浙江省金华市义乌市稠州中学2022-2023学年九年级下学期期中数学试题

这是一份浙江省金华市义乌市稠州中学2022-2023学年九年级下学期期中数学试题，共29页。试卷主要包含了﹣5的绝对值是，下列运算正确的是，在平面直角坐标系中，点P等内容，欢迎下载使用。

稠州中学教育集团九年级数学期中学力检测卷
一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．﹣5的绝对值是（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．﹣
2．据央视网消息，全国广大共产党员积极响应党中央号召，踊跃捐款，表达对新冠肺炎疫情防控工作的支持．据统计，截至2020年3月26日，全国已有7901万多名党员自愿捐款，共捐款82.6亿元．82.6亿用科学记数法可表示为（　　）
A．0.826×1010 B．8.26×109 C．8.26×108 D．82.6×108
3．下列交通标识，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C．×＝4 D．
5．在平面直角坐标系中，点P（x2+2，﹣3）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知反比例函数，下列说法中错误的是（　　）
A．图象经过点（1，﹣4）B．图象位于第二、四象限C．图象关于直线y＝x对称D．y随x的增大而增大
7．如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．10π B．9π C．8π D．6π

8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　）
A．B．C．D．
9．在平面直角坐标系中，已知函数，，，其中a＝2，b、c都是正实数，且满足b2＝ac．设y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，则下列结论错误的是（　　）
A．若M1＝1，M2＝1，则M3＝2 B．若M1＝1，M2＝1，则M3＝1
C．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0或1或2 D．若M1＝1，M2＝2，则M3＝2
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB，AC为边分别向外作正方形ABFG和正方形ACDE，CG交AB于点M，BD交AC于点N．若，则＝（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（本题有6小题，每小题4分，共224分）
11．若分式的值不存在，则x＝　 　．
12．一个不透明的袋中装有3个黑球、2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，从这个袋中任意摸出一个球为白球的概率是 　 　．
13．若单项式2xm﹣1y2与单项式x2yn+1是同类项，则m+n＝　 　．
14．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连接CD．若△ACD的面积是3，则四边形OBDC的面积是 　 　．




15．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，0），直线y＝x+b交x轴于点B（﹣3，0），交y轴于点C，点D在直线BC上，且D的横坐标为3，E是线段BD上的点（不和端点重合），连接AE，一动点M从点A出发沿线段AE以每秒1个单位的速度运动到E，再沿线段ED以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点E的坐标是　 　时，点M在整个运动过程中用时最少．
16．如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm），且AC＝BD，AF∥BE，sin∠BAF＝0.8，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点B′，D′，E′的位置，气簧活塞杆CD随之伸长CD′．已知直线BE⊥B′E′，CD′＝2CD，那么AB的长为 　 　cm，CD′的长为 　 　cm．





三．解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．计算：（﹣1）0+（﹣）﹣1﹣2cos30°+；


18．解方程：；
19．在疫情期间，为落实“停课不停学”，某校对本校学生某一学科在家学习情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任课教师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习．参与调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图．根据如图所示的统计图，解答下列问题．

（1）本次接受调查的学生有　 　名；
（2）补全条形统计图；
（3）根据调查结果，若本校有1800名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？
20．如图，已知由边长为1的小等边三角形构成的网格中，每个小等边三角形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形，△ABC为格点三角形．请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转60°后得到的△AB'C'；
（2）在BC边上找一点D，连接AD，使得△ABD的面积与△ACD的面积之比是2：1．


21．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA＝∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为2，求BC的长．

22．我市某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，A种户型每套成本和售价分别为90万元和102万元，B种户型每套成本和售价分别为60万元和70万元，设计划建A户型x套，所建户型全部售出后获得的总利润为W万元．
（1）求W与x之间的函数解析式；
（2）该公司所建房资金不少于5700万元，且所筹资金全部用于建房，若A户型不超过32套，则该公司有哪几种建房方案？
（3）在（2）的前提下，根据国家房地产政策，公司计划每套A户型住房的售价降低a万元（0＜a≤3），B户型住房的售价不变，且预计所建的两种住房全部售出，求该公司获得最大利润的方案．
23．等腰直角△ACB中，∠C＝90°，点D为CB延长线上一点，连接AD，以AD为斜边构造直角△AED（点E与点C在直线AD的异侧）．
（1）如图1，若∠EAD＝30°，AE＝，BD＝2，求AC的长；
（2）如图2，若AE＝DE，连接BE，猜想线段BE与线段AD之间的数量关系并证明；
（3）如图3，若AC＝4，tan∠BAD＝，连接CE，取CE的中点P，连接DP，当线段DP最短时，直接写出此时△PDE的面积．

24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝4，BC＝3．点M为射线AC上一动点，过M作ME垂直射线AB于点E，点D为直线BC上一动点，连接DE、DM，以DE、DM为边作▱MDEF，设AM＝a，求：
（1）当0＜a＜4时，则ME＝　 　（用含a的代数式表示）；
（2）当a＝时，是否存在点D．使▱MDEF的顶点F恰好落在射线AC上？若存在，求出CD的长，若不存在．请说明理由．
（3）点M在整个运动过程中，若点D存在唯一的位置，使得▱MDEF为矩形，请求出所有满足条件的a的值．


参考答案与试题解析
一．选择题（本题有10小题）
1．﹣5的绝对值是（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．﹣
【分析】根据绝对值的性质求解．
【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣5|＝5．
故选：A．
【点评】此题主要考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．据央视网消息，全国广大共产党员积极响应党中央号召，踊跃捐款，表达对新冠肺炎疫情防控工作的支持．据统计，截至2020年3月26日，全国已有7901万多名党员自愿捐款，共捐款82.6亿元．82.6亿用科学记数法可表示为（　　）
A．0.826×1010 B．8.26×109 C．8.26×108 D．82.6×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：82.6亿＝8 260 000 000＝8.26×109，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列交通标识，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C．×＝4 D．
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝2+＝3，所以A选项错误；
B、原式＝2﹣＝，所以B选项错误；
C、原式＝＝4，所以C选项正确；
D、原式＝＝2，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
5．在平面直角坐标系中，点P（x2+2，﹣3）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案．
【解答】解：∵x2+2＞0，﹣3＜0，
∴点P（x2+2，﹣3）在第四象限．
故选：D．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
6．已知反比例函数，下列说法中错误的是（　　）
A．图象经过点（1，﹣4） B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称 D．y随x的增大而增大
【分析】依据反比例函数的性质以及图象进行判断，即可得到错误的选项．
【解答】解：∵反比例函数中，k＝﹣4＜0，
∴图象在二，四象限内，故B选项正确；
∵﹣4×1＝﹣4，
∴图象必经过（1，﹣4），故A选项正确；
图象关于直线y＝x对称，故C选项正确；
∵反比例函数中，k＝﹣4＜0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，故D选项错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
7．如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．10π B．9π C．8π D．6π
【分析】连接OC，易证得四边形CDOE是矩形，则△DOE≌△CEO，得到∠COB＝∠DEO＝∠CDE＝36°，图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，利用扇形的面积公式即可求得．
【解答】解：连接OC，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴四边形CDOE是矩形，
∴CD∥OE，
∴∠DEO＝∠CDE＝36°，
由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，
∴∠COB＝∠DEO＝36°
∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，
∵S扇形OBC＝＝10π
∴图中阴影部分的面积＝10π，
故选：A．

【点评】本题考查了扇形面积的计算，矩形的判定与性质，利用扇形OBC的面积等于阴影的面积是解题的关键．
8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，
∴y＝x+4.5；
∵将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，
∴y＝x﹣1．
∴所列方程组为．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．在平面直角坐标系中，已知函数，，，其中a＝2，b、c都是正实数，且满足b2＝ac．设y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，则下列结论错误的是（　　）
A．若M1＝1，M2＝1，则M3＝2
B．若M1＝1，M2＝1，则M3＝1
C．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0或1或2
D．若M1＝1，M2＝2，则M3＝2
【分析】由a＝2可得M1＝0，分别讨论M2＝1或M2＝0，根据b2＝ac及中Δ＝c2﹣12判断M3．
【解答】解：∵a＝2，
∴y1＝x2+2x+1＝（x+1）2，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，0），
∴M1＝1，
∵y2＝x2+bx+2，
∴Δ＝b2﹣8，
当M2＝1时，b2﹣8＝0，
∴b2＝ac＝8，
∴c＝4，
∴y3＝x2+4x+3，
∵Δ＝42﹣4×3＝4＞0，
∴M3＝2．
当M2＝0时，b2﹣8＜0，
∴b2＝ac＜8，
∴c＜4，
∴Δ＝c2﹣4×3＝c2﹣12，
∴M3＝0或1或2，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB，AC为边分别向外作正方形ABFG和正方形ACDE，CG交AB于点M，BD交AC于点N．若，则＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】设AG＝a＝AB，BC＝2a，由“AAS”可证△ABC≌△CHD，可得AB＝CH＝a，DH＝BC＝2a，利用勾股定理分别求出CG，BD的长，即可求解．
【解答】解：如图，过点D作DP⊥BC，交AC的延长线于点P，交BC的延长线于点H，

∵AG∥BF，
∴△AGM∽△BCM，
∴＝，
∴设AG＝a＝AB，BC＝2a，
∴CG＝＝＝a，
∵DH⊥BC，AB⊥BC，
∴∠DHC＝∠ABC＝∠ACD＝90°，AB∥DH，
∴∠DCH+∠ACB＝90°＝∠ACB+∠BAC，
∴∠DCH＝∠BAC，
在△ABC和△CHD中，
，
∴△ABC≌△CHD（AAS），
∴AB＝CH＝a，DH＝BC＝2a，
∴BD＝＝＝a，
∴＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．若分式的值不存在，则x＝　﹣1　．
【分析】直接利用分式不存在的条件得出x的值，进而得出答案．
【解答】解：若分式的值不存在，
则x+1＝0，
解得：x＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了分式不存在的条件，正确把握分式有意义的条件：分式存在的条件是分母不等于零是解题关键．反之，则是分式不存在的条件：分母＝0．
12．一个不透明的袋中装有3个黑球、2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，从这个袋中任意摸出一个球为白球的概率是 　　．
【分析】先求出总球的个数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得：不透明的袋子里装有将6个球，其中2个白色的，
任意摸出1个，摸到白球的概率是＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．若单项式2xm﹣1y2与单项式x2yn+1是同类项，则m+n＝　4　．
【分析】根据同类项的意义，列方程求解即可．
【解答】解：∵单项式2xm﹣1y2与单项式x2yn+1是同类项，
∴，
∴m+n＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查同类项的意义，理解同类项的意义是正确解答的前提．
14．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连接CD．若△ACD的面积是3，则四边形OBDC的面积是 　5　．

【分析】作辅助线，构建直角三角形，利用反比例函数k的几何意义得到S△OCE＝S△OBD＝k，根据OA的中点C，利用△OCE∽△OAB得到面积比为1：4，代入可得结论．
【解答】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，
∵∠ABO＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，
∴S△COE＝S△BOD＝k，S△ACD＝S△OCD＝3，
∵CE∥AB，
∴△OCE∽△OAB，
∴，
∴4S△OCE＝S△OAB，
∴4×k＝3+3+k，
∴k＝4，
∴S△OAB＝4××4＝8，
∴四边形OBDC的面积为S△OAB﹣S△ACD＝5，
故答案为：5．

【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，0），直线y＝x+b交x轴于点B（﹣3，0），交y轴于点C，点D在直线BC上，且D的横坐标为3，E是线段BD上的点（不和端点重合），连接AE，一动点M从点A出发沿线段AE以每秒1个单位的速度运动到E，再沿线段ED以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点E的坐标是　（1，）　时，点M在整个运动过程中用时最少．

【分析】将点B代入，可求出直线y＝x+b的解析式，过点D作DH⊥y轴，y轴点H．过点E作EF⊥DH，交DH延长线于点F．只要能证明当A、E、F三点共线时所用的时间最小即可．
【解答】解：
如图，过点D作DH⊥y轴，y轴点H．过点E作EF⊥DH，交DH延长线于点F．
∵动点M从点A出发沿线段AE以每秒1个单位的速度运动到E，再沿线段ED以每秒2个单位的速度运动到D后停止
∴点M在整个运动过程的用时t＝，
∵点B（﹣3，0）在直线y＝x+b上，
∴0＝，解得b＝，
∴直线BD的解析式为：
∴点C的坐标为：（0，）
∴tan∠CBO＝＝
∴∠CBO＝30°
∴∠BCO＝∠DEF＝60°
∴cos∠DEF＝
∴EF＝
∴t＝＝AE+EF，即点M在整个运动过程所用的时间是线段AE与EF的长度之和，
∴当A、E、F三点共线时，AE+EF取得最小值．
∴点A的横坐标与点E的横坐标相等，点E在直线l上
∴点E的坐标为：
∴点E的坐标为（1，）
故答案为：（1，）

【点评】此题主要考查一次函数坐标点的特征，求出函数的解析式，灵活运用函数上的点的特征是解决此题的关键．
16．如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm），且AC＝BD，AF∥BE，sin∠BAF＝0.8，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点B′，D′，E′的位置，气簧活塞杆CD随之伸长CD′．已知直线BE⊥B′E′，CD′＝2CD，那么AB的长为 　20　cm，CD′的长为 　40　cm．

【分析】过A作AP⊥EB延长线交于点P，由BE旋转一定角度后得到B'E'可知，旋转角度为90°，过B'作BH⊥AP，交AP于点H，分别表示出B'H、PB的长，即可得出AB的长，设CD＝xcm，则AC＝BD＝cm，利用勾股定理可得AC2+AD'2＝CD'2，代入解方程即可．
【解答】解：过A作AP⊥EB延长线交于点P，

∵AF∥BE，
∴∠ABP＝∠BAF，
∴sin∠ABP＝0.8，cos∠ABP＝0.6，
∴BP＝0.6AB，
由BE旋转一定角度后得到B'E'可知，旋转角度为90°，
过B'作BH⊥AP，交AP于点H，
∵∠PAB+∠ABP＝90°，∠D'AP+∠PAB＝90°，
∴∠D'AP＝∠ABP，B'H＝AB'sin∠D'AP＝ABsin∠P'AP＝0.8AB，
∴28＝B'H+PB＝0.8AB+0.6AB＝1.4AB，
∴AB＝20cm；
设CD＝xcm，则AC＝BD＝cm，AD'＝AD＝x+cm，
CD'＝2CD＝2x，
∵∠D'AC＝90°，
∴AC2+AD'2＝CD'2，
∴，
解得x＝20，或x＝﹣20（舍），
∴CD'＝2x＝40cm，
故答案为：20，40．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，已知三角函数表示边长，旋转的性质，以及勾股定理等知识，利用旋转的性质得出旋转角是90°是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．计算：（﹣1）0+（﹣）﹣1﹣2cos30°+；
【分析】先计算零指数幂、负整数指数幂、代入三角函数值、计算二次根式的乘法，再进一步计算即可；
【解答】解：（1）原式＝1﹣3﹣2×+
＝1﹣3﹣+
＝﹣2；


18．解方程：；
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
【解答】解：（1），
x（x+1）＝4+x2﹣1，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，x2﹣1≠0，
∴x＝3是原方程的根；
【点评】本题考查了解分式方程，解一元二次方程﹣配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．在疫情期间，为落实“停课不停学”，某校对本校学生某一学科在家学习情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任课教师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习．参与调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图．根据如图所示的统计图，解答下列问题．

（1）本次接受调查的学生有　60　名；
（2）补全条形统计图；
（3）根据调查结果，若本校有1800名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？
【分析】（1）根据A的人数和所占的百分比即可得出答案；
（2）用总人数减去其他学习方式的人数，求出C学习方式的人数，从而补全统计图；
（3）用本校的总人数乘以参与任课教师在线辅导的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）本次接受调查的学生有：9÷15%＝60（名）；
故答案为：60；

（2）选择C学习方式的人数有：60﹣9﹣30﹣6＝15（人），
补全统计图如下：


（3）根据题意得：
1800×＝900（名），
答：估计有900名学生参与任课教师在线辅导．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
20．如图，已知由边长为1的小等边三角形构成的网格中，每个小等边三角形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形，△ABC为格点三角形．请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转60°后得到的△AB'C'；
（2）在BC边上找一点D，连接AD，使得△ABD的面积与△ACD的面积之比是2：1．

【分析】（1）利用等边三角形的性质和旋转的性质画图；
（2）利用平行线分线段成比例定理确定BC的三等分点D，则BD＝2CD，所以△ABD的面积与△ACD的面积之比是2：1．
【解答】解：（1）如图，△AB'C'为所作；
（2）如图，AD为所作．

【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了等边三角形的性质和平行线分线段成比例定理．
21．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA＝∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为2，求BC的长．

【分析】（1）连接OB，由圆周角定理得出∠ABC＝90°，得出∠C+∠BAC＝90°，再由OA＝OB，得出∠BAC＝∠OBA，证出∠PBA+∠OBA＝90°，即可得出结论；
（2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长．
【解答】（1）证明：连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA，
∵∠PBA＝∠C，
∴∠PBA+∠OBA＝90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为2，
∴OB＝2，AC＝4，
∵OP∥BC，
∴∠CBO＝∠BOP，
∵OC＝OB，
∴∠C＝∠CBO，
∴∠C＝∠BOP，
又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴，
即，
∴BC＝2．

【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理、切线的判定是解决问题的关键．
22．我市某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，A种户型每套成本和售价分别为90万元和102万元，B种户型每套成本和售价分别为60万元和70万元，设计划建A户型x套，所建户型全部售出后获得的总利润为W万元．
（1）求W与x之间的函数解析式；
（2）该公司所建房资金不少于5700万元，且所筹资金全部用于建房，若A户型不超过32套，则该公司有哪几种建房方案？
（3）在（2）的前提下，根据国家房地产政策，公司计划每套A户型住房的售价降低a万元（0＜a≤3），B户型住房的售价不变，且预计所建的两种住房全部售出，求该公司获得最大利润的方案．
【分析】（1）根据A种户型x套，则B种户型（80﹣x）套，根据一套的利润×总的套数＝总利润，列出一次函数可得出答案；
（2）根据该公司所建房资金不少于5700万元且A户型不超过32套，得出该公司建房方案；
（3）在（2）的前提下，根据函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）∵A、B两种户型的住房共80套，A户型x套，则B户型有（80﹣x）套，
根据题意得，W＝（102﹣90）x+（70﹣60）（80﹣x）＝12x+10（80﹣x）＝2x+800，
∴W与x之间的函数解析式为W＝2x+800；
（2）由题意得：90x+60（80﹣x）≥5700，
解得：x≥30，
∵x≤32，
∴30≤x≤32（x为正整数），
∴x取30，31，32，
∴该公司有3种建房方案：
第一种：建A种户型30套，B种户型50套；
第二种：建A种户型31套，B种户型49套；
第三种：建A种户型32套，B种户型48套；
（3）由题意得：W＝（12﹣a）x+10（80﹣x）＝（2﹣a）x+800，
当0＜a＜2时，W随x的增大而增大，
∴x＝32时，W最大，
此时按（2）中第三种方案；
当a＝2时，W＝800，
此时按（2）中三种方案均可；
当2＜a≤3时，W随x的增大而减小，
∴当x＝30时，W最大，
此时按（2）中第一种方案．
【点评】此题考查了一元一次不等式的应用和一次函数的应用，读懂题意，找出它们之间的数量关系，列出不等式或一次函数，掌握函数的增减性是解题的关键．
23．等腰直角△ACB中，∠C＝90°，点D为CB延长线上一点，连接AD，以AD为斜边构造直角△AED（点E与点C在直线AD的异侧）．
（1）如图1，若∠EAD＝30°，AE＝，BD＝2，求AC的长；
（2）如图2，若AE＝DE，连接BE，猜想线段BE与线段AD之间的数量关系并证明；
（3）如图3，若AC＝4，tan∠BAD＝，连接CE，取CE的中点P，连接DP，当线段DP最短时，直接写出此时△PDE的面积．

【分析】（1）由锐角三角函数可求DE，AD的长，由勾股定理可求AC的长；
（2）取AD的中点H，连接CH，通过证明△EAB∽△HAC，可得，即可求解；
（3）过点B作BG⊥AD于G，根据tan∠BAD＝，设BG＝m，AG＝3m，且m＞0，运用勾股定理求出m＝，再由△BDG∽△ADC，得出BD，AD，CD，延长CD至F，使DF＝CD＝8，连接EF，以AD为直径作⊙O，连接OB，OF，OF与⊙O交于点E′，根据三角形中位线定理可得DP＝EF，当线段DP最短时，EF最短，即E与E′重合，运用勾股定理可求出E′F＝OF﹣OE′＝2﹣2，过点E′作E′H⊥CF于点H，即可求得答案．
【解答】解：（1）∵∠EAD＝30°，AE＝，∠E＝90°，
∴DE＝，AD＝2DE＝，
∵AD2＝AC2+CD2，
∴10＝AC2+（AC+2）2，
∴AC＝1或AC＝﹣3（舍去），
∴AC＝1；
（2）BE＝AD，理由如下：
如图2，取AD的中点H，连接CH，
∵AE＝DE，BC＝AC，∠ACB＝∠AED＝90°，
∴∠ADE＝∠DAE＝∠CAB＝∠CBA＝45°，AB＝AC，AD＝AE，
∴∠CAD＝∠BAE，
∵H是AD的中点，
∴AH＝AE，CH＝AD
∴AE＝AH，
∵，
∴△EAB∽△HAC，
∴，
∴BE＝×＝AD；
（3）如图3，过点B作BG⊥AD于G，
∵AC＝AB＝4，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∴AB＝＝＝4，
∵tan∠BAD＝，
∴＝tan∠BAD＝，
设BG＝m，AG＝3m，且m＞0，
∵BG2+AG2＝AB2，
∴m2+（3m）2＝（4）2，
解得：m＝，
∴BG＝，AG＝，
∵∠DGB＝∠DCA＝90°，∠BDG＝∠ADC，
∴△BDG∽△ADC，
∴＝＝，即＝＝，
∴BD+4＝DG，BD＝DG+，
∴BD＝4，DG＝，
∴AD＝4，CD＝8，
延长CD至F，使DF＝CD＝8，连接EF，以AD为直径作⊙O，连接OB，OF，
OF与⊙O交于点E′，
∵点P是线段CE的中点，点D是CF的中点，
∴DP＝EF，
当线段DP最短时，EF最短，
∵点E在⊙O上，
∴EF最短时，点E为OF与⊙O的交点，即E与E′重合，
∵CB＝DB＝4，AO＝DO，
∴OB∥AC，OB＝AC＝2，BF＝BD+DF＝4+8＝12，
∴∠FBO＝∠ACB＝90°，
∴OF＝＝＝2，
∴E′F＝OF﹣OE′＝2﹣2，
∴DP的最小值为×（2﹣2）＝﹣，
过点E′作E′H⊥CF于点H，则E′H∥OB，
∴＝，即＝，
∴E′H＝，
∴S△PDE′＝S△CDE′＝×CD•E′H＝×8×＝；
∴当线段DP最短时，S△PDE＝．



【点评】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形性质、点到直线的距离、勾股定理、线段垂直平分线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，掌握解直角三角形和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝4，BC＝3．点M为射线AC上一动点，过M作ME垂直射线AB于点E，点D为直线BC上一动点，连接DE、DM，以DE、DM为边作▱MDEF，设AM＝a，求：
（1）当0＜a＜4时，则ME＝　a　（用含a的代数式表示）；
（2）当a＝时，是否存在点D．使▱MDEF的顶点F恰好落在射线AC上？若存在，求出CD的长，若不存在．请说明理由．
（3）点M在整个运动过程中，若点D存在唯一的位置，使得▱MDEF为矩形，请求出所有满足条件的a的值．

【分析】（1）利用勾股定理求出AB，根据sinA＝＝，求解即可．
（2）如图2中，由DE∥AC，推出＝即可解决问题．
（3）分四种情形：①当0＜a＜4时，如图3中，CM＝4﹣a，ME＝a，取EM的中点P，过点P作PG⊥AC于G，根据PM＝CG＝PD，国际关系即可解决问题．②当a＝4时，如图4中，即点M与C重合，此时a＝4．③当a＞4时，点E与B重合，如图5中．④当a＞4，E与B不重合，如图6中，分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵ME⊥AB，
∴∠AEM＝90°，
∵sinA＝＝，
∴＝，
∴EM＝a．
故答案为a．

（2）如图2中，

∵AM＝a＝，
∴AE＝AM•cosA＝×＝2，
∵点F落在AC上，
∴DE∥AC，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝．

（3）①当0＜a＜4时，如图3中，CM＝4﹣a，ME＝a，取EM的中点P，连接PD，过点P作PG⊥AC于G，则PM＝a，PG＝PM＝×a＝a，MG＝PM＝×a＝a，

∴CG＝CM+MG＝4﹣a+a＝4﹣a，
由题意PM＝CG＝PD，
∴4﹣a＝a，
∴a＝．

②当a＝4时，如图4中，即点M与C重合，此时a＝4．

③当a＞4时，点E与B重合，如图5中，

∵∠BCM＝∠ACB＝∠ABM＝90°，
∠A+∠ABC＝90°，∠CBM+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠CBM，
∴△ACB∽△BCM，
∴＝，
∴＝，
∴a＝．

④当a＞4，E与B不重合，如图6中，

∵ME＝a，取EM的中点P，作PG⊥MC于G，则PM＝a，PG＝PM＝a，MG＝PM＝a，
∴CG＝MC﹣MG＝a﹣4﹣a＝a﹣4，
由题意，CG＝PM﹣PD，
∴a﹣4＝a，
∴a＝，
综上所述，满足条件的a的值为或4或或．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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