宁夏石嘴山市2023届高三第一次模拟考试数学（理）试卷（含解析）

宁夏石嘴山市2023届高三第一次模拟考试数学（理）试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．若，则（   ）

A． B． C． D．

2．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

3．设向量，且，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

4．算盘是中国传统的计算工具．东汉徐岳所撰的《数术记遗》中记载：“珠算，控带四时，经纬三才．”用如图所示的算盘表示数时，约定每档中有两粒算珠（上珠中最上面的一粒和下珠中最下面的一粒）不使用. 如果一个数在算盘上能够用个位、十位和百位这三档中的2粒算珠表示，则这个数能够被3整除的概率是（    ）

A． B． C． D．

5．下列命题正确的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．命题“”为假命题，则命题p与命题q都是假命题

C．“”是“”成立的必要不充分条件

D．命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”

6．在中，，，若点M满足，则（    ）

A． B． C． D．

7．若，则（    ）

A． B． C． D．

8．已知直线是圆的对称轴，过点作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则三角形PAB的面积等于（    ）

A． B． C． D．

9．记为等差数列的前项和.若，则的公差为（    ）

A．3 B． C． D．6

10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（    ）

A． B． C． D．

11．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC是锐角三角形，且满足，若△ABC的面积，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

12．设函数是函数的导函数，当时，，则函数的零点个数为（    ）

A．3 B．2

C．1 D．0

二、填空题

13．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为_________.

14．二项式的展开式中所有二项式系数之和为64，则二项式的展开式中常数项为______．

15．已知，下列四个结论正确的序号是______.

①函数在区间上是减函数；

②点是函数图象的一个对称中心；

③函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到；

④若，则的值域为.

16．已知椭圆的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若 ，则椭圆的离心率为__________.

三、解答题

17．已知是等差数列，是等比数列，且，，，.

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前2n项和.

18．在新冠疫情之下，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群众抗击疫情的武器与保障，为了打赢疫情防控阻击战，我国企业依靠自身强大的科研能力，果断转产自行研制新型全自动高速口罩生产机，“争分夺秒、保质保量”成为口罩生产线上的重要标语.

(1)在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生产且互不影响，第四道是检测工序. 已知批次I的成品口罩生产中，前三道工序的次品率分别为，，， 求批次I成品口罩的次品率；

(2)已知某批次成品口罩的次品率为，设100个成品口罩中恰有1个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产线后批次II的口罩的次品率.某医院获得批次I，II的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用. 经统计，正常佩戴使用这两个批次的口罩期间，该院医务人员核酸检测情况如条形图所示，求出，完成2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关？

附：独立性检验临界值表：

参考公式及数据：，其中.

19．已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，平面ABCD，求证：

(1)平面SAC；

(2)若，求点C到平面SBD的距离.

20．已知抛物线上一点到其焦点的距离为10.

（1）求抛物线C的方程；

（2）设过焦点F的的直线与抛物线C交于两点，且抛物线在两点处的切线分别交x轴于两点，求的取值范围.

21．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若函数有三个极值点，，（），求的取值范围．

22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.

(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)若直线l与曲线C交于P，Q两点，且点，求的值.

23．已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)记的最小值是m，若，，且，求的最小值.

参考答案：

1．C

【分析】运用复数运算法则及复数模的定义进行计算.

【详解】依题意，，则．

故选: C

2．D

【分析】首先解指数不等式即可求出集合A，即可判断；

【详解】解：因为，即，所以，

所以，，∴，；

故选：D

3．A

【分析】根据的垂直关系，可求出 ；根据的平行关系，可求出 ，进而求出的值．

【详解】因为，所以

因为，所以

所以 ，所以

故选：A．

4．C

【分析】利用古典概型的概率求解.

【详解】解：从个位、十位、百位这三组中随机拨动2粒珠，

有11，15，51，55，101，105，501，505，110，150，510，550共12个，

其中能被3整除的有：15，51，105，501，150，510共6个，

所以这个数能够被3整除的概率是，

故选：C

5．A

【分析】根据充分条件的判断方法可以判断A和C，根据“且”命题真假判断的性质可判断B，根据含有一个量词的命题的否定的方法可判断D.

【详解】A．由可得，从不能得到，故A正确；

B．命题“”为假命题有三种情况：p真假、p假真、假假，B不正确；

C．从“”可得“”，但从“”不能得“”，所以C不正确；

D.“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”，故D不正确；

故选：A．

6．A

【分析】根据题意结合向量的线性运算求解.

【详解】由题意可得：.

故选：A.

7．B

【分析】结合指数与对数函数单调性可比较大小.

【详解】，，

因为单减，故，所以.

故选：B

8．D

【解析】由直线过圆心求出，由勾股定理求得切线长，利用切线与过切点的半径垂直求得切线夹角，从而可得三角形面积．

【详解】因为直线是圆的对称轴，

所以直线过圆心，即，，

所以点，，

因为圆C的半径，所以切线长，

且在直角三角形中，

所以，，

所以三角形PAB的面积，

故选：D．

9．A

【分析】根据等差数列的性质，结合等差数列前项和公式，分别求出，即可求得公差.

【详解】因为，所以

且

所以，则

故选:A.

10．A

【解析】根据三视图知该几何体为三棱柱，由三视图得几何元素的长度，由三棱柱的体积公式求出几何体的体积.

【详解】如图，由三视图可知该几何体是一个平放的三棱柱，底面三角形的底边长为，高为，几何体的高为，所以三棱柱的体积为.

故选：A.

11．A

【分析】根据已知条件，求得的范围，结合三角形面积公式以及余弦定理表达出关于的函数关系，再求函数值域即可.

【详解】因为，即，由余弦定理可得，

即，又，故可得，由正弦定理可得：

，则，

，又均为锐角，故可得，即；

由可得，又，故可得；

由，可得；

又

，

又，，解得或（舍去负值）,

则，即的取值范围是.

故选：A.

【点睛】关键点睛：解三角形中的范围问题，处理问题的关键是能够根据已知条件，结合正余弦定理，将目标式转化为关于的函数，同时要注意的取值范围.

12．D

【分析】构造函数，可得出，利用导数研究函数的单调性，得出该函数的最大值为负数，从而可判断出函数无零点，从而得出函数的零点个数.

【详解】设，则.

当时，，

当时，，故，所以，函数在上单调递减；

当时，，故，所以，函数在上单调递增.

所以，所以，函数没有零点，

故也没有零点.

故选：D.

【点睛】本题考查函数零点个数的判断， 解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数，并利用导数分析函数的单调性与最值，必要时借助零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题.

13．

【分析】利用换底公式得出，先计算出，然后利用函数为奇函数，得出的值.

【详解】，

由题意得，

由于函数是定义在上的奇函数，

因此，.

故答案为：.

14．

【分析】根据二项式系数和公式求，再由二项展开式的通项公式求常数项即可.

【详解】由二项式的展开式中所有二项式系数之和为64，得，即．

所以．

令，得，

所以二项式的展开式中常数项为．

故答案为：

15．②④

【分析】根据二倍角公式及辅助角公式，结合三角函数的性质即可求解.

【详解】.

对于①，因为，所以，所以函数在区间上是增函数，故①错误；

对于②，当时，，所以点是函数图象的一个对称中心，故②正确；

对于③，函数的图象向左平移个单位长度得到，所以，故③错误；

对于④，因为，所以，所以，即，所以的值域为，故④正确.

故答案为：②④.

16．

【分析】利用椭圆的性质，通过，推出关系，再转化为离心率即可．

【详解】椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若，可知，又，所以，即，解得.

【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查两个向量垂直的坐标表示，考查椭圆离心率的求法，考查了化归与转化的数学思想方法，属于基础题.通过椭圆的方程，可求得顶点、焦点的坐标，这些是椭圆的基本几何性质.两个向量垂直，可以转化为它们坐标的数量积为零.

17．(1)

(2)

【分析】（1）运用等比数列、等差数列通项公式计算即可.

（2）运用分组求和及等差数列、等比数列求和公式计算即可.

【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，

则，，，

又，可得，

所以.

（2）由（1）可得，

故，以它为通项的数列是以-1为首项、公比为-3的等比数列，

所以，

所以数列的前2n项和为：.

即: 数列的前2n项和为.

18．(1)

(2)0.01，表格见解析，有

【分析】(1)根据对立事件的概率求法，可得批次I成品口罩的次品率为

；

(2)根据题意可得，利用导数研究函数的单调性，进而求出，

根据等高条形图列出列联表，结合卡方公式计算出，比较临界值，即可得出结论.

（1）

批次I成品口罩的次品率为；

（2）

100个成品口罩中恰有1个不合格的概率为，

所以，

令，解得，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减.

所以的最大值点为，

由（1）可知：，，

批次I的口罩次品率高于批次II，故批次II的口罩质量优于批次I.

由条形图可建立列联表如下：

因此，有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关.

因此，有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由平面ABCD，可得，再由四边形ABCD为正方形，可得，然后由线面垂直的判定定理可证得结论，

（2）以A为坐标原点，AB､AD､AS分别为x､y､z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可

【详解】（1）证明：平面ABCD，平面ABCD，

，

又四边形ABCD为正方形，

，

又，

平面；

（2）因为平面ABCD，平面ABCD，

所以，

因为，

所以两两垂直，

所以以A为坐标原点，AB､AD､AS分别为x､y､z轴建立空间直角坐标系

则，

所以，，

设平面BDS的法向量为，则

，令，则

所以点C到平面SBD的距离

20．（Ⅰ）（Ⅱ）

【分析】（Ⅰ）由抛物线的定义，可得到，即可求出，从而得到抛物线的方程；（Ⅱ）直线的斜率一定存在，可设斜率为，直线为，设，，由可得，，，然后对求导，可得到的斜率及方程表达式，进而可表示出，同理可得到的表达式，然后对化简可求出范围．

【详解】解：（Ⅰ）已知到焦点的距离为10，则点到准线的距离为10.

∵抛物线的准线为，∴，

解得，∴抛物线的方程为.

（Ⅱ）由已知可判断直线的斜率存在，设斜率为，因为，则：.

设，，由消去得，，

∴，.

由于抛物线也是函数的图象，且，则：.

令，解得，∴，从而.

同理可得，，

∴ .

∵，∴的取值范围为.

【点睛】本题考查了抛物线的方程的求法，考查了抛物线中弦长的有关计算，考查了计算能力，属于难题．

21．（1）答案见解析；（2）.

【分析】（1）对函数求导，分和两种情况，分别得出函数的单调性；

（2）有三个极值点，即有三个根，由（1）可得且，从而求出的取值范围，构造，利用导数判断出函数的单调性，求出最值，即可得的取值范围．

【详解】（1），

当时，，在上单调递减；

当时，令，得，

当时，；

当时，．

故在上单调递减，在上单调递增．

（2），

，因为有三个极值点，，，

所以有三个根，，，

假设，，是的两个根，

结合（1）可知，当时，满足条件，

则，解得，

所以，

所以方程的两个根中有一个小于1，一个大于1，

又，所以，，是的两个根，

所以，

，

，

所以

，

令，，

则，所以在（0，1）上单调递增，

时，，，

所以，

所以的取值范围是．

【点睛】关键点点睛：本题考查导数研究函数的单调性和最值问题，考查极值点的应用，解决本题的关键点是化简，利用已知条件将其转化为一个关于的函数，利用导数研究函数的单调性和最值，进而得出参数范围，考查学生分类讨论思想和计算能力，属于中档题．

22．(1)曲线；直线

(2)

【分析】（1）消去参数t即可得C的普通方程，并用极坐标与直角坐标互化即可得直线的普通方程；

（2）写出直线l参数方程的标准形式，再与C的普通方程联立，借助参数的几何意义得解.

【详解】（1）曲线C的参数方程为（t为参数），

转化为直角坐标方程为，可得；

直线l的极坐标方程为，

转化为直角坐标方程为；

（2）把直线l的方程换成参数方程，得（t为参数），代入.

得，∴，显然异号.

由，

∴.

23．(1)

(2)

【分析】（1）分类讨论去绝对值可求出结果；

（2）分类讨论去绝对值求出，再利用基本不等式可求出结果.

【详解】（1）由题意得

当时，不等式可化为，解得；

当时，不等式可化为，解得；

当时，不等式可化为，解得，

所以不等式的解集为.

（2）当时，，

当时，，

当时，，

所以当时，取得最小值，所以，，

所以,

当且仅当且，即，时，等号成立.

所以的最小值为.