四川省广安友谊中学2024届高三数学（理）上学期9月月考试题（Word版附解析）

友谊中学高2021级高三上学期9月月考

数学（理）试卷

总分150分  考试时间120分钟

一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）

1. 设集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由描述法表示集合，求函数的定义域可得集合A，再由集合的交集的定义可求解.

【详解】集合，故，

故选：B.

2. 已知命题，都有．则（    ）

A. ，使得 B. ，总有

C. ，总有 D. ，使得

【答案】A

【解析】

【分析】利用全称量词命题的否定求解即可.

【详解】因为量词命题的否定步骤是：改量词，否结论，

所以命题，都有的否定为，使得.

故选：A.

3. 已知函数，则（    ）

A.  B. 2 C. 2e D.

【答案】A

【解析】

【分析】变形得到，求导后求出，求出答案.

【详解】，

其中，故，

故.

故选：A

4. 函数的图象大致为（    ）

A.      B.    

C.      D.    

【答案】B

【解析】

【分析】判断函数的奇偶性可排除CD；时判断出的值域排除A，即可得出答案.

【详解】函数的定义域为，

所以为偶函数，排除CD选项，

当时，，

则，排除A选项.

故选：B.

5. 函数的一个零点在内，另一个零点在（    ）内.

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意结合零点存在性定理列不等式组求解即可.

【详解】因为函数的一个零点在内，

所以，又因为函数在连续不断，根据零点存在性定理另一个零点在内.

故选：C.

6. 苂光定量PCR是一种通过化学物质的苂光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA进行实时监测的方法.在PCR扩增的指数时期，苂光信号强度达到阀值时，DNA的数量与扩增次数满足，其中为DNA的初始数量，为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增6次后，数量变为原来的100倍，则扩增效率约为（    ）（参考数据：）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，得出方程，结合对数的运算性质，即可求解.

【详解】由题意，可得，即，

所以，可得，

解得.

故选：C.

7. 已知定义在上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性、单调性以及导数等知识确定正确答案.

【详解】的定义域是，所以是奇函数.

当时，，

所以在上单调递增.，

由于，

所以，即.

故选：B

8. 下列四个图象中，有一个图象是函数的导数的图象，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出函数的导数，由导函数的特性确定函数图象，进而求出a值作答.

【详解】函数，求导得，

于是函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线，①②不满足，

又，即函数的图象对称轴不是y轴，④不满足，因此符合条件的是③，

函数的图象过原点，且，显然，从而，

，所以.

故选：D

9. 函数在区间上单调递减的必要不充分条件是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由复合函数的单调性与充分必要条件的概念判断，

【详解】设．

∵在上单调递减，

∴由复合函数的单调性法则可知，在上单调递减，且在上恒成立．

（注意对数的真数在上大于0）

又在上单调递减，（若函数在上单调递减，则）

∴解得．

则可得函数在区间上单调递减的充要条件是．

而所求是函数在区间上单调递减的必要不充分条件，

故只需看是哪一个的真子集，

故选：C

10. 已知定义在上的函数满足，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意设，结合题意可得，即函数是定义在上的奇函数，又当，时，，则，可得在，上单调递增，在，上单调递增，利用单调性，即可得出答案．

【详解】令，

则，即，

故函数是定义在上的奇函数，

当,时，，则，

故在,上单调递增，在,上单调递增，

所以在上单调递增，

又，则，

则不等式，即，

故，解得．

故选：C．

11. 定义在上的偶函数满足，当时，，若在区间内，函数有个零点，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】等价于与的图象在有5个交点，利用已知可得是周期为4的函数，且图象关于对称，画出的图象结合图象可得答案.

【详解】，

又是偶函数，所以，则，

所以的周期为4，由得的图象关于对称，

当时，，可得的大致图象如下，

若在区间内，函数有个零点，

等价于与的图象在有5个交点，

结合图象，当时与的图象恰好有5个交点，

当时与的图象有3个交点，不符合题意，

可得，此时，可得，

则实数的取值范围是.

故选：D.

  【点睛】关键点点睛：本题的解题的关键点是等价于与的图象在有5个交点，利用已知条件画出它们的图象，考查了学生的思维能力、运算能力.

12. 函数，函数，若对恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】不等式变形为，引入新函数，，利用导数判断函数的单调性，

利用单调性化简不等式可得，取对数，变形为，再引入新函数，x∈（0，+∞），求得它的最大值即可得参数范围．

【详解】因为，对恒成立，

又，

所以，即，

即，

令，，

∴，设，

则，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

可得时，函数取得极小值即最小值，，

∴恒成立，

∴函数在上单调递增，又原不等式等价于，

所以，即，即恒成立，

令，，则，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

可得时，函数取得极大值即最大值.，

所以.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13. 计算：______．

【答案】

【解析】

【分析】根据指数幂和对数运算公式，化简求值.

【详解】原式.

故答案为：

14. 定积分_______.

【答案】

【解析】

【分析】找到的导数为，的导数为，即可求解.

【详解】.

故答案为：.

15. 已知函数，直线．若A，B分别是曲线和直线l上的动点，则的最小值是__________

【答案】

【解析】

【分析】求出与平行的切线为，从而得到与的距离即为的最小值，得到答案.

【详解】，设在点处的切线与平行，即斜率为-2，

所以，解得，

则在点处的切线方程为，即

则与的距离即为的最小值，

即，故的最小值为.

故答案为：

16. 已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为___．

【答案】

【解析】

【分析】根据导数与极值的关系求解即可.

【详解】因为，所以，

为二次函数，且对称轴为，

所以函数在单调递增，

则函数在单调递增，

因为函数在上有极值，

所以在有解，

根据零点的存在性定理可知，即，

解得，

故答案为：.

三、解答题

17. 已知集合，集合．

（1）若，求实数m的取值范围；

（2）命题，命题，若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据一元二次不等式化简，即可由交集为空集，分情况讨论，

（2）根据真子集，即可列不等式求解.

【小问1详解】

由得，

由，

①若，即时，，符合题意；

②若，即时，需或，解得．

综上，实数m的取值范围为．

【小问2详解】

由已知A是B真子集，知，且两个端点不同时取等号，解得．

由实数m的取值范围为．

18. 已知：存在，，：任意，．

（1）若为假命题，求实数的取值范围；

（2）若为真，为假，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）先求出、为真命题时的取值范围，为假命题，则、都为假命题，列不等式组求解即可.

（2）为真，为假，则、一真一假，分类讨论列不等组求解.

【小问1详解】

解：真：恒过，显然不成立，开口向下，，

真：，解得.

为假，则假假，故.

【小问2详解】

，一真一假

假真，则有，

真假，则有，

综上：或.

19. 某单位在甲地成立了一家医疗器械公司吸纳附近贫困村民就工，已知该公司生产某种型号医疗器械的月固定成本为20万元，每生产1千件需另投入5.4万元，设该公司一月内生产该型号医疗器械x千件且能全部销售完，每千件的销售收入为万元，已知

（1）请写出月利润y（万元）关于月产量x（千件）的函数解析式；

（2）月产量为多少千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大？并求出最大月利润（精确到0.1万元）.

【答案】（1）   

（2）当月产量为8千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大，最大月利润为14.1万元

【解析】

【分析】（1）根据的表达式，去掉成本即可求解月利润，

（2）求导，利用导数求解上的最值，结合基本不等式即可求解 的最值，即可比较求解.

【小问1详解】

当时，，

当时，，

【小问2详解】

①当时，，，

令，可得

当时，，单调递增；当时，，单调递关系；

时，（万元）；

②当时，（万元）（当且仅当时取等号）.

综合①②知，当时，y取最大值14.1，

故当月产量为8千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大，最大月利润为14.1万元.

20. 已知定义域为的函数是奇函数

（1）求的值；

（2）判断的单调性，并用定义证明；

（3）若存在，使成立，求的取值范围.

【答案】（1），；   

（2）函数在上是减函数，证明见解析；   

（3）

【解析】

【分析】(1)根据函数奇偶性的性质建立方程进行求解；

(2)利用函数单调性的定义进行证明即可；

(3)根据函数单调性和奇偶性的性质将不等式进行转化求解即可.

【小问1详解】

因为函数是定义在上的奇函数，所以，

即，所以，

又因为，所以，将代入，解得，

经检验符合题意，所以，，.

【小问2详解】

由（1）知：函数，

函数在上是减函数，证明如下：

任取，且，

，

因为，所以，所以，

即，所以函数在上是减函数.

【小问3详解】

因为存在，使成立，

又因为函数是定义在上的奇函数，

所以不等式可转化为，

又因为函数在上是减函数，所以，

所以，令，

由题意可知：问题等价转化为，

又因为，所以.

故的取值范围为.

21. 已知函数.

（1）若是的极值点，求的值；

（2）讨论函数的单调性；

（3）若恒成立，求a的取值范围；

【答案】（1）   

（2）答案见解析    （3）；

【解析】

【分析】（1）由题意可得，从而可求出的值；

（2）求出函数的定义域，对函数求导后，分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间；

（3）将问题转化为恒成立，构造函数，利用导数求出其最大值，即可求出a的取值范围.

【小问1详解】

由，得，

因为是的极值点，

所以，即，所以，经检验符合题意.

【小问2详解】

.

当时，，所以在上单调递增；

当时，令，解得，

当时，；

当时，；

所以在上单调递增，在上单调递减，

综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；

【小问3详解】

的定义域为，若恒成立，则恒成立，

即恒成立，

令，只需，又，

令得，

时，，则单调递增；

时，，则单调递减；

所以，解得：；

【点睛】关键点点睛：第（3）问解题的关键是分离参数后，构造函数，然后利用导数求出函数的最值即得.

22. 已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）若不等式有解，求实数t的取值范围；

（3）若函数有两个零点x1，x2，证明：．

【答案】（1）答案见解析   

（2）   

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据导函数正负确定函数的单调性即可；

（2）把有解问题转化为，根据导函数应用隐零点求出最小值即可得；

（3）不妨设，且，，于是，构造函数设，对求导判断单调性即可得证.

【小问1详解】

，

单调递增；

单调递减；

【小问2详解】

有解，

所以，，

，

单调递增，

单调递减；

单调递增；

所以，

所以.

【小问3详解】

有两个零点x1，x2，

有两个根x1，x2， 不妨设，由（1）可知两根也是与的两个交点，

且，，于是，由于在单调递减，故等价于．

而，故等价于．①

设，则①式为．

因为．

设，

当时，，故在单调递增，

所以，从而，因此在单调递增．

又，故，故，于．

【点睛】关键点点睛 ：本题第(3)问是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式.