2024届高三数学一轮复习基础夯实练32：平面向量的概念及线性运算

基础夯实练32  平面向量的概念及线性运算

1．化简2(a－3b)－3(a＋b)的结果为(　　)

A．a＋4b   B．－a－9b

C．2a＋b   D．a－3b

2．(多选)下列命题中，正确的是(　　)

A．若a∥b，b∥c，则a∥c

B．在△ABC中，＋＋＝0

C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反

D．如果非零向量a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向与a，b之一的方向一定相同

3．设a，b是平面内两个向量，“|a|＝|a＋b|”是“|b|＝0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

4．已知向量a和b不共线，向量＝a＋mb，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，若A，B，D三点共线，则m等于(　　)

A．3  B．2  C．1  D．－2

5．在边长为1的正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则|a－b＋c|等于(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

6．如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，且＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

7．已知向量e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ等于(　　)

A．2  B．－2  C．－  D.

8．已知△ABO中，OA＝OB＝1，∠AOB＝，若OC与线段AB交于点P，且满足＝λ＋μ，||＝，则λ＋μ的最大值为(　　)

A.  B．1  C.  D．2

9．设向量a，b不平行，向量ta＋b与a＋3b平行，则实数t的值为________．

10．已知△ABC的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若＝λ，＝μ，则＋＝________.

11．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－4＋3＝0，则等于(　　)

A.  B.  C.  D.

12．已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是(　　)

A．||＝||＝||

B.＋＋＝0

C.＝＋

D．S△MBC＝S△ABC

13．设P，Q为△ABC内的两点，且＝＋，＝＋，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为(　　)

A.  B.  C.  D.

14．(2023·丽江模拟)在△ABC中，点D在线段AC上，且满足||＝||，点Q为线段BD上任意一点，若实数x，y满足＝x＋y，则＋的最小值为________．

15．(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　)

A．若＝，则＝＋

B．若＝2－3，则点M，B，C三点共线

C．若点M是△ABC的重心，则＋＋＝0

D．若＝x＋y且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的

16．如图，已知正六边形ABCDEF，M，N分别是对角线AC，CE上的点，使得＝＝r，当r＝________时，B，M，N三点共线．

参考答案

1．B　2.BC　3.B　4.A　5.B　6.D　7.C

8．D　[∵线段OC与线段AB交于点P，设＝x(x≥1)，

则x＝λ＋μ，即＝＋，

又∵P，A，B三点共线，则＋＝1，即λ＋μ＝x，

∵OA＝OB＝1，∴当P为AB中点时||最小，此时x最大，

又∠AOB＝，故此时||＝，又因为||＝，

∴＝2，

即x＝2，即λ＋μ的最大值为2.]

9.　10.3

11．B　[由－4＋3＝0，得－＝3(－)，即＝3，

所以＝＋＝，

所以||＝||，

即＝.]

12．D　[如图，M为△ABC的重心，则＋＋＝0，A错误，B错误；

＝＋＝＋

＝＋(－)

＝＋，C错误；

由DM＝AD得S△MBC

＝S△ABC，D正确．]

13．D　[如图，设＝，＝，

∴＝＋＝＋，

由平行四边形法则知NP∥AB，

∴△ABP的面积与△ABC的面积之比为，

同理，由＝＋，可得△ABQ的面积与△ABC的面积之比为，

∴△ABP的面积与△ABQ的面积之比为∶＝.]

14．4＋2

解析　由题意知点D满足＝，故＝x＋y＝x＋3y，由点Q，B，D三点共线可得x＋3y＝1，x>0，y>0，则＋＝·(x＋3y)＝4＋＋≥4＋2，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立．

15．ACD　[A选项，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，A正确；

B选项，假设点M，B，C三点共线，则＝λ，即－＝λ(－)，

整理得＝－λ＋(1＋λ)·，故当λ＝－2时，即＝2－，与条件中的＝2－3不一致，所以点M，B，C三点不共线，B错误；

如图，取BC中点H，连接AH，若点M是△ABC的重心，则点M在AH上，且MA＝2MH，则＋＝2，则＋＋＝0，C正确；

D选项，由于＝x＋y，而x＋y＝，所以3＝3x＋3y，其中3x＋3y＝1，不妨设＝3，则Q点在直线BC上，由于△MBC与△ABC同底，而高线之比等于MQ与AQ的比，即比值为2∶3，所以△MBC的面积是△ABC面积的，D正确．]

16.

解析　连接AD，交EC于G点，设正六边形边长为a，由正六边形的性质知，AD⊥CE，AD∥CB，G点为EC的中点，且AG＝a，

则＝＋＝＋，

又＝＝r(r>0)，

则＝，＝，

故＝＋，

即＝＋，

若B，M，N三点共线，由共线定理知＋＝1，

解得r＝或－(舍)．