解得，故，设的中点为，则，所以，即，………………7化简得，………………………………………..8令，可得，……………………….9则，当时，恒成立，…………10所以在上为单调递增函数，所以，………..11即求的取值范围……………12.（22）由得，，求导，……………………………………………….1，，，，即………….2在上单增，且，即，，在上单减，…………………………………………………..3（2）（ⅰ）求导，因为对任意均有两个极值点，所以有两个根， 求二阶导，令，得…………………………………4当时，，单减；当时，，单增，…………………………………………………………………………………..6由有两个根，知，即对任意都成立，设，求导，令，得，当时，，单增；当时，，单减，，………………………………………………..7又，所以实数b的取值范围是：……………………………………………….8（ⅱ）当时，，令，得…………………………………………………………9当时，，单减；当时，，单增，又是的两根，且，，设，即，则在单增，，即又，，又在上单增，，即，又在上单减，…………………10令，则在单增，且，，故在单增……………………………………11又，，即………………….12
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