还剩18页未读，
继续阅读
浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团2023-2024学年九年级上学期11月期中数学试题
展开
这是一份浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团2023-2024学年九年级上学期11月期中数学试题，共28页。试卷主要包含了下列事件中，必然事件的是，下列命题中，正确的是，设函数，，等内容，欢迎下载使用。
1．二次函数y＝1﹣2x2的图象的开口方向（ ）
A．向左B．向右C．向上D．向下
2．下列事件中，必然事件的是（ ）
A．明天太阳从西边升起B．a是实数，则|a|≥0
C．某运动员跳高的最好成绩是20.1米D．班级里有两位同学同年同月同日生
3．如图，△AOB绕点O逆时针旋转75°得到△COD，若∠A＝100°，∠D＝50°，则∠BOC的度数是（ ）
A．30°B．35°C．45°D．60°
4．二次函数y＝2x2+x﹣1的图象与x轴的交点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．若⊙P的半径为13，圆心P的坐标为（5，12），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（ ）
A．在⊙P内B．在⊙P上C．在⊙P外D．无法确定
6．已知二次函数y＝﹣2x2+x﹣m图象上三点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3
7．下列命题中，正确的是（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；②90°的圆周角所对的弦是直径；
③不在同一条直线上的三个点确定一个圆；④相等的圆周角所对的弧相等．
A．①②B．②③C．②③④D．①③④
8．在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+1与二次函数y＝x2+m的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上的一点，D在⊙O上（不与点A，点B重合），连结PD交⊙O于点C，且PC＝OB．设∠P＝α，∠B＝β，下列说法正确的是（ ）
A．α+β＝90°B．3α+2β＝180°
C．5α+4β＝180°D．β﹣α＝30°
10．设函数，，．直线x＝b的图象与函数y1，y2，y3的图象分别交于点A（b，c1），B（b，c2），C（b，c3），（ ）
A．若b＜a1＜a2＜a3，则c2＜c3＜c1B．若a1＜b＜a2＜a3，则c1＜c2＜c3
C．若a1＜a2＜b＜a3，则c3＜c2＜c1D．若a1＜a2＜a3＜b，则c3＜c2＜c1
二．填空题（共6小题）
11．二次函数y＝（x﹣1）2+1的顶点坐标是 ．
12．一枚质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1～6的点数，抛掷这枚骰子1次，向上一面的点数大于4的概率是 ．
13．△ABC的三边长分别为6，8，10，则△ABC的外接圆的半径为 ．
14．如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AF，连接EF．若AB＝3，AC＝2，且α+β＝∠B，则EF＝ ．
15．在等边△ABC中，以BC边的中点O为圆心，BC长为半径画圆，分别交AB，AC边于点D，E，P是圆上一动点（与点D，E不重合），连接PD，PE，则∠DPE＝ ．
16．已知点A（m﹣2，y1），B（m，y2），C（x0，y0）在二次函数y＝ax2+6ax+c（a≠0）的图象上，且C为抛物线的顶点．
（1）若y1＝y2，则m的值是 ．
（2）若y0≤y1＜y2，则m的取值范围是 ．
三．解答题（共8小题）
17．已知：如图，⊙O中弦AB＝CD．求证：．
18．如图，△ABC绕顶点B顺时针旋转140°得△EBD，且连接CD，若∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，求∠BDC的度数．
19．2022年世界杯在卡塔尔举办．赛前通过抽签，将32支参赛队伍分为8组（A组、B组、C组、D组、E组、F组、G组和H组），每4支队伍一组．每组的4支队伍通过组内循环赛决出第一名和第二名晋级十六强．
（1）在抽签时，求甲队进入E组的概率（甲队进入各组的可能性相同）．
（2）已知甲、乙、丙、丁四支队伍同在E组，且四支队伍晋级十六强的可能性相同，请用列表或画树状图的方法求甲、乙两支队伍同时晋级十六强的概率．
20．二次函数的图象经过点A（﹣2，0），B（3，0），C（1，6）．
（1）求二次函数解析式；
（2）求当y＞4时，自变量x的取值范围．
21．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC交⊙O于点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由；
（2）若AB＝8，∠BAC＝45°，求：图中的长．
22．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长为28米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB＝x米，花园面积S．
（1）写出S 关于x的函数解析式，当S＝192平方米，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15米和6米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
23．定义：将函数C的图象绕点P（0，n）旋转180°，得到新的函数C1的图象，我们称函数C1是函数C关于点P的相关函数．
例如：当n＝1时，函数y＝（x﹣6）2+3关于点P（0，1）的相关函数为y＝（x+6）2﹣1．
（1）当n＝0时，
①二次函数y＝x2关于点P的相关函数为 ；
②点A（2，3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值；
（2）函数y＝﹣x2+关于点P的相关函数是y＝x2，则n＝ ；
（3）当n﹣1≤x≤n+3时，函数y＝﹣2x2+nxn2的相关函数的最小值为7，求n的值．
24．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝12，D是BC的中点．经过A，B，D的⊙O交AC于E点．
（1）求AE的长．
（2）当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B．记AP＝x，BQ＝y．
①求y关于x的表达式．
②连结PQ，当△PQC的面积最大时，求x的值．
（3）如图2，连结BE，BP，延长BP交⊙O于点F，连结FE．当EF与△BDE中的某一边相等时，求四边形BDEF的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．二次函数y＝1﹣2x2的图象的开口方向（ ）
A．向左B．向右C．向上D．向下
【分析】二次函数中二次项的系数决定抛物线的开口方向．
【解答】解：∵二次函数y＝1﹣2x2中﹣2＜0，
∴图象开口向下，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
2．下列事件中，必然事件的是（ ）
A．明天太阳从西边升起
B．a是实数，则|a|≥0
C．某运动员跳高的最好成绩是20.1米
D．班级里有两位同学同年同月同日生
【分析】根据随机事件的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、明天太阳从西边升起是不可能事件，不符合题意；
B、a是实数，则|a|≥0是必然事件，符合题意；
C、某运动员跳高的最好成绩是20.1米是随机事件，不符合题意；
D、班级里有两位同学同年同月同日生是随机事件，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
3．如图，△AOB绕点O逆时针旋转75°得到△COD，若∠A＝100°，∠D＝50°，则∠BOC的度数是（ ）
A．30°B．35°C．45°D．60°
【分析】由旋转的性质可得∠D＝∠B＝50°，∠AOC＝75°，由三角形内角和可求∠AOB＝30°，即可求∠BOC的度数．
【解答】解：∵△AOB绕点O逆时针旋转75°得到△COD，
∴∠D＝∠B＝50°，∠AOC＝75°，
∵∠A＝100°，∠B＝50°，
∴∠AOB＝30°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝45°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
4．二次函数y＝2x2+x﹣1的图象与x轴的交点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】求出判别式的值，根据抛物线与x轴的交点个数的判定方法判断即可．
【解答】解：△＝12﹣4×2×（﹣1）＝9＞0，
则二次函数y＝2x2+x﹣1的图象与x轴的交点的个数是2，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系，Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
5．若⊙P的半径为13，圆心P的坐标为（5，12），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（ ）
A．在⊙P内B．在⊙P上C．在⊙P外D．无法确定
【分析】根据P点坐标和勾股定理可计算出OP的长，然后判断出OP与⊙P的半径的大小关系，即可得出结论．
【解答】解：∵圆心P的坐标为（5，12 ），
∴OP＝＝13，
∵⊙P的半径为13，
∴OP＝r，
∴原点O在⊙P上．
故选：B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
6．已知二次函数y＝﹣2x2+x﹣m图象上三点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3
【分析】由解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性即可判断．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+x﹣m
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝，
∴当x＞时，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣1，y1）关于对称轴的对称点是（，0），而1＜＜2，
∴y3＜y1＜y2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的性质是解题的关键．
7．下列命题中，正确的是（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；
②90°的圆周角所对的弦是直径；
③不在同一条直线上的三个点确定一个圆；
④相等的圆周角所对的弧相等．
A．①②B．②③C．②③④D．①③④
【分析】利用垂径定理、圆周角定理、确定圆的条件等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，不符合题意；
②90°的圆周角所对的弦是直径，正确，符合题意；
③不在同一条直线上的三个点确定一个圆，正确，符合题意；
④同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解垂径定理、圆周角定理、确定圆的条件等知识，难度不大．
8．在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+1与二次函数y＝x2+m的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据一次函数的b＝1和二次函数的a＝1即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过y轴正半轴，从而排除A和C，分情况探讨m的情况，即可求出答案．
【解答】解：∵二次函数为y＝x2+m，
∴a＝1＞0，
∴二次函数的开口方向向上，
∴排除C选项．
∵一次函数y＝﹣mx+1，
∴b＝1＞0，
∵一次函数经过y轴正半轴，
∴排除A选项．
当m＞0时，则﹣m＜0，
一次函数经过一、二、四象限，
二次函数y＝x2+m经过y轴正半轴，
∴排除B选项．
当m＜0时，则﹣m＞0
一次函数经过一、二、三象限，
二次函数y＝x2+m经过y轴负半轴，
∴D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，解题的关键在于熟练掌握图象性质中系数大小与图象的关系．
9．如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上的一点，D在⊙O上（不与点A，点B重合），连结PD交⊙O于点C，且PC＝OB．设∠P＝α，∠B＝β，下列说法正确的是（ ）
A．α+β＝90°B．3α+2β＝180°
C．5α+4β＝180°D．β﹣α＝30°
【分析】连接OC，OD．首先证明3α+2β＝180°，再一一判断即可．
【解答】解：如图，连接OC，OD．
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB＝β，
∴∠POD＝∠B+∠ODB＝2β，
∵CP＝OB＝CO＝OD，
∴∠P＝∠COP＝α，∠OCD＝∠ODC，
∵∠OCD＝∠P+∠COP，
∴∠ODC＝2α，
∵∠P+∠POD+∠ODP＝180°，
∴3α+2β＝180°，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
10．设函数，，．直线x＝b的图象与函数y1，y2，y3的图象分别交于点A（b，c1），B（b，c2），C（b，c3），（ ）
A．若b＜a1＜a2＜a3，则c2＜c3＜c1
B．若a1＜b＜a2＜a3，则c1＜c2＜c3
C．若a1＜a2＜b＜a3，则c3＜c2＜c1
D．若a1＜a2＜a3＜b，则c3＜c2＜c1
【分析】按照题意，画出满足题意的图象，根据直线x＝b与二次函数图象的交点进行判断即可．
【解答】解：如图所示，
A．由图象可知，若b＜a1＜a2＜a3，当x＝b时，c1＜c2＜c3，故选项错误，不符合题意；
B．由图象可知，若a1＜b＜a2＜a3，，当x＝b时，c1＜c2＜c3不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C．由图象可知，若a1＜a2＜b＜a3，当x＝b时，c3＜c2＜c1不一定成立，故选项错误，不符合题意；
D．由图象可知，若a1＜a2＜a3＜b，当x＝b时，c3＜c2＜c1，故选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．二次函数y＝（x﹣1）2+1的顶点坐标是 （1，1） ．
【分析】根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2+1，
∴二次函数的顶点坐标为（1，1），
故答案为：（1，1）．
【点评】本题主要考查了求二次函数顶点坐标，熟知对于二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．
12．一枚质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1～6的点数，抛掷这枚骰子1次，向上一面的点数大于4的概率是 ．
【分析】先求出点数大于4的数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：∵点数大于4的数为：5，6，
∴向上一面的点数大于4的概率＝；
故答案为：．
【点评】本题考查的是概率公式，熟记随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
13．△ABC的三边长分别为6，8，10，则△ABC的外接圆的半径为 5 ．
【分析】先利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，利用斜边为外接圆的直径计算△ABC的外接圆的半径．
【解答】解：∵62+82＝102，
∴△ABC为直角三角形，10为斜边，
∴△ABC的外接圆的半径＝×10＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理的逆定理；熟记直角三角形的外接圆的半径为斜边的一半，证明△ABC为直角三角形是解题的关键．
14．如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AF，连接EF．若AB＝3，AC＝2，且α+β＝∠B，则EF＝ ．
【分析】由旋转的性质可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，由勾股定理可求EF的长．
【解答】解：由旋转的性质可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，
∵∠B+∠BAC＝90°，且α+β＝∠B，
∴∠BAC+α+β＝90°
∴∠EAF＝90°
∴EF＝＝
故答案为：
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
15．在等边△ABC中，以BC边的中点O为圆心，BC长为半径画圆，分别交AB，AC边于点D，E，P是圆上一动点（与点D，E不重合），连接PD，PE，则∠DPE＝ 150°或30° ．
【分析】连接OD，OE，求出∠DOE，再分当点P在优弧DBE上时和当点P在劣弧DE上时，分别求出∠DPE即可．
【解答】解：如图，连接OD，OE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵OD＝OB＝OC＝OE，
∴∠BOD＝∠COE＝60°，
∴∠DOE＝60°，
当点P在优弧DBE上时，∠DPE＝∠DOE＝30°，
当点P在劣弧DE上时，∠DPE＝180°﹣30＝150°，
∴∠DPE＝150°或30°，
故答案为：150°或30°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，理解题意，画出图形，进行分类讨论是解题的关键．
16．已知点A（m﹣2，y1），B（m，y2），C（x0，y0）在二次函数y＝ax2+6ax+c（a≠0）的图象上，且C为抛物线的顶点．
（1）若y1＝y2，则m的值是 ﹣2 ．
（2）若y0≤y1＜y2，则m的取值范围是 m＞﹣2 ．
【分析】由抛物线顶点为最低点可得抛物线开口向上，由抛物线解析式可得抛物线对称轴，求出点A，B关于对称轴对称时m的值，结合抛物线开口方向求解．
【解答】解：（1）抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣3，
∵y1＝y2，
∴＝﹣3，
∴m﹣1＝﹣3，
∴m＝﹣2，
故答案为：﹣2；
（2）点C为抛物线顶点，y0≤y1＜y2，抛物线开口向上，顶点为最低点，
∵y＝ax2+6ax+c，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣3，
当点A，B关于抛物线对称轴对称时，＝﹣3，
解得m＝﹣2，
∵y0≤y1＜y2，
∴m＞﹣2，
故答案为：m＞﹣2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
三．解答题（共8小题）
17．已知：如图，⊙O中弦AB＝CD．求证：．
【分析】根据在同圆或等圆中，等弧对等弦，由AB＝CD，得，再等量减去等量还是等量知弧AB﹣弧BD＝弧CD﹣弧D，即．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴，
∴﹣＝﹣，
∴．
【点评】本题利用了在同圆或等圆中，等弧对等弦及等弧对等弦求解．
18．如图，△ABC绕顶点B顺时针旋转140°得△EBD，且连接CD，若∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，求∠BDC的度数．
【分析】根据旋转的性质得到BD＝CB，由等腰三角形的性质得到∠DCB＝∠BDC，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC绕着顶点B顺时针旋转140°得△EBD，
∴BD＝CB，∠ABE＝140°，∠ABC＝∠DBE＝40°，
∴∠DCB＝∠BDC，
∵∠ABC+∠ABE＝180°，
∴点C、点B、点E三点共线，
∴∠DBE＝∠DCB+∠BDC＝40°，
∴∠BDC＝20°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
19．2022年世界杯在卡塔尔举办．赛前通过抽签，将32支参赛队伍分为8组（A组、B组、C组、D组、E组、F组、G组和H组），每4支队伍一组．每组的4支队伍通过组内循环赛决出第一名和第二名晋级十六强．
（1）在抽签时，求甲队进入E组的概率（甲队进入各组的可能性相同）．
（2）已知甲、乙、丙、丁四支队伍同在E组，且四支队伍晋级十六强的可能性相同，请用列表或画树状图的方法求甲、乙两支队伍同时晋级十六强的概率．
【分析】（1）共有8组，每4支队伍一组，由此即可求解；
（2）通过列树状图将赛程结果表示出来，再根据概率计算公式计算．
【解答】解：（1）为8组（A组、B组、C组、D组、E组、F组、G组和H组），每4支队伍一组，
∴甲队进入E组的概率，即．
（2）赛程如下，
∴．
【点评】本题主要考查概率的计算，理解并掌握树状图或列表求事件的概率是解题的关键．
20．二次函数的图象经过点A（﹣2，0），B（3，0），C（1，6）．
（1）求二次函数解析式；
（2）求当y＞4时，自变量x的取值范围．
【分析】（1）设交点式y＝a（x+2）（x﹣3），然后把C点坐标代入其a即可；
（2）结合函数图象，写出抛物线在直线y＝4上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣3），
把C（1，6）代入得6＝a×3×（﹣2），解得a＝﹣1，
所以抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣3），
即y＝﹣x2+x+6；
（2）把y＝4代入y＝﹣x2+x+6得，4＝﹣x2+x+6，
解得x＝2或x＝﹣1，
∴交点为（2，4），（﹣1，4），
∵抛物线y＝﹣x2+x+6开口向下，
∴当y＞4时，自变量x的取值范围为﹣1＜x＜2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
21．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC交⊙O于点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由；
（2）若AB＝8，∠BAC＝45°，求：图中的长．
【分析】（1）由三角形中位线的性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质可得∠OBD＝∠ACB，进而求出答案；
（2）根据弧长的计算公式进行计算即可．
【解答】解：（1）AB＝AC，理由如下：
如图，连接OD，
∵OA＝OB，BD＝CD，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠ACB＝∠ODB，
又∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠OBD＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）∵OD∥AC，∠BAC＝45°，
∴∠BOD＝∠BAC＝45°，
由AB＝8，可得半径为4，
所以的长为＝π．
【点评】本题考查弧长的计算，圆周角定理，掌握弧长的计算公式，圆周角定理以及平行线的性质是正确解答的前提．
22．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长为28米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB＝x米，花园面积S．
（1）写出S 关于x的函数解析式，当S＝192平方米，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15米和6米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
【分析】（1）根据题意得出长×宽＝192，进而得出答案；
（2）由题意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，再利用二次函数增减性求得最值．
【解答】解：（1）依题意得 S＝x（28﹣x），
当S＝192时，有S＝x（28﹣x）＝192，
即x2﹣28x+192＝0，
解得x1＝12，x2＝16；
（2）依题意得，解得6≤x≤13，
S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，
∵a＝﹣1＜0，当x≤14，y随x的增大而增大，又6≤x≤13，
∴当x＝13时，函数有最大值，是Smax＝﹣（13﹣14）2+196＝195．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．
23．定义：将函数C的图象绕点P（0，n）旋转180°，得到新的函数C1的图象，我们称函数C1是函数C关于点P的相关函数．
例如：当n＝1时，函数y＝（x﹣6）2+3关于点P（0，1）的相关函数为y＝（x+6）2﹣1．
（1）当n＝0时，
①二次函数y＝x2关于点P的相关函数为 y＝﹣x2 ；
②点A（2，3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值；
（2）函数y＝﹣x2+关于点P的相关函数是y＝x2，则n＝ ﹣ ；
（3）当n﹣1≤x≤n+3时，函数y＝﹣2x2+nxn2的相关函数的最小值为7，求n的值．
【分析】（1）①n＝0时，点P（0，0），则相关函数为：y＝﹣x2，即可求解；
②二次函数y＝ax2﹣2ax+a的顶点为：（1，0），新函数的顶点为（﹣1，0），则新函数的表达式为：y＝﹣a（x+1）2，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣；
（2）两个函数的顶点分别为：（0，）、（0，﹣），由中点公式即可求解；
（3）分n≤﹣3、﹣3＜n≤1、n＞1三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）①n＝0时，点P（0，0），则相关函数为：y＝﹣x2，
故答案为：y＝﹣x2；
②二次函数y＝ax2﹣2ax+a的顶点为：（1，0），新函数的顶点为（﹣1，0），
则新函数的表达式为：y＝﹣a（x+1）2，
将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣；
（2）两个函数的顶点分别为：（0，）、（0，﹣），
由中点公式得：2n＝﹣，解得：n＝﹣，
故答案为：﹣；
（3）y＝﹣2x2+nxn2的顶点为：（，﹣n2），则相关函数顶点为：（﹣，n2+2n），
则相关函数的表达式为：y＝2（x+）2+n2+2n；
①当n≤﹣3时，
函数在x＝n+3时，取得最小值，即2（+3+）2+n2+2n＝7，
解得：n＝﹣或﹣1（舍去﹣1），
故n＝﹣；
②当﹣3＜n≤1时，
函数在顶点处取得最小值，即n2+2n＝7，
解得：n＝﹣1（舍去）；
③当n＞1时，
同理可得：n＝或﹣1（舍去﹣1），
综上，n＝﹣或．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，这种新定义类的题目，通常按照题设顺序逐次求解，相对比较容易．
24．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝12，D是BC的中点．经过A，B，D的⊙O交AC于E点．
（1）求AE的长．
（2）当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B．记AP＝x，BQ＝y．
①求y关于x的表达式．
②连结PQ，当△PQC的面积最大时，求x的值．
（3）如图2，连结BE，BP，延长BP交⊙O于点F，连结FE．当EF与△BDE中的某一边相等时，求四边形BDEF的面积．
【分析】（1）由直角三角形性质可得AC＝2AB，再运用勾股定理即可求得答案；
（2）①由题意得＝，即＝，化简得y＝﹣x+12；
②如图1，过点P作PH⊥BC于H，运用三角形面积公式可得S△PQC＝CQ•PH＝×x×（8﹣x）＝﹣（x﹣4）2+，再运用二次函数最值即可；
（3）分三种情况：当EF＝BD时，当EF＝BE时，当EF＝DE时，分别利用勾股定理和三角形面积即可求得答案．
【解答】解：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝12，
∴AC＝2AB，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴AB2+122＝（2AB）2，
∴AB＝4，
∴AC＝2AB＝8，
∵D是BC的中点，
∴CD＝BC＝6，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ABC＝180°，
∵∠AED+∠CED＝180°，
∴∠CED＝∠ABC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴DE＝CD＝3，
在Rt△CDE中，CE＝＝＝3，
∴AE＝AC﹣CE＝8﹣3＝5；
（2）①∵当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B，
∴＝，
∵AP＝x，BQ＝y，AE＝5，BC＝12，
∴CQ＝BC﹣BQ＝12﹣y，
即＝，
∴12x＝5（12﹣y），
即y＝﹣x+12，
∴y关于x的表达式为y＝﹣x+12．
②如图1，过点P作PH⊥BC于H，
则PH＝PC＝（8﹣x），CQ＝BC﹣BQ＝12﹣（﹣x+12）＝x，
∴S△PQC＝CQ•PH＝×x×（8﹣x）＝﹣（x﹣4）2+，
∵＜0，
∴当x＝4时，S△PQC有最大值；
（3）当EF＝BD时，如图2，
由（1）知：∠DEC＝90°，DE＝3，
∵EF＝BD＝6，
∴＝，
∴∠EBF＝∠BED，
∴BF∥DE，
∴∠BPC＝∠DEC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴BP＝BC＝×12＝6，
∴CP＝＝＝6，
∴EP＝CP﹣CE＝6﹣3＝3，
在Rt△EFP中，∠F＝∠A＝60°，
∴∠FEP＝30°，
∴PF＝EF＝×6＝3，
∴BF＝BP+PF＝6+3＝9，
∴S四边形BDEF＝×（DE+BF）•EP＝×（3+9）×3＝18；
当EF＝BE时，如图3，过点E作EG⊥BC于G，连接EO交BF于H，连接OB，OF，
在Rt△CEG中，EG＝CE＝×3＝，
在Rt△DEG中，∠DEG＝90°﹣60°＝30°，
∴DG＝DE＝，
∴BG＝BD+DG＝6+＝，
在Rt△BEG中，BE＝＝＝3，
∵∠F＝∠A＝60°，EF＝BE，
∴△BEF是等边三角形，
∵OB＝OF，BE＝EF，
∴EH垂直平分BF，
∴EH＝＝＝，
∴S四边形BDEF＝S△BEF+S△BDE＝×3×+×6×＝；
当EF＝DE时，如图4，过点E作EG⊥BC于G，EK⊥BF于K，
∵EF＝DE＝3，
∴＝，
∴∠EBG＝∠EBF，
∵EG⊥BC，EK⊥BF，
∴EK＝EG＝，BK＝BG＝，
∵∠F＝∠A＝60°，∠EKF＝90°，
∴∠FEK＝30°，
∴FK＝EF＝×3＝，
∴BF＝BK+FK＝+＝9，
∴S四边形BDEF＝S△BEF+S△BDE＝×9×+×6×＝；
综上所述，四边形BDEF的面积为18或或．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形面积，梯形面积，等腰三角形性质，等边三角形性质，圆内接四边形性质，二次函数最值等知识，涉及知识点较多，难度较大，第三问涉及到分类讨论，关键是找到每一类中比较特殊的等量关系作答．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/11/7 21:40:51；用户：数学1；邮箱：yjy201@xyh.cm；学号：22376883甲
乙
丙
丁
甲
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
1．二次函数y＝1﹣2x2的图象的开口方向（ ）
A．向左B．向右C．向上D．向下
2．下列事件中，必然事件的是（ ）
A．明天太阳从西边升起B．a是实数，则|a|≥0
C．某运动员跳高的最好成绩是20.1米D．班级里有两位同学同年同月同日生
3．如图，△AOB绕点O逆时针旋转75°得到△COD，若∠A＝100°，∠D＝50°，则∠BOC的度数是（ ）
A．30°B．35°C．45°D．60°
4．二次函数y＝2x2+x﹣1的图象与x轴的交点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．若⊙P的半径为13，圆心P的坐标为（5，12），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（ ）
A．在⊙P内B．在⊙P上C．在⊙P外D．无法确定
6．已知二次函数y＝﹣2x2+x﹣m图象上三点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3
7．下列命题中，正确的是（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；②90°的圆周角所对的弦是直径；
③不在同一条直线上的三个点确定一个圆；④相等的圆周角所对的弧相等．
A．①②B．②③C．②③④D．①③④
8．在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+1与二次函数y＝x2+m的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上的一点，D在⊙O上（不与点A，点B重合），连结PD交⊙O于点C，且PC＝OB．设∠P＝α，∠B＝β，下列说法正确的是（ ）
A．α+β＝90°B．3α+2β＝180°
C．5α+4β＝180°D．β﹣α＝30°
10．设函数，，．直线x＝b的图象与函数y1，y2，y3的图象分别交于点A（b，c1），B（b，c2），C（b，c3），（ ）
A．若b＜a1＜a2＜a3，则c2＜c3＜c1B．若a1＜b＜a2＜a3，则c1＜c2＜c3
C．若a1＜a2＜b＜a3，则c3＜c2＜c1D．若a1＜a2＜a3＜b，则c3＜c2＜c1
二．填空题（共6小题）
11．二次函数y＝（x﹣1）2+1的顶点坐标是 ．
12．一枚质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1～6的点数，抛掷这枚骰子1次，向上一面的点数大于4的概率是 ．
13．△ABC的三边长分别为6，8，10，则△ABC的外接圆的半径为 ．
14．如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AF，连接EF．若AB＝3，AC＝2，且α+β＝∠B，则EF＝ ．
15．在等边△ABC中，以BC边的中点O为圆心，BC长为半径画圆，分别交AB，AC边于点D，E，P是圆上一动点（与点D，E不重合），连接PD，PE，则∠DPE＝ ．
16．已知点A（m﹣2，y1），B（m，y2），C（x0，y0）在二次函数y＝ax2+6ax+c（a≠0）的图象上，且C为抛物线的顶点．
（1）若y1＝y2，则m的值是 ．
（2）若y0≤y1＜y2，则m的取值范围是 ．
三．解答题（共8小题）
17．已知：如图，⊙O中弦AB＝CD．求证：．
18．如图，△ABC绕顶点B顺时针旋转140°得△EBD，且连接CD，若∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，求∠BDC的度数．
19．2022年世界杯在卡塔尔举办．赛前通过抽签，将32支参赛队伍分为8组（A组、B组、C组、D组、E组、F组、G组和H组），每4支队伍一组．每组的4支队伍通过组内循环赛决出第一名和第二名晋级十六强．
（1）在抽签时，求甲队进入E组的概率（甲队进入各组的可能性相同）．
（2）已知甲、乙、丙、丁四支队伍同在E组，且四支队伍晋级十六强的可能性相同，请用列表或画树状图的方法求甲、乙两支队伍同时晋级十六强的概率．
20．二次函数的图象经过点A（﹣2，0），B（3，0），C（1，6）．
（1）求二次函数解析式；
（2）求当y＞4时，自变量x的取值范围．
21．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC交⊙O于点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由；
（2）若AB＝8，∠BAC＝45°，求：图中的长．
22．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长为28米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB＝x米，花园面积S．
（1）写出S 关于x的函数解析式，当S＝192平方米，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15米和6米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
23．定义：将函数C的图象绕点P（0，n）旋转180°，得到新的函数C1的图象，我们称函数C1是函数C关于点P的相关函数．
例如：当n＝1时，函数y＝（x﹣6）2+3关于点P（0，1）的相关函数为y＝（x+6）2﹣1．
（1）当n＝0时，
①二次函数y＝x2关于点P的相关函数为 ；
②点A（2，3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值；
（2）函数y＝﹣x2+关于点P的相关函数是y＝x2，则n＝ ；
（3）当n﹣1≤x≤n+3时，函数y＝﹣2x2+nxn2的相关函数的最小值为7，求n的值．
24．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝12，D是BC的中点．经过A，B，D的⊙O交AC于E点．
（1）求AE的长．
（2）当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B．记AP＝x，BQ＝y．
①求y关于x的表达式．
②连结PQ，当△PQC的面积最大时，求x的值．
（3）如图2，连结BE，BP，延长BP交⊙O于点F，连结FE．当EF与△BDE中的某一边相等时，求四边形BDEF的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．二次函数y＝1﹣2x2的图象的开口方向（ ）
A．向左B．向右C．向上D．向下
【分析】二次函数中二次项的系数决定抛物线的开口方向．
【解答】解：∵二次函数y＝1﹣2x2中﹣2＜0，
∴图象开口向下，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
2．下列事件中，必然事件的是（ ）
A．明天太阳从西边升起
B．a是实数，则|a|≥0
C．某运动员跳高的最好成绩是20.1米
D．班级里有两位同学同年同月同日生
【分析】根据随机事件的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、明天太阳从西边升起是不可能事件，不符合题意；
B、a是实数，则|a|≥0是必然事件，符合题意；
C、某运动员跳高的最好成绩是20.1米是随机事件，不符合题意；
D、班级里有两位同学同年同月同日生是随机事件，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
3．如图，△AOB绕点O逆时针旋转75°得到△COD，若∠A＝100°，∠D＝50°，则∠BOC的度数是（ ）
A．30°B．35°C．45°D．60°
【分析】由旋转的性质可得∠D＝∠B＝50°，∠AOC＝75°，由三角形内角和可求∠AOB＝30°，即可求∠BOC的度数．
【解答】解：∵△AOB绕点O逆时针旋转75°得到△COD，
∴∠D＝∠B＝50°，∠AOC＝75°，
∵∠A＝100°，∠B＝50°，
∴∠AOB＝30°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝45°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
4．二次函数y＝2x2+x﹣1的图象与x轴的交点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】求出判别式的值，根据抛物线与x轴的交点个数的判定方法判断即可．
【解答】解：△＝12﹣4×2×（﹣1）＝9＞0，
则二次函数y＝2x2+x﹣1的图象与x轴的交点的个数是2，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系，Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
5．若⊙P的半径为13，圆心P的坐标为（5，12），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（ ）
A．在⊙P内B．在⊙P上C．在⊙P外D．无法确定
【分析】根据P点坐标和勾股定理可计算出OP的长，然后判断出OP与⊙P的半径的大小关系，即可得出结论．
【解答】解：∵圆心P的坐标为（5，12 ），
∴OP＝＝13，
∵⊙P的半径为13，
∴OP＝r，
∴原点O在⊙P上．
故选：B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
6．已知二次函数y＝﹣2x2+x﹣m图象上三点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3
【分析】由解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性即可判断．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+x﹣m
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝，
∴当x＞时，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣1，y1）关于对称轴的对称点是（，0），而1＜＜2，
∴y3＜y1＜y2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的性质是解题的关键．
7．下列命题中，正确的是（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；
②90°的圆周角所对的弦是直径；
③不在同一条直线上的三个点确定一个圆；
④相等的圆周角所对的弧相等．
A．①②B．②③C．②③④D．①③④
【分析】利用垂径定理、圆周角定理、确定圆的条件等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，不符合题意；
②90°的圆周角所对的弦是直径，正确，符合题意；
③不在同一条直线上的三个点确定一个圆，正确，符合题意；
④同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解垂径定理、圆周角定理、确定圆的条件等知识，难度不大．
8．在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+1与二次函数y＝x2+m的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据一次函数的b＝1和二次函数的a＝1即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过y轴正半轴，从而排除A和C，分情况探讨m的情况，即可求出答案．
【解答】解：∵二次函数为y＝x2+m，
∴a＝1＞0，
∴二次函数的开口方向向上，
∴排除C选项．
∵一次函数y＝﹣mx+1，
∴b＝1＞0，
∵一次函数经过y轴正半轴，
∴排除A选项．
当m＞0时，则﹣m＜0，
一次函数经过一、二、四象限，
二次函数y＝x2+m经过y轴正半轴，
∴排除B选项．
当m＜0时，则﹣m＞0
一次函数经过一、二、三象限，
二次函数y＝x2+m经过y轴负半轴，
∴D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，解题的关键在于熟练掌握图象性质中系数大小与图象的关系．
9．如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上的一点，D在⊙O上（不与点A，点B重合），连结PD交⊙O于点C，且PC＝OB．设∠P＝α，∠B＝β，下列说法正确的是（ ）
A．α+β＝90°B．3α+2β＝180°
C．5α+4β＝180°D．β﹣α＝30°
【分析】连接OC，OD．首先证明3α+2β＝180°，再一一判断即可．
【解答】解：如图，连接OC，OD．
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB＝β，
∴∠POD＝∠B+∠ODB＝2β，
∵CP＝OB＝CO＝OD，
∴∠P＝∠COP＝α，∠OCD＝∠ODC，
∵∠OCD＝∠P+∠COP，
∴∠ODC＝2α，
∵∠P+∠POD+∠ODP＝180°，
∴3α+2β＝180°，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
10．设函数，，．直线x＝b的图象与函数y1，y2，y3的图象分别交于点A（b，c1），B（b，c2），C（b，c3），（ ）
A．若b＜a1＜a2＜a3，则c2＜c3＜c1
B．若a1＜b＜a2＜a3，则c1＜c2＜c3
C．若a1＜a2＜b＜a3，则c3＜c2＜c1
D．若a1＜a2＜a3＜b，则c3＜c2＜c1
【分析】按照题意，画出满足题意的图象，根据直线x＝b与二次函数图象的交点进行判断即可．
【解答】解：如图所示，
A．由图象可知，若b＜a1＜a2＜a3，当x＝b时，c1＜c2＜c3，故选项错误，不符合题意；
B．由图象可知，若a1＜b＜a2＜a3，，当x＝b时，c1＜c2＜c3不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C．由图象可知，若a1＜a2＜b＜a3，当x＝b时，c3＜c2＜c1不一定成立，故选项错误，不符合题意；
D．由图象可知，若a1＜a2＜a3＜b，当x＝b时，c3＜c2＜c1，故选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．二次函数y＝（x﹣1）2+1的顶点坐标是 （1，1） ．
【分析】根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2+1，
∴二次函数的顶点坐标为（1，1），
故答案为：（1，1）．
【点评】本题主要考查了求二次函数顶点坐标，熟知对于二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．
12．一枚质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1～6的点数，抛掷这枚骰子1次，向上一面的点数大于4的概率是 ．
【分析】先求出点数大于4的数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：∵点数大于4的数为：5，6，
∴向上一面的点数大于4的概率＝；
故答案为：．
【点评】本题考查的是概率公式，熟记随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
13．△ABC的三边长分别为6，8，10，则△ABC的外接圆的半径为 5 ．
【分析】先利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，利用斜边为外接圆的直径计算△ABC的外接圆的半径．
【解答】解：∵62+82＝102，
∴△ABC为直角三角形，10为斜边，
∴△ABC的外接圆的半径＝×10＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理的逆定理；熟记直角三角形的外接圆的半径为斜边的一半，证明△ABC为直角三角形是解题的关键．
14．如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AF，连接EF．若AB＝3，AC＝2，且α+β＝∠B，则EF＝ ．
【分析】由旋转的性质可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，由勾股定理可求EF的长．
【解答】解：由旋转的性质可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，
∵∠B+∠BAC＝90°，且α+β＝∠B，
∴∠BAC+α+β＝90°
∴∠EAF＝90°
∴EF＝＝
故答案为：
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
15．在等边△ABC中，以BC边的中点O为圆心，BC长为半径画圆，分别交AB，AC边于点D，E，P是圆上一动点（与点D，E不重合），连接PD，PE，则∠DPE＝ 150°或30° ．
【分析】连接OD，OE，求出∠DOE，再分当点P在优弧DBE上时和当点P在劣弧DE上时，分别求出∠DPE即可．
【解答】解：如图，连接OD，OE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵OD＝OB＝OC＝OE，
∴∠BOD＝∠COE＝60°，
∴∠DOE＝60°，
当点P在优弧DBE上时，∠DPE＝∠DOE＝30°，
当点P在劣弧DE上时，∠DPE＝180°﹣30＝150°，
∴∠DPE＝150°或30°，
故答案为：150°或30°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，理解题意，画出图形，进行分类讨论是解题的关键．
16．已知点A（m﹣2，y1），B（m，y2），C（x0，y0）在二次函数y＝ax2+6ax+c（a≠0）的图象上，且C为抛物线的顶点．
（1）若y1＝y2，则m的值是 ﹣2 ．
（2）若y0≤y1＜y2，则m的取值范围是 m＞﹣2 ．
【分析】由抛物线顶点为最低点可得抛物线开口向上，由抛物线解析式可得抛物线对称轴，求出点A，B关于对称轴对称时m的值，结合抛物线开口方向求解．
【解答】解：（1）抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣3，
∵y1＝y2，
∴＝﹣3，
∴m﹣1＝﹣3，
∴m＝﹣2，
故答案为：﹣2；
（2）点C为抛物线顶点，y0≤y1＜y2，抛物线开口向上，顶点为最低点，
∵y＝ax2+6ax+c，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣3，
当点A，B关于抛物线对称轴对称时，＝﹣3，
解得m＝﹣2，
∵y0≤y1＜y2，
∴m＞﹣2，
故答案为：m＞﹣2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
三．解答题（共8小题）
17．已知：如图，⊙O中弦AB＝CD．求证：．
【分析】根据在同圆或等圆中，等弧对等弦，由AB＝CD，得，再等量减去等量还是等量知弧AB﹣弧BD＝弧CD﹣弧D，即．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴，
∴﹣＝﹣，
∴．
【点评】本题利用了在同圆或等圆中，等弧对等弦及等弧对等弦求解．
18．如图，△ABC绕顶点B顺时针旋转140°得△EBD，且连接CD，若∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，求∠BDC的度数．
【分析】根据旋转的性质得到BD＝CB，由等腰三角形的性质得到∠DCB＝∠BDC，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC绕着顶点B顺时针旋转140°得△EBD，
∴BD＝CB，∠ABE＝140°，∠ABC＝∠DBE＝40°，
∴∠DCB＝∠BDC，
∵∠ABC+∠ABE＝180°，
∴点C、点B、点E三点共线，
∴∠DBE＝∠DCB+∠BDC＝40°，
∴∠BDC＝20°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
19．2022年世界杯在卡塔尔举办．赛前通过抽签，将32支参赛队伍分为8组（A组、B组、C组、D组、E组、F组、G组和H组），每4支队伍一组．每组的4支队伍通过组内循环赛决出第一名和第二名晋级十六强．
（1）在抽签时，求甲队进入E组的概率（甲队进入各组的可能性相同）．
（2）已知甲、乙、丙、丁四支队伍同在E组，且四支队伍晋级十六强的可能性相同，请用列表或画树状图的方法求甲、乙两支队伍同时晋级十六强的概率．
【分析】（1）共有8组，每4支队伍一组，由此即可求解；
（2）通过列树状图将赛程结果表示出来，再根据概率计算公式计算．
【解答】解：（1）为8组（A组、B组、C组、D组、E组、F组、G组和H组），每4支队伍一组，
∴甲队进入E组的概率，即．
（2）赛程如下，
∴．
【点评】本题主要考查概率的计算，理解并掌握树状图或列表求事件的概率是解题的关键．
20．二次函数的图象经过点A（﹣2，0），B（3，0），C（1，6）．
（1）求二次函数解析式；
（2）求当y＞4时，自变量x的取值范围．
【分析】（1）设交点式y＝a（x+2）（x﹣3），然后把C点坐标代入其a即可；
（2）结合函数图象，写出抛物线在直线y＝4上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣3），
把C（1，6）代入得6＝a×3×（﹣2），解得a＝﹣1，
所以抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣3），
即y＝﹣x2+x+6；
（2）把y＝4代入y＝﹣x2+x+6得，4＝﹣x2+x+6，
解得x＝2或x＝﹣1，
∴交点为（2，4），（﹣1，4），
∵抛物线y＝﹣x2+x+6开口向下，
∴当y＞4时，自变量x的取值范围为﹣1＜x＜2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
21．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC交⊙O于点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由；
（2）若AB＝8，∠BAC＝45°，求：图中的长．
【分析】（1）由三角形中位线的性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质可得∠OBD＝∠ACB，进而求出答案；
（2）根据弧长的计算公式进行计算即可．
【解答】解：（1）AB＝AC，理由如下：
如图，连接OD，
∵OA＝OB，BD＝CD，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠ACB＝∠ODB，
又∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠OBD＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）∵OD∥AC，∠BAC＝45°，
∴∠BOD＝∠BAC＝45°，
由AB＝8，可得半径为4，
所以的长为＝π．
【点评】本题考查弧长的计算，圆周角定理，掌握弧长的计算公式，圆周角定理以及平行线的性质是正确解答的前提．
22．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长为28米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB＝x米，花园面积S．
（1）写出S 关于x的函数解析式，当S＝192平方米，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15米和6米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
【分析】（1）根据题意得出长×宽＝192，进而得出答案；
（2）由题意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，再利用二次函数增减性求得最值．
【解答】解：（1）依题意得 S＝x（28﹣x），
当S＝192时，有S＝x（28﹣x）＝192，
即x2﹣28x+192＝0，
解得x1＝12，x2＝16；
（2）依题意得，解得6≤x≤13，
S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，
∵a＝﹣1＜0，当x≤14，y随x的增大而增大，又6≤x≤13，
∴当x＝13时，函数有最大值，是Smax＝﹣（13﹣14）2+196＝195．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．
23．定义：将函数C的图象绕点P（0，n）旋转180°，得到新的函数C1的图象，我们称函数C1是函数C关于点P的相关函数．
例如：当n＝1时，函数y＝（x﹣6）2+3关于点P（0，1）的相关函数为y＝（x+6）2﹣1．
（1）当n＝0时，
①二次函数y＝x2关于点P的相关函数为 y＝﹣x2 ；
②点A（2，3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值；
（2）函数y＝﹣x2+关于点P的相关函数是y＝x2，则n＝ ﹣ ；
（3）当n﹣1≤x≤n+3时，函数y＝﹣2x2+nxn2的相关函数的最小值为7，求n的值．
【分析】（1）①n＝0时，点P（0，0），则相关函数为：y＝﹣x2，即可求解；
②二次函数y＝ax2﹣2ax+a的顶点为：（1，0），新函数的顶点为（﹣1，0），则新函数的表达式为：y＝﹣a（x+1）2，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣；
（2）两个函数的顶点分别为：（0，）、（0，﹣），由中点公式即可求解；
（3）分n≤﹣3、﹣3＜n≤1、n＞1三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）①n＝0时，点P（0，0），则相关函数为：y＝﹣x2，
故答案为：y＝﹣x2；
②二次函数y＝ax2﹣2ax+a的顶点为：（1，0），新函数的顶点为（﹣1，0），
则新函数的表达式为：y＝﹣a（x+1）2，
将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣；
（2）两个函数的顶点分别为：（0，）、（0，﹣），
由中点公式得：2n＝﹣，解得：n＝﹣，
故答案为：﹣；
（3）y＝﹣2x2+nxn2的顶点为：（，﹣n2），则相关函数顶点为：（﹣，n2+2n），
则相关函数的表达式为：y＝2（x+）2+n2+2n；
①当n≤﹣3时，
函数在x＝n+3时，取得最小值，即2（+3+）2+n2+2n＝7，
解得：n＝﹣或﹣1（舍去﹣1），
故n＝﹣；
②当﹣3＜n≤1时，
函数在顶点处取得最小值，即n2+2n＝7，
解得：n＝﹣1（舍去）；
③当n＞1时，
同理可得：n＝或﹣1（舍去﹣1），
综上，n＝﹣或．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，这种新定义类的题目，通常按照题设顺序逐次求解，相对比较容易．
24．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝12，D是BC的中点．经过A，B，D的⊙O交AC于E点．
（1）求AE的长．
（2）当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B．记AP＝x，BQ＝y．
①求y关于x的表达式．
②连结PQ，当△PQC的面积最大时，求x的值．
（3）如图2，连结BE，BP，延长BP交⊙O于点F，连结FE．当EF与△BDE中的某一边相等时，求四边形BDEF的面积．
【分析】（1）由直角三角形性质可得AC＝2AB，再运用勾股定理即可求得答案；
（2）①由题意得＝，即＝，化简得y＝﹣x+12；
②如图1，过点P作PH⊥BC于H，运用三角形面积公式可得S△PQC＝CQ•PH＝×x×（8﹣x）＝﹣（x﹣4）2+，再运用二次函数最值即可；
（3）分三种情况：当EF＝BD时，当EF＝BE时，当EF＝DE时，分别利用勾股定理和三角形面积即可求得答案．
【解答】解：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝12，
∴AC＝2AB，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴AB2+122＝（2AB）2，
∴AB＝4，
∴AC＝2AB＝8，
∵D是BC的中点，
∴CD＝BC＝6，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ABC＝180°，
∵∠AED+∠CED＝180°，
∴∠CED＝∠ABC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴DE＝CD＝3，
在Rt△CDE中，CE＝＝＝3，
∴AE＝AC﹣CE＝8﹣3＝5；
（2）①∵当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B，
∴＝，
∵AP＝x，BQ＝y，AE＝5，BC＝12，
∴CQ＝BC﹣BQ＝12﹣y，
即＝，
∴12x＝5（12﹣y），
即y＝﹣x+12，
∴y关于x的表达式为y＝﹣x+12．
②如图1，过点P作PH⊥BC于H，
则PH＝PC＝（8﹣x），CQ＝BC﹣BQ＝12﹣（﹣x+12）＝x，
∴S△PQC＝CQ•PH＝×x×（8﹣x）＝﹣（x﹣4）2+，
∵＜0，
∴当x＝4时，S△PQC有最大值；
（3）当EF＝BD时，如图2，
由（1）知：∠DEC＝90°，DE＝3，
∵EF＝BD＝6，
∴＝，
∴∠EBF＝∠BED，
∴BF∥DE，
∴∠BPC＝∠DEC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴BP＝BC＝×12＝6，
∴CP＝＝＝6，
∴EP＝CP﹣CE＝6﹣3＝3，
在Rt△EFP中，∠F＝∠A＝60°，
∴∠FEP＝30°，
∴PF＝EF＝×6＝3，
∴BF＝BP+PF＝6+3＝9，
∴S四边形BDEF＝×（DE+BF）•EP＝×（3+9）×3＝18；
当EF＝BE时，如图3，过点E作EG⊥BC于G，连接EO交BF于H，连接OB，OF，
在Rt△CEG中，EG＝CE＝×3＝，
在Rt△DEG中，∠DEG＝90°﹣60°＝30°，
∴DG＝DE＝，
∴BG＝BD+DG＝6+＝，
在Rt△BEG中，BE＝＝＝3，
∵∠F＝∠A＝60°，EF＝BE，
∴△BEF是等边三角形，
∵OB＝OF，BE＝EF，
∴EH垂直平分BF，
∴EH＝＝＝，
∴S四边形BDEF＝S△BEF+S△BDE＝×3×+×6×＝；
当EF＝DE时，如图4，过点E作EG⊥BC于G，EK⊥BF于K，
∵EF＝DE＝3，
∴＝，
∴∠EBG＝∠EBF，
∵EG⊥BC，EK⊥BF，
∴EK＝EG＝，BK＝BG＝，
∵∠F＝∠A＝60°，∠EKF＝90°，
∴∠FEK＝30°，
∴FK＝EF＝×3＝，
∴BF＝BK+FK＝+＝9，
∴S四边形BDEF＝S△BEF+S△BDE＝×9×+×6×＝；
综上所述，四边形BDEF的面积为18或或．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形面积，梯形面积，等腰三角形性质，等边三角形性质，圆内接四边形性质，二次函数最值等知识，涉及知识点较多，难度较大，第三问涉及到分类讨论，关键是找到每一类中比较特殊的等量关系作答．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/11/7 21:40:51；用户：数学1；邮箱：yjy201@xyh.cm；学号：22376883甲
乙
丙
丁
甲
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
相关试卷
2023-2024学年浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团九年级上学期期中数学试题： 这是一份2023-2024学年浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团九年级上学期期中数学试题，文件包含浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团九年级上学期期中数学试题原卷版docx、浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团九年级上学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
2023-2024学年浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团九年级上学期12月月考数学试题： 这是一份2023-2024学年浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团九年级上学期12月月考数学试题，文件包含浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团九年级上学期12月月考数学试题原卷版docx、浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团九年级上学期12月月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题(无答案)： 这是一份浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题(无答案)，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
