宁夏2022-2023学年高三第一次模拟考试数学（理）试卷（含解析）

宁夏2022-2023学年高三第一次模拟考试数学（理）试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．设，为平面向量．若为单位向量，，与的夹角为，则（    ）

A． B． C． D．

3．若复数z满足，则（    ）

A． B． C． D．

4．数列中，，（其中），则使得成立的的最小值为（    ）

A． B． C． D．

5．锐角三角形的内角､满足：，则有（    ）

A． B．

C． D．

6．已知奇函数的定义域为，，当时，，则（    ）

A．-3 B．3 C．-2 D．2

7．设，满足约束条件，则的最小值是（    ）

A．-6 B．-5 C．1 D．3

8．在等比数列中，，且，则等于（    ）

A． B． C． D．

9．若，则函数的最大值为（    ）

A． B． C． D．

10．已知函数，设，，，则（    ）

A． B． C． D．

11．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是双纽线上一点，有如下说法：

①双纽线关于原点中心对称；

②；

③双纽线上满足的点有两个；

④的最大值为.

其中所有正确的说法为（    ）

A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④

12．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知双曲线的标准方程为，其右焦点为，以为直径的圆和直线相交于，两点，则_____．

14．曲靖一中2023届高二年级春节学期4月份月考中，理科考试学生人数为820人，假设数学成绩，那么全年级数学成绩在80-127.4分之间的理科学生人数大约是________人．

参考统计数据：， ，．

15．已知是球的球面上的四点，为球的直径，球的表面积为，且，，则直线与平面所成角的正弦值是___________.

16．在△ABC中，已知，，，则△ABC周长为______．

三、解答题

17．如图，在多面体ABCDEF中，A，B，C，D四点共面，，，AF⊥平面ABCD，．

(1)求证：CD⊥平面ADF；

(2)若，，求平面和平面的夹角的余弦值．

18．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的积极性有影响，为此，随机抽取了本校50名学生，其中男、女生的比例为，按照性别和体育锻炼情况整理得到如下的列联表：

(1)请将列联表补充完整，并依据的独立性检验，判断体育锻炼的积极性与性别是否有关联？

(2)为进一步了解影响学生体育锻炼积极性的原因，现对样本中不经常进行体育锻炼的学生逐个进行访谈（随机抽取确定访谈顺序），设2名男生恰好访谈完毕时，已访谈的女生数为X，求随机变量X的分布列．

参考公式：

19．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量已知，.

（1）霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；

（2）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值.

20．已知椭圆的右焦点为，短轴长为2，点为椭圆上一个动点，且的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若点的坐标为，点为椭圆上异于点的不同两点，且直线平分，求直线的斜率.

21．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数存在唯一极小值点，证明：.

22．已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中，曲线.

(1)写出的直角坐标方程和的参数方程；

(2)设分别为上的任意一点，求的最大值.

23．函数f（x）=lg（－x－1）的定义域与函数g（x）＝lg（x－3）的定义域的并集为集合A，函数t（x）＝－a（x≤2）的值域为集合B.

（1）求集合A与B.　　

（2）若集合A，B满足A∩B＝B，求实数a取值范围.

参考答案

1．A

【分析】解出集合，根据并集的运算法则求得结果.

【详解】由，

得，得

即，

则

故选：A.

2．B

【分析】先计算出，，即可求得.

【详解】由题意知：，，故.

故选：B.

3．A

【分析】直接计算得，则，代入利用复数除法运算法则即可.

【详解】依题意，所以，

所以，则，

故选：A.

4．B

【分析】先由递推公式求出前项，得到数列是以为周期的数列，求出前项的和，得到前项和小于，加上第和第项和后满足条件．

【详解】由，得，…，由上可知，数列是以为周期的周期数列，

又．∵，∴数列的前项和小于，加上后大于，

∴使得成立的的最小值为．

故选：B．

5．C

【分析】根据三角恒等变换及诱导公式化简变形即可.

【详解】将，变形为则

，又，故，

即，，

因为内角､都为锐角，则，故，即

，，所以.

故选：C.

6．D

【分析】利用赋值法以及奇函数的性质、函数的周期性进行求解.

【详解】因为，所以，即，

又当时，，则，所以．

所以当时，，

因为是奇函数，所以，

又，所以，

所以，即，即函数的周期为6，

所以．故A，B，C错误.

故选：D.

7．A

【分析】如图所示：画出可行域和目标函数，根据平移得到答案.

【详解】解:画出，满足约束条件对应的平面区域,如图阴影部分，  

由，得，平移直线，

由平移可知当直线过点A时，直线的截距最小，z取得最小值，

由求得，可得，即z的最小值是−6，

故选:A.

8．C

【分析】由等比数列的性质可得，再利用对数运算性质即可得出结果.

【详解】解：因为，

所以.

故选：C.

9．D

【解析】令，在该等式两边同时平方，利用基本不等式可求得的最大值，进而可求得的最大值.

【详解】，，，令，

两边平方，

又，

，，当且仅当时，即当时，等号成立，

因此，的最大值为，

故选：D.

【点睛】应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式，，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了和的转化关系．

10．B

【分析】确定函数的奇偶性，利用导数确定的单调性，由奇偶性得再根据对数函数性质、指数函数性质比较的大小后可得．

【详解】是偶函数，，令，则，

所以在上单调递增，，在上，单调递减，在上，单调递增，

，由于是偶函数，，

，，，在上单调递增，所以，

故选：B.

11．D

【分析】对于①，根据双纽线的定义求出曲线方程，然后将替换方程中的进行判断，对于②，根据三角形的等面积法分析判断，对于③，由题意得，从而可得点在轴上，进行可判断，对于④，由向量的性质结合余弦定理分析判断,据此可求出选项.

【详解】对于①，因为定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，所以，

用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，所以①正确；

对于②，根据三角形的等面积法可知，

即，所以，所以②正确；

对于③，若双纽线上的点满足，则点在轴上，即，

所以，得，所以这样的点只有一个，所以③错误；

对于④，因为，

所以，

由余弦定理得，

所以，

所以的最大值为，所以④正确，

故选：D

12．B

【分析】利用正切函数单调性借助1比较b，c大小；构造函数比较a，b大小作答.

【详解】因为在上单调递增，于是，即，

令，求导得，则在上单调递减， ，即，

取，，因此，即，所以.

故选：B

【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.

13．4

【分析】求出圆心到直线的距离和圆的半径即可求解.

【详解】双曲线的标准方程为，右焦点，

设以为直径的圆的圆心到直线的距离为，

则，半径，．

故答案为：4.

14．672

【分析】根据数学成绩，得到曲线关于 对称，根据 原则知 ，然后求解数学成绩在80-127.4分之间的学生人数

【详解】

．

，数学成绩在80-127.4分之间的理科学生人数大约是672人．

故答案为：672

15．##

【分析】取AC中点，延长至E，使，根据给定条件证明平面ABC，经推理计算作答.

【详解】依题意，是中点，取AC中点，延长至E，使，连接，如图，

则有，且四边形是平行四边形，，

因，则是平面截球O所得截面小圆的圆心，于是得平面，平面，

因此，是直线与平面所成角，

由球的表面积为得球半径，而，则，而，

从而得，，中，，，

所以直线与平面所成角的正弦值是.

故答案为：

16．12

【分析】利用向量数量积的定义和余弦定理即可求解.

【详解】因为，

所以，

又，

所以，

，

由余弦定理得，，

所以，

所以，

所以，

则△ABC周长为.

故答案为：12.

17．(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)利用线面垂直的性质和勾股定理得到线线垂直，再利用线面垂直的判定即可证明；

(2)建立空间直角坐标系，求出相应的坐标，分别求出平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.

【详解】（1）因为AF⊥平面，且平面，所以CD⊥AF，AD⊥AF．

因为AF∥CE，所以CE⊥平面，平面，所以CE⊥CD．

所以在和中，由勾股定理得

，．

又因为，所以，即CD⊥AD．

由，平面，所以CD⊥平面．

（2）由（1）得CD⊥AD，当时，点D在线段AC的垂直平分线上，D到直线AC的距离为1，由，AF⊥平面，故以点A为坐标原点，建立如图所示空间直角标系．

则，，，，，，．

设平面的一个法向量为，

由，得，令，得．

设平面的一个法向量为，则

由，得，令，得．

则．

所以平面和平面的夹角的余弦值为．

18．(1)填表见解析；认为体育锻炼的积极性与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05

(2)答案见解析

【分析】（1）先根据已知条件和列联表中的数据补充列联表，然后根据公式求解，再根据临界值表比较可得结论，

（2）由题意可得X的所有可能取值为：0，1，2，然后求出相应的概率，可得随机变量X的分布列

(1)

由题意可得，一共抽样50个，男、女生之比为，故男生有人，女生有10人，故男生经常锻炼的人数为，女生不经常锻炼的人数为，填表如下：

零假设为：体育锻炼的积极性与性别无关，经计算

，

故推断不成立，即认为体育锻炼的积极性与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．

(2)

依题意得，访谈顺序的所有可能为男男女女女，男女男女女，男女女男女，男女女女男，女男男女女，女男女男女，女男女女男，女女男男女，女女男女男，女女女男男，共10种可能．

X的所有可能取值为：0，1，2，3．，

则X的分布列为：

19．（1）；（2）.

【分析】（1）在和中分别对使用余弦定理，可推出与的关系，即可得出是一个定值；

（2）求出的表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取范围，可得出的最大值.

【详解】（1）在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，，

则，；

（2），，

则，

由（1）知：，代入上式得：

，

配方得：，

当时，取到最大值.

【点睛】本题考查余弦定理的应用、三角形面积的求法以及二次函数最值的求解，解题的关键就是利用题中结论将问题转化为二次函数来求解，考查运算求解能力，属于中等题.

20．（1）；（2）.

【分析】（1）根据条件，利用待定系数法求解.

（2）设而不求，利用直线方程与椭圆方程联立，韦达定理进行求解.

【详解】（1）由题可知，,，

由得，

所以椭圆的方程为.

（II）设点, 的坐标分别为，，由题意可知直线的斜率存在，

设直线的方程为，由得，化简：

，

因为，所以

又因为直线平分，所以直线，的倾斜角互补，斜率互为相反数.

同理可得：，所以

.

所以直线的斜率为.

21．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）求导，利用导函数的几何意义求出切线斜率，从而求出切线方程；

（2）先求定义域，再求导，分与两种情况，分析出不成立，在下，求出导函数单调递增，使用放缩法得到，，利用零点存在性定理得到函数存在唯一极小值点，且.

（1）

当时，函数，所以，

设切线的斜率为，则，又，

所以切点为，故，

所以曲线在点处的切线方程为.

（2）

函数的定义域为，

当时，，所以，函数在上单调递减，不存在极值点.

当时，设，则，所以在上单调递增.

接下来会使用三个不等式，这里先进行证明：

第一个，当时，，

显然，

令，则，

当时，，所以在上单调递增，

所以，故，，证毕；

第二个，，，

令，在上恒成立，

所以在上单调递增，

所以，故，，证毕；

第三个，，，

令，，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，故，成立，

因为，所以，

又因为，所以

故存在，使，且.

所以函数存在唯一极小值点，且.

【点睛】导函数证明或求解过程中，经常使用一些不等式进行适当放缩来达到事半功倍的效果，以下是常用的一些不等式需牢记，，，等等.

22．(1)，，（为参数）

(2)

【分析】对于（1），将代入可得的直角坐标方程；，后可得的参数方程；

对于（2），先求出N到圆心距离的最大值，则此时.

【详解】（1）将代入，

得

；

，令，其中.则的参数方程为：，(为参数）.

（2）设，圆心.

则

.

当，.

则.

23．（1）A＝｛x｜x＞3或x＜－1｝，B＝｛y｜－a＜y≤4－a｝；（2）（－∞，－3］∪（5，＋∞）.

【分析】（1）先求函数的定义域即得集合A,再求集合B；（2）由题得BA，所以－a≥3或4－a＜－1，解不等式即得解.

【详解】解：（1）由题得. ,

所以A＝｛x｜x＞3或x＜－1｝.

因为函数t（x）＝－a（x≤2）是增函数，

所以B＝｛y｜y≤4－a｝.

（2）∵A∩B＝B　　

∴BA　　

∴－a≥3或4－a＜－1

所以a≤－3或a＞5,

∴a的取值范围为（－∞，－3］∪（5，＋∞）

【点睛】本题主要考查函数定义域的求法和集合的运算关系，考查函数值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.