专题04 不等式（专题练习）——高二数学下学期期末专项复习学案+期末模拟卷（人教B版2019）

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专题04  不等式【专项训练】一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】由可得或，所以集合或，又集合，所以，故选:C.2．已知集合，，则（      ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，得：，或，∴，则.故选：B．3．若x，y∈R，2x+2y=1，则x+y的取值范围是（    ）A．(﹣∞，﹣2] B．(0，1) C．(﹣∞，﹣0] D．(1，+∞)【答案】A【详解】解：因为，所以，即，当且仅当，即时取“=”，所以x+y的取值范围是(﹣∞，﹣2].故选：A.4．某市长期追踪市民的经济状况，依照订立的标准将市民分为高收入和低收入两类.统计数据表明该市高收入市民人口一直是低收入市民人口的两倍，且高收入市民中每年有会转变为低收入市民.那么该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：设原来低收入市民人口为，则高收入市民人口为，设该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比为，则由题意可得，解得，故选：C5．若实数，，满足，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】因实数，，满足，则a，b，c大小不等，且b在a，c之间，取a=0，则，即选项A，C都不正确，而，即选项D不正确，选项B正确.故选：B6．已知，，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由得，，， 即，，故充分性成立；当，时，有，但不成立，故必要性不成立.“”是“”的充分不必要条件.故选：A.7．已知，，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】.设，所以，解得：，，因为，，所以，因为单调递增，所以.故选：C8．若正实数，满足，则的最小值为（    ）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】A【详解】因为，所以，则，当且仅当时取等号，故选：A．9．若正数、满足，若不等式的恒成立，则的最大值等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】已知正数、满足，可得，所以，，当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，.因此，实数的最大值为.故选：A.10．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（    ）A．里 B．里 C．里 D．里【答案】D【详解】因为1里=300步，则由图知步=4里，步=2.5里．由题意，得，则，所以该小城的周长为，当且仅当时等号成立. 二、多选题11．已知，则下列不等式正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【详解】解：因为，所以，对于A，因为，所以，，所以，所以A正确；对于B，因为，所以，因为在上为增函数，所以，所以B错误；对于C，因为，所以，若成立，则，所以，所以，则，所以，这与相矛盾，所以C错误；对于D，因为，所以，所以，因为，所以等号不成立，所以，所以D正确，故选：AD12．已知实数，，满足，且，则下列结论正确的是（    ）A．的最小值为 B．的最大值为C．的最小值为 D．取最小值时【答案】ACD【详解】因为，，所以；由柯西不等式可得：，当且仅当，即时，等号成立；所以，因此，整理得，解得，即A正确；由可得，而，当且仅当时，等号成立；所以，整理得，解得，故B错，C正确；由可得，则，所以，因此，所以，令，，则，当时，，当时，，当时，，故在为增函数，在为减函数，为增函数，所以的极小值为，又，而，所以，即取最小值时，故D正确.13．已知正数，满足，则（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】正数，满足，所以，当且仅当，即时等号成立，故A错误；由知，，构造函数，则，故时，，单调递减；时，，单调递增.所以，故时，有，B正确；由，当且仅当时等号成立，故，故，当且仅当时取等号，而，所以，C正确；由知，，构造函数，则，由指数函数性质可知单调递增，又，故时，，单调递减；时，，单调递增.故，即，D正确. 三、解答题14．已知平面上的动点及两定点，，直线､的斜率分别为､，且，设动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点的直线与曲线交于､两点.记与的面积分别为和，求的最大值.【详解】解：（1）由题意知，且，则整理得，曲线的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为此时与面积相等，当直线的斜率存在时，设直线方程为､联立方程，得消去，得：，且，此时因为，上式(当且仅当时等号成立)所以的最大值为.15．已知函数．（1）作出的图象并求出的值域；（2）已知，，的最大值为，，求的最小值．【详解】（1）由题知，作出的图象如图所示，由图知，的值域为． （2）由题知，，∴，∴，所以有：当且仅当且，即时，取得最小值．