宁夏回族自治区2023届高三第一次模拟考试数学（理）试卷（含解析）

宁夏回族自治区2023届高三第一次模拟考试数学（理）试卷学校:___________姓名：___________班级：____________

一、单选题

1．下列六个关系式：①0，②，③，④，⑤AA，⑥AA=；其中正确的个数为（    ）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

2．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

4．已知双曲线的离心率为，焦点为，点在上，若，则

A． B． C． D．

5．如图为某几何体的三视图，则该几何体中最大的侧面积是（    ）

A．

B．

C．

D．

6．下列函数中既是奇函数，又在定义域内为减函数的是（    ）

A． B． C． D．

7．在等比数列中，，，则（  ）

A． B． C． D．

8．为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉．如图所示，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为2m，且水流落在地面上以O为圆心，6m为半径的圆内，则管柱OA的高度为（    ）

A．2m B．3m C．2.5m D．1.5m

9．已知角的终边上一点的坐标为，角的终边与角的终边关于轴对称，则（    ）

A． B． C． D．

10．2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜潮举行，长三角城市群包括，上海市以及江苏省､浙江省､安徽省三省部分城市，简称“三省一市".现有名高三学生准备高考后到上海市､江苏省､浙江省､安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游则恰有一个地方未被选中的概率为（    ）

A． B． C． D．

11．已知定义在R上的可导函数函数的导函数为，满足，且为偶函数，,则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E为A1B1的中点，下列说法中正确的是（　　）

A．ED1与B1C所成的角大于60°

B．点E到平面ABC1D1的距离为1

C．三棱锥E﹣ABC1的外接球的表面积为

D．直线CE与平面ADB1所成的角为

二、填空题

13．展开式的二项式系数和等于64，则展开式中的系数等于___________.

14．经过点，且被圆所截得的弦最短时的直线的斜率为________．

15．等差数列{}前n项和为.已知+-=0，=38,则m=_______.

16．在平面直角坐标系中，已知点,，，是轴上的两个动点，且，则的最小值为__________

三、解答题

17．某跳绳训练队需对队员进行限时的跳绳达标测试.已知队员的测试分数与跳绳个数的关系如下：测试规则：每位队员最多进行两次测试，每次限时1分钟，当第一次测完，测试成绩达到60分及以上时，就以此次测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行两次测试.根据以往的训练效果，教练记录了队员甲在一分钟内限时测试的成绩，将数据分成组，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)计算值，并根据直方图计算队员甲在1分钟内跳绳个数的平均值；（同一组中的数据用该组区间中点值作为代表）

(2)将跳绳个数落入各组的频率作为概率，并假设每次跳绳相互独立，求队员甲达标测试不低于80分的概率.

18．如图，在四棱锥中，，，，平面平面，为中点.

(1)求证：面；

(2)点在棱上，设，若二面角余弦值为，求.

19．已知函数，．

(1)求的值；

(2)求函数的最小正周期；

(3)求函数的最小值．

20．已知椭圆的离心率为，且经过点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，点M是x轴上的一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A在x轴的上方)，若，且直线l与圆相切于点N，求△OMN的面积．

21．已知函数在x=1处取得极值0，其中a，．

(1)求函数在点处的切线方程；

(2)求函数在上的最大值和最小值．

22．如图，在极坐标系Ox中，点，曲线M是以OA为直径，为圆心的半圆，点B在曲线M上，四边形OBCD是正方形．

(1)当时，求B，C两点的极坐标；

(2)当点B在曲线M上运动时，求D点轨迹的极坐标方程．

23．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围

参考答案：

1．C

【分析】根据元素与集合的关系，空集的定义，子集的概念，交集的运算逐项判断即可.

【详解】①根据元素与集合的关系可知0正确；②集合中的元素只有一个，所以不正确；③根据空集是任何集合的子集可知正确；④空集不含任何元素，集合有一个元素，所以不正确；⑤因为任何集合都是本身的子集，故AA正确；

⑥由集合的交集运算可知AA=,故AA=不正确.

故正确的有①③⑤.

故选：C

2．D

【分析】根据复数的乘除运算以及复数与点的一一对应关系即可求解.

【详解】因为，

对应的点为位于第四象限，

故选:D.

3．C

【分析】利用存在量词命题的否定求解.

【详解】解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，

命题“，”是存在量词的命题，

所以命题“，”的否定是“，”.

故选：C

4．C

【分析】根据双曲线定义，可用a表示出与，再由离心率用a表示c，则在中，应用余弦定理可求得的值．

【详解】双曲线的焦点为，点在上

所以由定义可知,

所以解得与

因为双曲线的离心率为，所以

则中，由余弦定理可得

化简得

所以选C

【点睛】本题考查了双曲线的定义与性质，余弦定理的简单应用，属于基础题．

5．B

【分析】由三视图还原原几何体，确定几何体的结构，计算各面面积可得．

【详解】由三视图，原几何体是三棱锥，平面，，尺寸见三视图，

，

，．

故选：B．

6．D

【分析】A选项为基本初等函数，不具有奇偶性；B选项是增函数；C选项不是在定义域内单调递减，容易出错；D选项正确，可以奇偶性和单调性的定义证明

【详解】选项A中，对数函数是减函数，但不具有奇偶性，选项A错误

选项B中，是增函数减去减函数，根据单调性的性质可知，函数为增函数，所以选项B错误

选项C中，函数在和都是减函数，但不是在定义域内的减函数，所以选项C错误

选项D中，，，为奇函数，且时，，所以为减函数，所以选项D正确

故选：D

7．A

【分析】由题设结合等比数列通项公式求得公比，进而求.

【详解】由题设，，又，可得，

∴.

故选：A

8．B

【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出点的坐标，代入抛物线方程，即可求得，再将点代入抛物线方程中，求出，即可求得的高度．

【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，

由题意知，水流的轨迹为一开口向下的抛物线，设抛物线的方程为，

因为点，所以，解得，所以抛物线方程为，

点在抛物线上，所以，解得，

所以，所以管柱的高度为．

故选：B．

9．C

【分析】根据三角函数的定义得，再根据和角公式求解即可.

【详解】解：因为角的终边上一点的坐标为，角的终边与角的终边关于轴对称，

所以，点是角的终边上的点，

所以，，

所以

故选：C

10．B

【分析】求出4名同学去旅游的所有情况种数，再求出恰有一个地方未被选中的种数，由概率公式计算出概率．

【详解】4名同学去旅游的所有情况有：种

恰有一个地方未被选中共有种情况；

所以恰有一个地方未被选中的概率：；

故选：B.

【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的个数，本题属于中档题．

11．D

【解析】根据为偶函数，可得的图象关于x=1对称，即，设函数，求导可得的单调性，结合题干条件，即可求得答案.

【详解】因为为偶函数，则的图象关于x=0轴对称，

所以的图象关于x=1对称，

因为，所以，

设函数，

则，

因为，所以，即，

所以为减函数，

因为，所以，即

又，

所以，

所以，

故选：D

【点睛】解题的关键是适当构造函数，再利用导数判断函数单调性，结合题意，求得范围，常见的构造方法有（1）若，构造；（2）若，构造；（3）若，构造；（4）若构造.

12．D

【分析】利用平行线转移求异面直线成角的正切值，判断A错误；利用平行线上点到平面的距离相等求点到面距离，判断B错误；先判断三棱锥的外接球即四棱锥的外接球，再结合球中几何关系求球的半径，再求表面积，判断C错误；利用线面成角的定义求正弦值，判断D正确.

【详解】对于A，取DC中点F，连接，则为ED1与B1C所成的角，因为，所以，故，即A错误；

对于B，由平面知，到平面的距离等于到平面的距离，连接，交于，则平面，而，故到平面的距离为，即B错误；

对于C，三棱锥的外接球即四棱锥的外接球.因为四边形是矩形，，四棱锥的高为，设四棱锥的外接球半径为R，则，解得.

所以三棱锥的外接球的表面积为，即C错误；

对于D，连接，取的中点H，连接，交EC于K，连接CH，HK，因为，所以是直线CE与平面ADB1所成的角，，故，在直角三角形中，，，，即D正确.

故选：D.

13．240

【分析】由题意利用二项式系数的性质求得n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的系数.

【详解】因为展开式的二项式系数和等于64，

所以，解得，

则展开式的通项公式为，

令，解得，

可得展开式中含的项的系数为，

故答案为：240

14．##

【分析】确定圆心为，当直线与垂直时，弦最短，计算得到答案.

【详解】圆，即，圆心为，

当直线与垂直时，弦最短，，故直线的斜率为.

故答案为：

15．10

【详解】根据等差数列的性质，可得：+=2，又+-=0，则2=，

解得=0（舍去）或=2.

则，

,所以m＝10.

16．

【分析】设，，则，，则，又知，

所以，分情况讨论，当和时，的最小值即可.

【详解】设，，又,，

所以，，

所以，又知，

所以，

①当时，，

所以当时，即，时，的最小值为；

②当时，，

所以当时，即，时，的最小值为.

综上，的最小值为.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查数量积的运算以及二次函数的最值问题，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.

17．(1)，平均值为（个）

(2)

【分析】（1）根据频率分布直方图中每个小长方形的面积之和为，求出，再利用频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和即为平均数的估计值；

（2）由题意可知，事件表示队员甲达标测试得80分或达标测试得100分；事件表示队员第一次测试得80分或第一次测试不合格进行第二次测试得80分；事件表示队员第一次测试得100分或第一次测试不合格进行第二次测试得100分；根据相互独立事件和互斥事件的概率公式即可求解.

（1）

由题可得，所以.

队员甲在1分钟内跳绳个数的平均值为（个）.

（2）

由频率分布直方图知，队员甲的得分与相应的情况如下：

记“队员甲达标测试不低于80分”的事件，记“队员甲达标测试80分”的事件

记“队员甲达标测试100分”的事件，

所以队员甲达标测试得80分的概率，

队员甲达标测试得100分的概率，

则队员甲达标测试不低于80分的概率为.

18．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）依题意可证，由面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由，即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】（1）证明：由题意：，，

∴，同理，

又，∴，

∴，    

又平面平面，平面平面， 平面，

∴平面，平面，

∴，

又且面，面，，

∴面；

（2）解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

∴，，，

由，

有，

令是平面的一个法向量，

则，即，

令，有，

取面的一个法向量，

由，解得.

19．(1)

(2)

(3)时，函数的最小值为.

【分析】（1）依据题设运用函数的对应关系直接代入求解即可；

（2）先化简函数解析式，再运用周期公式求解；

（3）先借助题设条件进行化简，再运用三角函数的图像与性质分析求解：

【详解】（1）由题意得；

（2）因为，

所以函数的最小正周期为；

（3）因为=  

                  ，     

所以当时，函数取最小值为.

20．（1）；（2）．

【分析】（1）根据离心率，点在椭圆上，建立关于 的方程，解出未知数即可；

（2）联立方程组，结合，得出，再根据相切的特点即圆心到直线的距离等于半径得，可得直线方程，求出半径，利用三角形面积公式可解.

【详解】解：（1）由题意知

解得，

所以椭圆的方程为．

（2）设，直线，

由，有，

由得，

由韦达定理得，．

由，则，

，化简得，

原点到直线的距离，又直线与圆相切，

所以．即．

，

即

解得，此时，满足，此时，

在中，，

所以

21．(1)

(2)

【分析】（1）求出函数的导数的表达式，由题意列出关于a,b的方程，根据导数的几何意义即可求得求线方程；

（2）求出函数的极值点，计算端点处以及极值点处的函数值，比较大小可得答案.

【详解】（1）由题意得，，

由于函数在x=1处取得极值0，

故，且，

解得 ，则，，

故函数在点处的切线方程为，即；

（2）由（1）知，，

令，则 ，

则 ，

故函数在上的最大值和最小值分别为．

22．(1)点B的极坐标为，点C的极坐标为

(2)

【分析】（1）连接，可得到，通过数据可得到，即可得到点B的极坐标，再算出，即可得到点C的极坐标；

（2）设，，通过题意可得到，通过求出曲线M的极坐标方程即可得到点B的极坐标方程，将上式关系代入即可得到答案

【详解】（1）连接，因为是直径，所以，

在中，，，

∴，∴点B的极坐标为，

在正方形OBCD中，，，

∴点C的极坐标为；

（2）设，，且①，

由题意可得的直角坐标为，所以曲线M的普通方程为即

将代入曲线M的普通方程得极坐标方程为，

当时，O，B两点重合，不合题意，

∴点B的极坐标方程为，

将①式代入得点D的极坐标方程为

23．(1)

(2)

【分析】（1）分类讨论去绝对值后再求解不等式即可；

（2）讨论，当时，利用绝对值的三角不等式求解的最大值即可；

【详解】（1），

当时，，即，

当时，，解得，即，

当时，，解得，此时无解，

综上：不等式的解集为；

（2）时上述不等式显然成立，

当时，上述不等式可化为，

令，当且仅当时等号成立，

所以，即实数的取值范围为．