2022-2023学年浙江省金华市义乌市稠州中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省金华市义乌市稠州中学九年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据央视网消息，全国广大共产党员积极响应党中央号召，踊跃捐款，表达对新冠肺炎疫情防控工作的支持．据统计，截至年月日，全国已有万多名党员自愿捐款，共捐款亿元．亿用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列交通标识，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  在平面直角坐标系中，点所在的象限是(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

6.  已知反比例函数，下列说法中错误的是(    )

A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限
C. 图象关于直线对称 D. 随的增大而增大

7.  如图，半径为的扇形中，，为上一点，，，垂足分别为点、点若为，则图中阴影部分的面积为(    )
 

A.
B.
C.
D.

8.  我国古代数学名著孙子算经中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？如果设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  在平面直角坐标系中，已知函数，，，其中，、都是正实数，且满足设，，的图象与轴的交点个数分别为，，，则下列结论错误的是(    )

A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则或或
D. 若，，则

10.  如图，在中，，以，为边分别向外作正方形和正方形，交于点，交于点若，则(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  若分式的值不存在，则______．

12.  一个不透明的袋中装有个黑球、个白球和个红球，这些球除颜色外都相同，从这个袋中任意摸出一个球为白球的概率是______．

13.  若单项式与单项式是同类项，则______．

14.  如图，已知在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过的中点交于点，连接若的面积是，则四边形的面积是______ ．

15.  如图，在平面直角坐标系中，点，直线交轴于点，交轴于点，点在直线上，且的横坐标为，是线段上的点不和端点重合，连接，一动点从点出发沿线段以每秒个单位的速度运动到，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是______ 时，点在整个运动过程中用时最少．

16.  如图是某小车侧面示意图，图是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示单位：，且，，，箱盖开起过程中，点，，不随箱盖转动，点，，绕点沿逆时针方向转动相同角度，分别到点，，的位置，气簧活塞杆随之伸长已知直线，，那么的长为______，的长为______．
 

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  计算：．

四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解方程：．

19.  本小题分
在疫情期间，为落实“停课不停学”，某校对本校学生某一学科在家学习情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任课教师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习．参与调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图．根据如图所示的统计图，解答下列问题．

本次接受调查的学生有______名；
补全条形统计图；
根据调查结果，若本校有名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？

20.  本小题分
如图，已知由边长为的小等边三角形构成的网格中，每个小等边三角形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形，为格点三角形．请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．
画出绕点顺时针旋转后得到的；
在边上找一点，连接，使得的面积与的面积之比是：．

21.  本小题分
如图，是的直径，是的弦，点是外一点，连接、，．
求证：是的切线；
连接，若，且，的半径为，求的长．

22.  本小题分
我市某房地产开发公司计划建、两种户型的住房共套，种户型每套成本和售价分别为万元和万元，种户型每套成本和售价分别为万元和万元，设计划建户型套，所建户型全部售出后获得的总利润为万元．
求与之间的函数解析式；
该公司所建房资金不少于万元，且所筹资金全部用于建房，若户型不超过套，则该公司有哪几种建房方案？
在的前提下，根据国家房地产政策，公司计划每套户型住房的售价降低万元，户型住房的售价不变，且预计所建的两种住房全部售出，求该公司获得最大利润的方案．

23.  本小题分
等腰直角中，，点为延长线上一点，连接，以为斜边构造直角点与点在直线的异侧．
如图，若，，，求的长；
如图，若，连接，猜想线段与线段之间的数量关系并证明；
如图，若，，连接，取的中点，连接，当线段最短时，直接写出此时的面积．
 

24.  本小题分
如图，在中，，，点为射线上一动点，过作垂直射线于点，点为直线上一动点，连结、，以、为边作▱，设，求：
当时，则______用含的代数式表示；
当时，是否存在点使▱的顶点恰好落在射线上？若存在，求出的长，若不存在．请说明理由．
点在整个运动过程中，若点存在唯一的位置，使得▱为矩形，请求出所有满足条件的的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
根据绝对值的性质求解．
【解答】
解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同据此解答即可．
【解答】
解：亿，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：、原式，所以选项错误；
B、原式，所以选项错误；
C、原式，所以选项正确；
D、原式，所以选项错误．
故选：．
根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案．
【解答】
解：且，
，
点所在的象限是第四象限．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：反比例函数中，，
图象在二，四象限内，故B选项正确，不符合题意；
，
图象必经过，故A选项正确，不符合题意；
图象关于直线对称，故C选项正确，不符合题意；
反比例函数中，，
在每个象限内，随的增大而增大，故D选项错误，符合题意．
故选：．
根据反比例函数的性质以及图象进行判断，即可得到错误的选项．
本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数，当时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了扇形面积的计算，矩形的判定与性质，利用扇形的面积等于阴影的面积是解题的关键．
连接，证得四边形是矩形，则，得到，图中阴影部分的面积扇形的面积，利用扇形的面积公式即可求得．
【解答】
解：如图，连接，
，，，
四边形是矩形，
，
，
由矩形的性质得到，
，，
，
，
，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为：
．
故选：．
直接利用“绳长木条长；绳长木条长”分别得出等式求出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
抛物线顶点坐标为，
，
，
，
当时，，
，
，
，
，
．
当时，，
，
，
，
或或，
故选：．
由可得，分别讨论或，根据及中判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，

，
∽，
，
设，，
，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
∽，
，
，，
，
，
∽，
，
设，，
，
，
，，
，
故选：．
设，，由“”可证≌，可得，，利用相似三角形的性质分别求出，的长，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：若分式的值不存在，
则，
解得：，
故答案为：．
直接利用分式有意义的条件得出的值，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式有意义的条件：分式有意义的条件是分母不等于零是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：不透明的袋子里装有将个球，其中个白色的，
任意摸出个，摸到白球的概率是．
故答案为：．
先求出总球的个数，再根据概率公式即可得出答案．
此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为单项式与单项式是同类项，
所以，
所以，，
所以，
故答案为：．
根据同类项的定义，列方程求解即可．
本题考查同类项的定义，理解同类项的定义是正确解答的前提．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，过作，交轴于，
，反比例函数的图象经过的中点，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
四边形的面积为，
故答案为：．
作辅助线，构建直角三角形，利用反比例函数的几何意义得到，根据的中点，利用∽得到面积比为：，代入可得结论．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：
如图，过点作轴，轴点过点作，交延长线于点．
动点从点出发沿线段以每秒个单位的速度运动到，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止
点在整个运动过程的用时，
点在直线上，
，解得，
直线的解析式为：
点的坐标为：





，即点在整个运动过程所用的时间是线段与的长度之和，
当、、三点共线时，取得最小值．
点的横坐标与点的横坐标相等，点在直线上
点的坐标为：
点的坐标为
故答案为：
将点代入，可求出直线的解析式，过点作轴，轴点过点作，交延长线于点只要能证明当、、三点共线时所用的时间最小即可．
此题主要考查一次函数坐标点的特征，求出函数的解析式，灵活运用函数上的点的特征是解决此题的关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：过作延长线交于点，

，
，
，，
，
由旋转一定角度后得到可知，旋转角度为，
过作，交于点，
，，
，，
，
；
设，则，，
，
，
，
，
解得，或舍，
，
故答案为：，．
过作延长线交于点，由旋转一定角度后得到可知，旋转角度为，过作，交于点，分别表示出、的长，即可得出的长，设，则，利用勾股定理可得，代入解方程即可．
本题主要考查了解直角三角形的应用，已知三角函数表示边长，旋转的性质，以及勾股定理等知识，利用旋转的性质得出旋转角是是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】利用特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂的意义计算．
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和负整数指数幂．
 

18.【答案】解：，
方程两边都乘，得
，
解得，
检验：当时，．
故是原方程的解． 

【解析】方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
本题考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程求解．最后注意需验根．
 

19.【答案】
选择学习方式的人数有：人，
补全统计图如下：

根据题意得：
名，
答：估计有名学生参与任课教师在线辅导． 

【解析】解：本次接受调查的学生有：名；
故答案为：；

根据的人数和所占的百分比即可得出答案；
用总人数减去其他学习方式的人数，求出学习方式的人数，从而补全统计图；
用本校的总人数乘以参与任课教师在线辅导的人数所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作．
 

【解析】利用等边三角形的性质和旋转的性质画图；
利用平行线分线段成比例定理确定的三等分点，则，所以的面积与的面积之比是：．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了等边三角形的性质和平行线分线段成比例定理．
 

21.【答案】证明：连接，如图所示：
是的直径，
，
，
，
，
，
，
即，
是的切线；
解：的半径为，
，，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，
即，
． 

【解析】本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理、切线的判定是解决问题的关键．
连接，由圆周角定理得出，得出，再由，得出，证出，即可得出结论；
证明∽，得出对应边成比例，即可求出的长．
 

22.【答案】解：、两种户型的住房共套，户型套，则户型有套，
根据题意得，，
与之间的函数解析式为；
由题意得：，
解得：，
，
为正整数，
取，，，
该公司有种建房方案：
第一种：建种户型套，种户型套；
第二种：建种户型套，种户型套；
第三种：建种户型套，种户型套；
由题意得：，
当时，随的增大而增大，
时，最大，
此时按中第三种方案；
当时，，
此时按中三种方案均可；
当时，随的增大而减小，
当时，最大，
此时按中第一种方案． 

【解析】根据种户型套，则种户型套，根据一套的利润总的套数总利润，列出一次函数可得出答案；
根据该公司所建房资金不少于万元且户型不超过套，得出该公司建房方案；
在的前提下，根据函数的性质求最值即可．
此题考查了一元一次不等式的应用和一次函数的应用，读懂题意，找出它们之间的数量关系，列出不等式或一次函数，掌握函数的增减性是解题的关键．
 

23.【答案】解：，，，
，，
，
，
或舍去，
；
，理由如下：
如图，取的中点，连接，
，，，
，，，
，
是的中点，
，
，
，
∽，
，
；
如图，过点作于，
，，
，
，
，
，
设，，且，
，
，
解得：，
，，
，，
∽，
，即，
，，
，，
，，
延长至，使，连接，以为直径作，连接，，
与交于点，
点是线段的中点，点是的中点，
，
当线段最短时，最短，
点在上，
最短时，点为与的交点，即与重合，
，，
，，，
，
，
，
的最小值为，
过点作于点，则，
，即，
，
；
当线段最短时，． 

【解析】由锐角三角函数可求，的长，由勾股定理可求的长；
取的中点，连接，通过证明∽，可得，即可求解；
过点作于，根据，设，，且，运用勾股定理求出，再由∽，得出，，，延长至，使，连接，以为直径作，连接，，与交于点，根据三角形中位线定理可得，当线段最短时，最短，即与重合，运用勾股定理可求出，过点作于点，即可求得答案．
本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形性质、点到直线的距离、勾股定理、线段垂直平分线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，掌握解直角三角形和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：如图中，

在中，，，，
，
，
，
，
，

故答案为

如图中，

，
，
点落在上，
，
，
，
．

当时，如图中，，，取的中点，过点作于，则，，，

，
由题意，
，
．

当时，如图中，即点与重合，此时．

当时，点与重合，如图中，

，
，，
，
∽，
，
，
．

当，与不重合，如图中，

，取的中点，作于，则，，，
，
由题意，，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或或或．
利用勾股定理求出，根据，求解即可．
如图中，由，推出即可解决问题．
分四种情形：当时，如图中，，，取的中点，过点作于，根据，国际关系即可解决问题．当时，如图中，即点与重合，此时当时，点与重合，如图中．当，与不重合，如图中，分别求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．