2022-2023学年浙江省金华市义乌市佛堂中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省金华市义乌市佛堂中学九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  国家卫健委网站消息：截至年月日，个省自治区，直辖市和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过亿剂次，用科学记数法表示亿是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图所示，这是由个大小相同的小正方体摆成的几何体，从左面看到的几何体的形状图是(    )
 

A.  B.
C.  D.

5.  关于的一元二次方程的根的情况是(    )

A. 只有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根

6.  如图，点是的中点，弦与交于点，，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得，，，则点到的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在矩形中，以点为圆心，以长为半径画弧交于点，将扇形剪下来做成圆锥，若，则该圆锥底面半径为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，一条抛物线与轴相交于、两点点在点的左侧，其顶点在线段上移动．若点、的坐标分别为、，点的横坐标的最大值为，则点的横坐标的最小值为(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在中，，以的各边为边分别作正方形，正方形与正方形，与相交于点，连接并延长交于点，且记的面积为，的面积为，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  若分式有意义，则的取值范围是______．

12.  从、、、、这五个数中随机抽取一个数，恰好是负数的概率是        ．

13.  某小组位同学的中考体育测试成绩满分分依次为，，，，，，，则这组数据的中位数是______ ．

14.  如图，反比例函数经过的直角边上一点，且，若，则        ．

15.  如图，在矩形中，，，将沿射线平移长度得到，连接，，则当是直角三角形时，的长为______．

16.  疫情期间，小红在家里在图所示的平板支架上网课，图是她观看网课的侧面示意图，已知平板宽度，支架底板宽度，支撑角，支撑板，小红坐在距离支架底板处观看即，点是中点．当视线与屏幕垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度等于______；当落在屏幕中点的视线与屏幕构成的夹角指锐角或直角不小于时，能使观看平板视频的效果最佳，为保证最佳的观看效果，小红眼睛距离桌面的最大高度和最小高度的差等于______．
 

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简再求值：，其中是不等式组的最小整数解．

19.  本小题分
教育部去年月份发布关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知，提出多项措施改善和保证学生睡眠时间．今年年初，某中学为了解九年级学生的睡眠状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，睡眠时间时，分为：，：，：，：四个睡眠时间段．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

本次抽样调查共抽取了______名学生，请补全条形统计图；
若该中学九年级共有名学生，请你估计该中学九年级学生中睡眠时间段为的学生有多少名？
若从睡眠时间段为的名男生名女生中随机的抽取名学生，了解睡眠时间较少的原因，求所抽取的两人恰好都是女生的概率．

20.  本小题分
如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于，两点，且点的坐标是、点的坐标是．

求一次函数与反比例函数的解析式；
求、两点的坐标，并求的面积；
根据图象直接写出：当在什么取值范围时，？

21.  本小题分
春节期间，小明发现远处大楼的大屏幕时出现了“新年快乐”几个大字，小明想利用刚学过的知识测量“新”字的高度：如图，小明先在处，测得“新”字底端的仰角为，再沿着坡面向上走到处，测得“新”字顶端的仰角为，坡面的坡度：，，假设、、、、在同一平面内．
求点的高度；
求“新”字的高度长保留一位小数，参考数据

22.  本小题分
如图，四边形内接于，，、的延长线交于点，点在上，且．
求证：是的切线；
若，，，求．

23.  本小题分
如图，某跳水运动员进行米跳台跳水训练，水面边缘点的坐标为运动员将运动员看成一点在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处点的坐标；
若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；
在该运动员入水点的正前方有，两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点距水面米，若该运动员出水点在之间包括，两点，请直接写出的取值范围．

24.  本小题分
如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向向点运动，同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向向点运动．当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．连结，在射线上截取，以，为邻边作菱形，设运动时间为秒．
当时，求菱形的面积．
当的面积为菱形面积的时，求的值．
作点关于直线的对称点．
当时，求线段的长．
当点落在菱形的边上时，请直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是，
故选：．
利用绝对值的定义求解即可．
本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】
解：亿．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可作出判断．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，正确把握相关定义是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层右边是一个小正方形，
因此，只有选项的图形符合题意．
故选：．
根据从左边看得到的图形，可得答案．
本题考查了从左边看物体的形状．
 

5.【答案】 

【解析】解：一元二次方程，
，
，
原方程有两个不相等的实数根，
故选：．
根据一元二次方程根的判别式进行判断即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图所示：连接，

，，
，
，
，
，
点是的中点，
，
，
．
故选：．
如图所示：连接，由，可得出，进而可求出，根据圆周角定理可知，即可得出结论．
本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图所示：

，，
，
在中，，
点到的距离为，故A正确．
故选：．
先求出，再用三角函数定义，求出，即可得出答案．
本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
 

8.【答案】 

【解析】解：在矩形中，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长，
圆锥的底面圆的半径为，
，
解得．
故选：．
首先得到是等腰直角三角形，进而得到，然后由勾股定理求出，然后根据扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长列方程求解即可．
此题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意知，
点的横坐标的最大值为，此时对称轴过点，点的横坐标最大，此时的点坐标为，
当对称轴过点时，点的横坐标最小，此时的点坐标为，点的坐标为，
故点的横坐标的最小值为，
故选：．
根据顶点在线段上移动，又知点、的坐标分别为、，分别求出对称轴过点和时的情况，即可判断出点横坐标的最小值．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平行于轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．
 

10.【答案】 

【解析】如图，作，垂足为，延长，交于，

，四边形与四边形为正方形，
，，，
．
，，
，，
四边形为矩形，
，，，．
四边形为正方形，
，，
，即，
在与中，
，
≌ ，
，，
设，，
则，，
，．
，
，，，
∽，∽，
，，
，，
，

，
，
，
，
，
，
，即，
，
．
故选：．
作，先证明四边形为矩形以及≌，由此得，，设，，再证明∽，∽，由此得最后分别求出，，即可得到答案．
本意主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解决此题的关键是证明≌、∽以及∽，得出
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分式的分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：在，，，这五个数中，负数有和、共个，
抽取一个数，恰好为负数的概率为，
故答案为：．
五个数中有两个负数，根据概率公式求解可得．
此题考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了中位数的定义，把数据按从小到大从大到小的顺序排列，位于最中间的一个数或中间两个数的平均数为中位数，由此即可确定这组数据中位数．
【解答】
解：把这组数据从小到大排序后为，，，，，，，
其中最中间的数据为，
所以这组数据的中位数为．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：设点坐标为，，，则，，
，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
设点坐标为，，，则，，，利用三角形的面积公式列方程求解即可．
本题考查反比例函数的几何意义，熟练掌握坐标与图形性质以及反比例函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：分两种情况：
如图，，延长交于，过点作，交的延长线于，

，
四边形是矩形，
，，
，即，
设，，
，
由平移得：，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
；
如图，，延长交于，则，

，
由平移得：，
同理设，，则，
，
，，
，
，
∽，
，即，
，
；
综上，的值是或．
分两种情况：
如图，，如图，，分别作辅助线，构建相似三角形，证明三角形相似列比例式可得对应的值．
本题主要考查了矩形的性质、平移的性质、勾股定理、三角函数、三角形相似的性质和判定、直角三角形的性质等知识点；解题关键是画出两种情况的图形，依题意进行分类讨论．
 

16.【答案】   

【解析】解：如图，延长交延长线于点，

由题意可知：，，
，
点是中点．
，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
当视线与屏幕垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度等于，
，
，
当时，得最小高度，如图，延长交延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
如图，过点作于点，

设，则，，
，
，
，
，
．
故答案为：；．
延长交延长线于点，先证明是等边三角形，进而可以求出的值；过点作于点，求出，进而可以解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的判定与性质，勾股定理，动点问题，解决本题的关键是得到．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：原式

，
由，得：，
由，得：，
则，
则不等式组的最小整数解为，
所以原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式组得出其最小整数解，继而代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及解一元一次不等式组的能力．
 

19.【答案】 

【解析】解：本次抽样调查的学生人数为名，类别人数为名，
补全图形如下：

估计该中学九年级学生中睡眠时间段为的学生有名；
画树状图如图：

共有个等可能的结果，所抽取的两人恰好都是女生的结果有个，
抽取的两人恰好都是女生的概率为．
由类别人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去、、人数求出对应人数，从而补全图形；
用总人数乘以样本中对应人数所占比例即可；
画树状图，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：把点代入，
，即，
故反比例函数的解析式为：．
把点的坐标是代入，得：，
点的坐标是．
把，代入，
得，解得，
故一次函数的解析式为：；
一次函数的解析式为：；
令，则；
令，则，
，，
；
当满足时，则． 

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度适中．利用了数形结合思想．
把点代入，求出，得到反比例函数的解析式；再把代入反比例函数的解析式，求出，得到点的坐标，把、两点的坐标代入，利用待定系数法求出一次函数的解析式；
把代入一次函数解析式，求出，得到点的坐标，把代入一次函数解析式，求出，得到点坐标，再根据，列式计算即可；
找出一次函数落在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值即可．
 

21.【答案】解：坡面的坡度：，
：，
，
，
即点的高度为；
如图，过作于，

由题意得，，
四边形是矩形，
在中，由勾股定理得：
，
，
在中，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
答：“新”字的高度约为． 

【解析】由坡度的概念求出即可；
由勾股定理求出，再由锐角三角函数定义求出和，即可解决问题．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，连接，
，
点必在上，即：是直径，
，
，
，
，
，
，
，即：，
点在上，
是的切线；
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
． 

【解析】先判断出是圆的直径，再判断出，即可得出结论；
根据余角的性质和等腰三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到．
此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键．
 

23.【答案】解：设抛物线的解析式为，
把代入解析式得：，
抛物线的解析式为；
令，则，
解得：舍去，，
入水处点的坐标为；
解：当距点水平距离为时，对应的横坐标为，
将．代入解析式得，
，
该运动品此次跳水失误了；
，，点的坐标为，
点，的坐标分别为，，
该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，
当抛物线过点时，，
把代入，得，
同理，当抛物线过点时，，
由点在之间得的取值范围为． 

【解析】根据题意，利用待定系数法求出抛物线解析式，令得出点的坐标为；
当距点水平距离为时，对应的横坐标为，将．代入解析式得，根据，确定该运动员此次跳水失误了；
根据题意得到点，，，当抛物线过点时，，分情况求出值，进而根据点在之间得出．
本题考查二次函数实际问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、二次函数的图像与性质、根据计算做决策及求参数范围等，读懂题意，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：如图，，
，
，，，
当时，则，，
四边形是菱形，
，
．
如图，，，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
如图，连接，延长交于点，
点与点关于直线对称，
垂直平分，
，，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
．
如图，点落在边上，延长交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
如图，点落在边上，延长交于点，则，
垂直平分，
，
，且，
，
，
综上所述，的值为或． 

【解析】根据题意，，，，当时，可分别求出、的长，再由勾股定理求出的长，即可求出菱形的面积；
先证明当的面积为菱形面积的时，则点为的中点，可知，导出，再列方程求出此时的值；
可证明当时，则，再由相似三角形的性质列方程求出此时的值，进而求出的长；
延长交于点，有两种情况，点落在边上，可导出和都是等腰直角三角形；点落在边上，可证明．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、菱形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数以及分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．