宁夏2023届高三第一次模拟考试数学（文）试卷（含解析）

宁夏2023届高三第一次模拟考试数学（文）试卷

学校:___________姓名：___________班级：_______________

一、单选题

1．给出下列关系：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．设复数z满足，则（    ）

A． B． C． D．

3．现有下面四个推理：

①每个偶函数都有最大值；

②若，则；

③如果今天是星期五，那么二十天后是星期四；

④已知函数，因为，，所以.

其中所有推理正确的序号是（    ）

A．③ B．②③ C．②④ D．①②④

4．已知，，若，则（    ）

A．4 B．3 C． D．

5．已知定义域为R的函数满足，且在单调递减，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

6．圆的圆心到直线的距离是（    ）

A． B． C．1 D．

7．考查棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如表数据：

根据以上数据，则（    ）A．种子是否经过处理决定是否生病

B．种子是否经过处理跟是否生病无关

C．种子是否经过处理跟是否生病有关

D．以上都是错误的

8．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

9．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（    ）

A．1958 B．1960 C．1988 D．1990

10．已知变量，满足约束条件，若目标函数的最小值为2，则的最小值为（    ）

A．9 B． C．5 D．

11．在中，、、所对的边分别为、、，的面积为，，，且满足，则该三角形的外接圆的半径为（    ）

A． B． C． D．

12．函数的零点个数为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．请根据矩形图表信息，补齐不等式：______.

14．如图是中国古代的太极图，图中的黑色区域和白色区域关于圆心成中心对称，在图中随机取一点，则此点取自黑色区域的概率是____________．

15．按如图连接圆上的五等分点，得到优美的“五角星”，图形中含有很多美妙的数学关系式，例如图中点H即弦的黄金分割点，其黄金分割比为，且五角星的每个顶角都为等.由此信息可以求出的值为___________.

16．椭圆：的左，右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，直线将分成面积相等的两部分，则的取值范围是_________.

三、解答题

17．给定三个条件：①成等比数列，②，③，从上述三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.

问题：设公差不为零的等差数列的前n项和为，且，___________.

(1)求数列的通项；

(2)若，求数列的前n项和.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18．如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．

(1)求证：平面；

(2)求二面角的正弦值．

19．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗．为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80 及以上的花苗为优质花苗．

(1)求图中的值，并求综合评分的中位数．

(2)填写下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关．

附：下面的临界值表仅供参考．

（参考公式：，其中）

20．已知函数.

(1)设是的极值点，求的单调区间；

(2)证明：当时，.

21．已知抛物线的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与交于A，B两点，（点O为坐标原点）的面积为2.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若过点的两直线 的倾斜角互补，直线与抛物线C交于M，N两点，直线与抛物线交于P，Q两点，与的面积相等，求实数的取值范围.

22．如图，在平面四边形中，，，，．

(1)求；

(2)求的长．

23．（1）求函数的最大值m;

（2）若a>1，b>1，c>1，a+b+c=m，求的最小值.

参考答案

1．A

【分析】依次判断出各数所属于的数域范围，进而判断出正误.

【详解】是实数，①正确；是无理数，②错误；是整数，③错误；是自然数，④错误；0是有理数，⑤错误，所以正确的个数为1．

故选：A．

2．A

【分析】先由求出复数，则可求得其共轭复数，从而可求出其模

【详解】由，得，

所以，

所以

故选：A．

3．B

【分析】偶函数不一定有最值；由小范围可推大范围成立可判断②正确；一星期有7天，21天后是周五，则20天后是周四；可判断正确；将代入求值可判断④错误

【详解】因为存在没有最大值的偶函数，所以①错误；

因为，所以②正确；

如果今天是星期五，那么二十一天后是星期五，所以二十天后是星期四，所以③正确；

若函数，则，所以④错误.

故选：B

4．D

【分析】根据及、的坐标，应用坐标表示向量垂直即可求参数

【详解】由，，

有

解得

故选：D

【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示，利用已知向量坐标及垂直关系有求参数值

5．D

【分析】根据得为偶函数，再根据单调性判断即可.

【详解】由定义域为R的函数满足得：

函数是偶函数，

所以，

因为，又函数在单调递减

所以

即：   

故选：D.

6．A

【分析】根据圆的方程得出圆心坐标（1，0），直接依据点到直线的距离公式可以得出答案.

【详解】圆的圆心坐标为（1，0），

∴圆心到直线的距离为.

故选：A.

【点睛】本题考查点到直线的距离公式，属于基础题型.

7．C

【分析】根据表格提供的数据作出判断.

【详解】由列联表中的数据可知，

种子经过处理，得病的比例明显降低，

种子未经过处理，得病的比例要高些，

所以可得结论：种子是否经过处理跟是否生病有关.

故选：C

8．A

【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的2倍，求得的初步范围，然后结合余弦函数的单调性进一步确定的范围，得到答案.

【详解】由题意有，可得，又由，必有，可得.

故选：A

9．A

【分析】根据程序逐行模拟,直到时退出循环，输出即得.

【详解】的初始值为0，的初始值为2020，

，，；

，，；

，；

，，；

，，

成立，故输出的的值为1958，

故选A．

10．D

【分析】根据约束条件作出可行域，再根据几何意义可得，再根据结合基本不等式即可得解.

【详解】解：作出约束条件的可行域，如图所示，

则目标函数过点时，取得最小值，

所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为.

故选：D.

11．B

【解析】由三角形的面积公式和余弦公式可求得角，结合平面向量的数量积可求得，利用正弦定理可得出，再利用余弦定理可求得，进而利用正弦定理可求得的值.

【详解】由题意，，即，得，

又，所以.

又因为，所以.

由余弦定理得，

又因为，所以，

所以，所以，

由正弦定理可得，所以，

故选：B.

【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．

12．A

【分析】利用导数求得函数的单调性与最小值，结合单调性与最小值，即可求解.

【详解】由题意，函数的定义域为，且，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

所以当时，函数取得最小值，最小值为，

所以函数在定义域内没有零点.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，其中解答中利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

13．

【分析】在直角三角形中利用勾股定理和三角形三边关系即得.

【详解】解：由勾股定理知，，

，，

如图中的，根据三角形的两边之和大于第三边，知，

当且仅当，，三点共线时，等号成立，

∴

故答案为：

14．

【分析】由面积比可求得所求概率.

【详解】黑色区域和白色区域关于圆心成中心对称，黑色区域的面积是总面积的，

在图中随机取一点，则此点取自黑色区域的概率是.

故答案为：.

15．

【分析】在中，利用正弦定理，结合诱导公式、二倍角公式计算作答.

【详解】在中，，由正弦定理得：，而，

于是得，即，因此，.

故答案为：

【点睛】关键点睛：条件较隐含的解三角形问题，根据题意设出变量，再选择恰当的三角形，借助正余弦定理列出方程、方程组是解题的关键.

16．

【分析】根据已知条件求得，根据直线与轴的交点的位置进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.

【详解】依题意，，解得，

所以椭圆的方程为，

由于，，

所以是等腰直角三角形，

所以，

直线的方程为，直线的方程为，

设直线与的交点为，与轴的交点为，

①当与重合时，，则，

所以，解得.

②当在之间时，，

所以，

由解得，，

由令，得，

所以，所以，

整理得，由解得.

③当在左侧，则，，

设直线与的交点为，

由解得，

因为，

所以，

，所以，

所以，

所以.

综上所述，的取值范围是.

故答案为：

【点睛】求解椭圆的方程，关键点是根据已知条件求得，是个未知数，需要个条件，其中一个条件是，另外的两个条件由题目给出，如本题中的点坐标以及离心率，通过解方程组可求得，进而求得椭圆的方程.

17．(1)

(2)

【分析】（1）若选条件①，根据成等比数列，得，然后利用基本量思想求出和，最后利用等差数列通项公式进行求解；若选条件②或③，直接利用基本量思想求出和，然后利用等差数列通项公式进行求解；

（2）根据（1）的通项公式，代入中，得，然后利用错位相减法求解前项和.

【详解】（1）设等差数列的公差为.

选条件①：成等比数列，

，

解得，故数列的通项.

选条件②：，

解得，故数列的通项.

选条件③：，

，

解得，故数列的通项.

（2）由（1）得

所以，

可得，

两式相减得

，

所以.

18．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取中点为，连接，，进而证明四边形为平行四边形即可证明结论；

（2）取中点为，以为空间直角坐标系原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可；

【详解】（1）证明：取中点为，连接，，如图所示，

因为，分别是，的中点，所以且，

又因为且，

所以，，

所以四边形为平行四边形，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面．

（2）解：取中点为，以为空间直角坐标系原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，

设平面的法向量为，

因为，，

所以，令，解得，即，

设平面的法向量为，

因为，，

所以，令，解得，即，

记平面与平面夹角为，，

则，，

所以二面角的正弦值为．

19．(1)；综合评分的中位数为82.5

(2)填表见解析；有99%得到把握任务优质花苗与培育方法有关

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，即可求出，再根据中位数计算方法求出中位数；

（2）完善列联表，计算出卡方，即可判断；

（1）

解：由直方图的性质可知： ，

解得，  

因为，所以中位数位于之间，

设中位数为，则有，解得，

故综合评分的中位数为；

（2）

解：根据第一问，优质花苗的频率为0.6，样本中优质花苗的数量为60，

得如下列联表：

所以，   

所以有得到把握任务优质花苗与培育方法有关；

20．(1)减区间为，增区间为；

(2)证明见解析﹒

【分析】(1)根据求出a的值，根据导数的正负判断f(x)单调区间即可；

(2)时，，令，判断g(x)单调性，证明其最小值即可．

(1)

函数.，

是的极值点，，解得，

，，

显然在上单调递增，而，

当时，，当时，，

的减区间为，增区间为；

(2)

当时，，设，则，

由，得，且在上单调递增，

∴当时，，g(x)单调递减，当时，，g(x)单调递增，

是的极小值点，也是最小值点，

故当时，，

当．

21．（1）；（2）.

【分析】（1）根据题意可得的坐标分别为，则，解得的值，即可求得抛物线的方程；

（2）设直线，点，联立椭圆的方程，可得，结合韦达定理可得，由弦长公式可得，由点到直线的距离公式可得焦点F到直线的距离，得，同理可得|，由，得到，解出的取值范围.

【详解】（1）由题意，抛物线的焦点，

所以A，B的坐标分别为，

所以，解得，

所以抛物线的方程为.

（Ⅱ）由题意可知直线的斜率存在，且不为0，设直线，

设点，

联立方程组，整理得，

所以，且，

所以，

焦点F到直线的距离＝2，

所以，

设直线的方程为，

联立方程组，整理得，可得，

将用代换，可得，

由，可得2，

化简可得，两边平方得，

所以，解得，

又由且，可得或，可知

所以，即，所以，

所以实数的取值范围是.

【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：

对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．

22．(1)

(2)

【分析】（1）记，根据题意用表示相关未知量，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解；

（2）法一：利用两角和公式求，在中，利用正弦定理运算求解；法二：先求，在中，利用余弦定理运算求解.

【详解】（1）∵，，，∴，

记，则，

∵，，∴，

在中，由正弦定理得：，则，

可得，化简得，

联立方程，解得或，

∵，则，

故．

（2）解法一：由（1）知：，

由正弦定理得：，∴，

解法二：在中，，

在中，由余弦定理得：，

即，则，解得或（舍去），

故.

23．（1）4；（2）9.

【分析】（1）根据绝对值不等式即可求出最大值；

（2）利用柯西不等式可以求出.

【详解】（1）由绝对值不等式，

所以．

（2）由（1）知：，即，所以，

由柯西不等式：

，

当且仅当，等号成立，

的最小值为9．

【点睛】本题考查绝对值不等式和柯西不等式的应用，属于基础题.