2023年陕西省榆林市神木市中考数学一模试卷（含解析）

2023年陕西省榆林市神木市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  手机移动支付给生活带来便捷，若张阿姨微信收入元表示为元，则张阿姨微信出支元应表示为(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

2.  下列图形中是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  年月日、日，全国政协十四届一次会议、十四届全国人大一次会议先后闭幕年政府工作报告指出，年中国经济预期增长左右，新增城镇就业目标上调至人左右，数据用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，在中，，将沿方向平移得到，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在平面直角坐标系中，将一次函数是常数的图象向下平移个单位长度后经过点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是(    )
 

A.
B.
C.
D.

7.  如图，为的直径，为的弦，且于点，若点为的中点，，则劣弧的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线，则、的值分别为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  分解因式：______．

10.  从七边形的一个顶点出发的所有对角线，把这个七边形分成______ 个三角形．

11.  我国古代数学家赵爽在其所著的勾股圆方图注中记载过一元二次方程正根的几何解法，以方程即为例加以说明，构造如图，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得那么，图是方程______ 的几何解法．

12.  如图，点、均在反比例函数的图象上，连接、，过点作轴于点，交于点，已知点为的中点，且的面积为，若点的横坐标为，则点的纵坐标为______ ．

13.  如图，为正方形的对角线，点为的中点，点为边上一点，连接并延长交于点，过点作于点，连接，若正方形的边长为，则的最小值为______ 结果保留根号
 

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
解不等式组：．

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

17.  本小题分
如图，点为矩形的边上一点，请用尺规作图法在对角线上求作一点，使∽保留作图痕迹，不写作法
 

18.  本小题分
如图，点、、分别为的边、、的中点，连接、、、，与相交于点，求证：．

19.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上，且点、的坐标分别为，．
在轴的左侧以原点为位似中心作的位似图形点、的对应点分别为，使与的相似比为：；
在的条件下，分别写出点、的坐标．

20.  本小题分
产权保护特别是知识产权保护是塑造良好营商环境的重要方面，保护知识产权就是保护创新，年来，我国知识产权法律制度不断完善，保护力度持续增强为增进社会公民对知识产权的了解、增强知识产权保护意识，校志愿者团队准备从，，，四名志愿者中通过抽卡片的方式确定两名志愿者参加抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
“志愿者被选中”是______ 事件；填“随机”“不可能”或“必然”
请你用列表法或画树状图法求出，两名志愿者被选中的概率．

21.  本小题分
无定河，黄河一级支流，位于中国陕西省北部，是榆林市最大的河流，是榆林人的母亲河某天，优优同学想测量无定河某段的宽度，如图所示，河对岸的直线上有两棵大树、，优优同学在河边与直线平行的直线上取相距的、两点，用测角仪测得，，，于点，根据以上数据，请你计算无定河该段的宽结果保留根号
 

22.  本小题分
聂震宁委员提出，把孔子诞生日月日定为我国的“全国读书节”，以此唤醒年来国民读书的热情，进一步推动中华文化在全球范围的传播，某学校为更好地创设阅读环境，营造读书氛围，拟购进一批阅读书籍，经了解，从“好学书店”购进某种书籍的本数本与所需的总价钱元之间的关系如图所示，根据图中的信息，解答下列问题：
从“好学书店”购进该种书籍本时，所需的总价钱为______ 元；
当时，求与之间的函数关系式；
若购买不超过本时，全部按原价购买，那么购买超过本时，超过部分是按原价的几折购买？

23.  本小题分
文化自信是一个民族、一个国家以及一个政党对自身文化价值的充分肯定和积极践行，在全球化发展的背景下，面对纷繁复杂的国际形势和日益激烈的竞争，若要在激荡的形势下始终屹立不倒，就要坚定文化自信，注重对本民族优秀传统文化的传承与弘扬，增强国家软实力某校为了增强学生的文化自信，举办了“品经典风韵展文化自信”书香文化节知识竞赛，赛后随机抽取八、九年级各名参赛同学的竞赛成绩单位：分，并对数据进行收集、整理和分析如下：
【数据收集】
八年级：，，，，，，，，，
九年级：，，，，，，，，，
【数据整理】

【数据分析】

根据上述的收集、整理和分析结果，解答下列问题：
扇形图中 ______ ，表中 ______ ，并补全条形统计图；
请计算表中的值；需写出计算过程
若九年级共有名同学参加了此次竞赛，请你估计九年级参加竞赛的同学中，共有多少名同学在此次竞赛中拿到了满分分？

24.  本小题分
如图，是的外接圆，是的直径，点在上，连接，且平分，过点作的切线交的延长线于点．
求证：；
若，，求的长．

25.  本小题分
如图，抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点、点在点的右侧，与轴交于点，点为该抛物线的对称轴上的点．
求该抛物线的函数表达式和点的坐标；
在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

26.  本小题分
操作发现：
如图，小明将矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，然后把纸片展开铺平，则四边形的形状是______ ；
深入探究：
如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点、分别在轴、轴正半轴上将矩形沿折叠，使点落在轴上的点处，然后把矩形展开铺平；再将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，点落在点处，交于点，交于点．
求证：；
若点的坐标为，，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：若张阿姨微信收入元表示为元，则张阿姨微信出支元应表示为元．
故选：．
在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
本题主要考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
将沿方向平移得到，
．
故选：．
根据等腰三角形的性质可求，再根据平移的性质即可求解．
此题考查了平移的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握平移的性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据一次函数的平移，
可知平移后的解析式为，
将点代入，
得，
解得，
故选：．
根据一次函数的平移，可知平移后的解析式，再将点代入平移后的解析式即可求出的值．
本题考查了一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移规律是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】分析
根据菱形的定义及其判定对各选项逐一判断即可得．
本题主要考查平行四边形的判定和菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定．
详解
解：四边形的两条对角线相交于点，且互相平分，
四边形是平行四边形，
，
当或时，均可判定四边形是菱形；
当时，不能判定四边形是菱形；
当时，
由得：，
，
，
四边形是菱形；
故选C．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

于，点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
劣弧的长为．
故选：．
连接，根据于，点为的中点，可得，所以，根据等腰三角形的性质得，根据弧长公式即可求出答案．
本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，正确求出是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：将抛物线化成顶点式为，
将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得新抛物线解析式为，
即，
即抛物线的解析式为，
，，
故选：．
将抛物线化成顶点式，再根据“左加右减，上加下减”，采取逆推的方法可得抛物线的解析式．
本题主要考查了二次函数平移的特征，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为．
首先提取公因式，然后利用完全平方式进行因式分解即可．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时，．
即可以把这个六边形分成了个三角形，
故答案为：．
从边形的一个顶点出发有条对角线，共分成了个三角形．
本题考查了多边形的对角线，正确记忆从边形的一个顶点出发有条对角线，共分成了个三角形是解题关键．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：由图知大正方形的面积是，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，
图可看出的几何解法，
故答案为：答案不唯一．
仿照案例，构造面积是的大正方形，由它的面积为，可求出，此题得解．
本题考查完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：为的中点，的面积为，
的面积为，
，
，
双曲线解析式为：，
把代入，得，
点的纵坐标为．
故答案为：．
先用三角形的面积关系求得的面积，再应用的几何意义求得，最后代入点坐标便可得解．
本题考查了反比例函数中的几何意义，关键是利用的面积转化为的面积．
 

13.【答案】 

【解析】解：取的中点，连接、、，
点为的中点，，
，，
，
，
，
，，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
取的中点，连接、、，由题意可知，，即可求得，得到，利用勾股定理求得，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据三角形三边关系即可得到．
本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质，三角形三边关系等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
 

14.【答案】解：

． 

【解析】先化简，然后合并同类二次根式和同类项即可．
本题考查二次根式的混合运算、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式的应用．
 

15.【答案】解：由，得，
由，得，
原不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】解：原式


；
当时，
原式
． 

【解析】先通分，再做除法，约分化简，最后代值计算．
本题考查了分式的化简求值，解题关键是掌握分式相关计算法则．
 

17.【答案】解：如图，作于点，
则点为所求．
 

【解析】过点作的垂线，垂足为点，由于四边形为矩形，则，，再根据平行线的性质得到，则可判断∽．
本题考查了作图相似变换：灵活运用相似三角形的判定方法是解决问题的关键．也考查了矩形的性质．
 

18.【答案】证明：点、、分别是、、的中点，
、为的中位线，
，，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】由三角形中位线定理即可证明，，得到四边形是平行四边形，因此．
本题考查三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，关键是由三角形中位线定理，证明四边形是平行四边形．
 

19.【答案】解：画出，如图所示：

根据图形可得：点的坐标为，点的坐标为． 

【解析】延长到，使，延长到，使，连接，即为所求；
根据图形确定出点、的坐标即可．
此题考查了作图位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解本题的关键．
 

20.【答案】随机 

【解析】解：“志愿者被选中”是随机事件，故答案为：随机；
列表如下：

由表可知，共有种等可能结果，其中，两名志愿者被选中的有种结果，
，两名志愿者被选中的概率为．
由随机事件的定义即可得出结论；
列表得出共有种等可能结果，其中，两名志愿者被选中的有种结果，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法求概率以及随机事件的概念．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：设米，则米．
，，
．
在中，，
米；
在中，，
，
，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
米．
答：无定河该段的宽为米． 

【解析】设米，则米，由各角之间的关系，可求出，在中，可找出米，在中，利用，可得出关于的分式方程，解之经检验后可得出的值，进而可得出无定河该段的宽．
本题考查了解直角三角形的应用以及解分式方程，在中，利用正切的定义找出关于的分式方程是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：由图象可知：购进图书本时，所需总价钱为元，
购进图书不超过本时，单价为元，
从“好学书店”购进该种书籍本时，所需的总价钱为元，
故答案为：．
设当时，与之间的函数关系式为，
图象经过点和点，
，
解得，
当时，与之间的函数关系式为．
当时，单价为元本，
当时，单价为元本，
，
购买超过本时，超过部分是按原价的八折购买．
根据图象求出购买不超过本的单价，再求购买本的总价即可．
设当时，与之间的函数关系式为，利用待定系数法求出即可．
分别求出购买不超过本的单价，购买超过本的单价，后者除以前者得到结果．
本题考查了一次函数的实际应用，读懂题意，结合函数图象，正确求出函数解析式是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：由题意得：，故；
八年级名参赛同学的竞赛成绩中出现的次数最多，故众数；
八年级名参赛同学的竞赛成绩中分有：人，
补全条形统计图如下：

故答案为：，；
分，
即表中的值为；
名，
估计九年级参加竞赛的同学中，大约共有名同学在此次竞赛中拿到了满分．
用分的人数除以样本容量可得的值；根据中位数的定义可得的值；用样本容量分别减去其它分数的人数可得分的人数，进而补全条形统计图；
根据加权平均数的计算方法解答即可；
用乘样本中拿到满分的学生所占百分比即可．
本题考查用样本估计总体、中位数、众数，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
 

24.【答案】证明：连接，如图，
平分，
，
，
，
为的切线，
，
；
解：，
，
，
是的直径，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
设，，
，
即，
解得，
，
． 

【解析】连接，如图，先利用圆周角定理得到，再根据垂径定理得到，接着利用切线的性质得，然后根据平行线的性质得到结论；
先利用得到，所以，再根据圆周角定理得，则利用余弦的定义可求出，所以，接着在中利用余弦的定义得到，于是设，，则，求出得到，然后计算即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．
 

25.【答案】解：设抛物线的函数表达式为，
将点代入得：，
解得，
抛物线的函数表达式为，
令得：，
解得，，
；
存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下：
记抛物线的对称轴与轴的交点为，则，
 当点在轴上方时，如图，点、分别在点的位置，过点作于点，如图：

，
，
，
，
，，
≌，
，，
，，
，
设，则，
将代入得：，
解得舍去或；
；
当点在轴下方时，如图点、分别在点的位置，过点作于点，如图：

，
，
，
，
，，
≌，
，，
，，
，
设，则，
把代入得：，
解得：舍去或，

综上所述，的坐标为或 

【解析】设抛物线的函数表达式为，将点代入得：，，故，令得；
记抛物线的对称轴与轴的交点为，则，分两种情况：当点在轴上方时，如图点、分别在点的位置，过点作于点，证明≌，得，，设，则，代入可得的值，从而；当点在轴下方时，如图点、分别在点的位置，过点作于点，同理可得
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的性质及应用，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
 

26.【答案】正方形 

【解析】解：四边形是正方形，理由如下：
由折叠可知，，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
四边形是正方形，
故答案为：正方形；
证明：如图，连接，

由知四边形是正方形，则，
四边形是矩形，
，，
由折叠知，，，
，，
又，
≌，
，
；
 解：由知≌，
，
由折叠知，，

点的坐标为，，
，
，，
，，
．
设，则，
在中，根据勾股定理得，

解得，，
，
过点作于点，延长交于点，延长、相交于点，
则，
，

，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
在正方形中，，
，
，
点的坐标为
首先证明四边形是菱形，由，可得四边形是正方形；
连接，根据折叠性质证明≌，可得，进而可以解决问题；
设，则，根据勾股定理得，求出，过点作于点，延长交于点，延长、相交于点，则，所以，列式求出，然后证明∽，对应边成比例求出，再利用线段的和差即可求出点的坐标．
本题考查四边形综合应用，涉及翻折变换、相似三角形判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．