专题08 证明不等式——2022-2023学年高二数学下学期期末专题复习学案+期末模拟卷（人教A版2019）

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专题08 证明不等式 【考点预测】利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（4）对数单身狗，指数找基友（5）凹凸反转，转化为最值问题（6）同构变形【典型例题】例1．（2023春·安徽合肥·高二校联考阶段练习）已知函数.(1)求函数的零点个数；(2)若，且，求证：.【解析】（1）由得，设，且，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，故，即，仅当时取等号，故时R上的单调增函数，又，故在上有唯一的零点，即在R上有唯一的零点，即函数的零点个数为1个.（2）因为，故要证明：，，即，只需证：，即需证：，即证：，由（1）可知为R上的单调增函数，故当时，，即，即，故 ，即，令，即，故成立.例2．（2023春·河南·高二校联考期末）已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)当时，证明．【解析】（1）函数的定义域为，． 若，则当时，，故在上单调递减；若，则当时，当时，故在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知，当时，在处取得最小值，所以等价于，即．设，则．当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故当时，取得极小值且为最小值，最小值为． 所以当时，．从而当时，，即．例3．（2023春·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考阶段练习）已知函数，曲线与在点处有相同的切线.(1)求､的值；(2)证明：.【解析】（1）因为函数，，所以，，由曲线与在点处有相同的切线，得，，即，，所以，；（2）由，可得，因为，所以原问题即证.令，则，由，可得，由，可得，所以的单调递减区间为，单调递减区间为，故在处取得极小值，也是的最小值，所以，故.例4．（2023·上海·高二专题练习）已知函数为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.(1)求的值；(2)求的单调区间；(3)设，其中为的导函数.证明：对任意，.【解析】（1）由题意可得：，，∵在,处的切线与轴平行，即，.（2）由（1）得：，，令，，当时，则，故；当时，则，；∵，则时，；时，；故的单调递增为，单调递减为.（3）由，即，，对，，等价于对，，由（2）对于，，则，，当时，；当时，；可得在上单调递增，在上单调递减，故，即，设，则对恒成立，故在上单调递增，则，即；综上：，故，，得证.例5．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)已知为自然对数的底数，证明：对.参考公式：【解析】（1）由题意可得：的定义域为，且，注意到，则有：①当时，，令，解得；令，解得；故在上单调递增，在上单调递减；②当时，令，解得或，若，即时，令，解得或；令，解得；故在上单调递增，在上单调递减；若，即时，则在定义域内恒成立；故在上单调递增；若，即时，令，解得或；令，解得；故在上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）可知：当时，在上单调递增，则时，，即对恒成立，故，则，即，∵，则，即，∴，故，∴得证.例6．（2023春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考阶段练习）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，.【解析】（1）函数的定义域为，，记，则，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，所以，所以函数在上单调递增；（2）原不等式为，即，即证在上恒成立，设，则，所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，令，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以，且在上有，所以可得到，即，所以在时，有成立.【过关测试】1．（2023春·山东菏泽·高二统考阶段练习）已知函数．(1)当a=0时，求函数的最小值；(2)当的图像在点处的切线方程为y=1时，求a的值，并证明：当时，．【解析】（1）当a=0时，．定义域为，令，则，故在上单调递增.因，，则在上有唯一零点，即.则在上，，即，在单调递减.在上，，即，在上单调递增.故，又，则.即函数的最小值为0；（2）由题，，，则a=1；即，则故在上单调递增，在上单调递递减，则.则当时，，即.取，其中 ，则.则.又注意到.故.2．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知函数．(1)求的最小值；(2)已知，证明：；【解析】（1）函数的定义域为，，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以；（2）由（1）可得，当且仅当时，取等号，则当时，，所以，即.3．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数.(1)若，（i）求的极值.（ii）设，证明：.(2)证明：当时，有唯一的极小值点，且.【解析】（1）（i）若，则，由，得.当时，；当时，.的单调递减区间为，单调递增区间为.故的极小值为无极大值.（ii）由（i）可知，的极值点为在上单调递减，在上单调递增，当时，，又，不妨设，则若，则，设，则.设，则为增函数，则.，则在上为增函数，，即.，又在上单调递减，，即.（2），记，，记，当时，，当在单调递减，当在单调递增，，在单调递增，即在单调递增，，使，当在单调递减，当在单调递增，所以当时，有唯一的极小值点，且令，在单调递减，即.4．（2023春·天津和平·高二校考阶段练习）已知函数．(1)求的单调区间；(2)证明：当时，．【解析】（1）的定义域是，，设，，所以在区间递减，在区间递增，所以，所以，所以的单调递增区间是和，无减区间.（2）当时，要证，即证，即证.设，，令，则，所以在区间递减；在区间递增.所以，即，所以单调递增，而，所以，即.综上所述，当时，．5．（2023春·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）已知函数，求证：当时，.【解析】证明：，函数定义域为，，当时，，∴在上是增函数.于是当时，．6．（2023秋·山西临汾·高二统考期末）已知.(1)当，证明；(2)讨论的单调性；(3)利用（1）中的结论，证明：.【解析】（1）当时，，令，解得，当在之间变化时，及的变化情况如下表：10单调递增0单调递减因此当时，取得最大值，故；（2），所以，令，解得，①当时，方程的解为，且，在之间变化时，及的变化情况如下表：0单调递增 单调递减在单调递增，在单调递增，②当时，方程无解，此时恒成立，故在单调递增，③当时，方程的解为，但，当时，恒成立，故在单调递增，综上所述：当时，在单调递增，在单调递减，当时，在单调递减；（3）由（1）知，，其中“=”当且仅当时成立，当时，且，故，即，于是当时，依次有，，，， ，相加得，即7．（2023春·河南信阳·高二淮滨高中校考阶段练习）已知函数.(1)若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求实数的值；(2)证明：若，则.【解析】（1），切点为，则切线方程为，当时，在中，分别令得该切线分别与两坐标轴交于两点，故三角形面积为，因此，解得，当时，，显然该直线与两坐标轴围不成三角形，综上所述：；（2）①当，所以；②当，要证，即证，令，，令，，所以在上单调递增.取，使得，即，则，又，所以由零点存在定理知存在唯一零点，即有唯一的极值点且为极小值点.又，即，故，令，，所以在上单调递减，所以，所以.综上所述，当，则.8．（2023春·广东东莞·高二校考阶段练习）已知函数．(1)证明函数有唯一极小值点；(2)若，求证：．【解析】（1）函数的定义域为，．对于方程，．解方程，可得，，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以函数有唯一极小值点．（2）要证明，即证，即证，即证．令，其中，则，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增．所以．构造函数，其中，，则．当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减．所以，则，所以．故原不等式得证．9．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．(1)若在上恒成立，求实数a的值；(2)证明：当时，．【解析】（1）当时，，当时，，不符合题意；当时，，又时，，不符合题意；当时，，令，解得：，令，解得：，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为，所以.（2）由(1)知：时，在上恒成立，即，所以当时，，即，又当时，，所以，所以要证，只需证，即证，令，则有，又，所以，所以在上恒成立，即在上单调递减，，所以当时，.10．（2023·高二校考课时练习）已知函数．(1)求曲线的斜率为1的切线方程；(2)当时，求证：．【解析】（1），令，即，解得或，又，，所以曲线的斜率为1的切线方程为：与，即与．（2）证明：令，，则，，令，得或，当变化时，，的变化情况如下：06 00 单调递增0单调递减单调递增18所以的最小值为，最大值为18，所以，所以．11．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．(1)若，求的取值范围；(2)当时，证明：．【解析】（1）记．则恒成立，即．当，当，在上单调递增，在上单调递减．．解得．实数的取值范围是；（2）记．在上单调递增．令，则，所以即在上单调递增．由，知．．即，当单调递减；当单调递增．，由（*）式，可得．代入式，得．由（1）知，当时有，故．．由．故，即，原不等式得证．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，．(1)判断函数的单调性；(2)证明：．【解析】（1）函数在给定区间内单调递减，理由如下：因为函数，，所以，设，则，所以在区间上单调递减，故，即，所以函数在区间上单调递减；（2），，先证时，，即，设，则，所以在区间上单调递增，所以，即；再证时，，即，设，则，所以在上单调递增，所以，所以；综上，.19．（2023秋·山西大同·高二大同一中校考期末）设函数是函数的导函数.(1)讨论的单调性；(2)若，且，结合（1）的结论，你能得到怎样的不等式？(3)利用（2）中的不等式证明：.【解析】（1）由题意，函数，其中函数的定义域为，可得，令，可得或，若，则当时，，当时，，所以上单调递减，在上单调递增；若，则当时，，当时，，所以在单调递减，在上单调递增.（2）由函数且，可得，因为，可得，解得或（与矛盾，舍去），故由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，所以在时取得最小值，最小值，即，故对于任意恒成立，有不等式成立，当且仅当时，“=”成立.（3）由（2）知当时，有成立，令，则整理得，，所以.20．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．(1)已知点在函数的图象上，求函数在点P处的切线方程．(2)当时，求证．【解析】（1）由解得，所以，，所以，，切线方程为，即所求切线方程为；（2）证明得定义域为，，设，则，故是增函数，当时，，时，，所以存在，使得①，且时，，单调递减，时，，单调递增，故②，由①式得③，将①③两式代入②式，结合得：，当且仅当时取等号，结合②式可知，此时，故恒成立．21．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.(1)求函数在上的零点个数；(2)当时，求证：.（参考数据：）【解析】（1）由题，，令，，则.得在上单调递增.因，则，又，则.又.得.又，则.则，使得，又在上单调递增，则当，在上单调递减，当，在上单调递增.又注意到，，则，又，.则，即在上有2个零点.（2），令，.则.则，令，，则.①当，，则；②当，.则，得在上单调递增，则.故在上单调递减，则此时；③当，，又此时，则，得在上单调递增，则.故在上单调递增，则此时；④当，，又此时，则.得在上单调递增，又，故在上单调递增.则.综上，当时，，即，当且仅当时取等号.22．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，若恒成立，(1)求实数的取值范围；(2)当时，证明：.【解析】（1）由题设在上恒成立，所以在上恒成立，令，则，令，则在上恒成立，所以在上递增，显然，，故使，则上，上，所以上，递增；上，递减；又，即，则，综上，.（2）由（1）知：，所以且，要使恒成立，只需证恒成立，只需证恒成立，当时，若，则，即递增，又也递增，所以在上递增，故恒成立，当时，令且，则，即递增，故，所以在上恒成立，故，令，则，所以在上递减，故，即，综上，在上恒成立，所以，时得证.