2024届高三数学一轮复习基础夯实练33：平面向量基本定理及坐标表示

基础夯实练33  平面向量基本定理及坐标表示

1．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是(　　)

A．e1与e1＋e2

B．e1－2e2与e1＋2e2

C．e1＋e2与e1－e2

D．e1－2e2与－e1＋2e2

2．(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2,1)，b＝(－2,4)，则|a－b|等于(　　)

A．2  B．3  C．4  D．5

3．已知点P是△ABC所在平面内一点，且＋＋＝0，则(　　)

A.＝－＋

B.＝＋

C.＝－－

D.＝－

4．(2023·南京模拟)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　　)

A.  B.  C.  D.

5.(2022·忻州模拟)如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧上的两个三等分点，＝a，＝b，则等于(　　)

A.a－b   B．a－b

C．－a＋b   D．－a＋b

6．(多选)若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下列对a，b的判断不正确的是(　　)

A．a与b一定共线   B．a与b一定不共线

C．a与b一定垂直   D．a与b中至少有一个为0

7.如图，在正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，＝x＋y，则x等于(　　)

A.   B.

C.   D.

8．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m不可能是(　　)

A．－2  B.  C．1  D．－1

9．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2,0)，若向量ma＋b与2a－nb共线，则mn＝________.

10．若在△ABC中，AB＝，∠ABC＝，BC＝3，AD为BC边上的高，O为AD上靠近点A的三等分点，且＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ－2μ＝________.

11．在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，CD的中点，＝a，＝b，则等于(　　)

A.a＋b   B.a＋b

C.a＋b   D.a＋b

12．(2023·大理模拟)在△ABC中，D是直线AB上的点．若2＝＋λ，记△ACB的面积为S1，△ACD的面积为S2，则等于(　　)

A.  B.  C.  D.

13．已知0<θ<π，向量a＝，b＝(1，sin θ)，且a∥b，则θ＝________.

14．如图，扇形的半径为1，且⊥，点C在弧AB上运动，若＝x＋y，则2x＋y的最小值是________．

15．(多选)(2023·潮汕模拟)已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意a，b∈E，t∈(0,1)，均有ta＋(1－t)b∈E，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有(　　)

A．{(x，y)|y≥ex}   B．{(x，y)|y≥ln x}

C．{(x，y)|x＋2y－1≥0}   D．{(x，y)|x2＋y2≤1}

16.如图，矩形LMNK，LM＝6，sin∠MLN＝，⊙E的半径为1，且E为NK的中点，P为圆E上的动点，设＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值是________．

参考答案

1．D　2.D　3.D　4.A　5.C

6．ACD　[由平面向量基本定理知，当a，b不共线时，若k1a＋k2b＝0，

则k1＝k2＝0，

当a与b共线时，k1＝k2＝0只是其中一组解，此时解不唯一，所以A错误，B正确；

而当a，b不共线时，不一定有a与b垂直，所以C错误；

当a与b中至少有一个为0时，k1，k2中至少有一个可以不为零，所以D错误．]

7．C　[分别以AB ，AD为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，不妨设正方形ABCD边长为2，则A(0,0)，

B(2,0)，P(2,1)，Q(1,2)，C(2,2)，

则＝(2,1)，＝(2,2)，

＝(－1,2)，

又＝x＋y，

则有2＝2x－y 且 1＝2x＋2y，

解得x＝.]

8．C　[各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形．]

9．－2　10.0

11．B　[如图所示，设＝m，

＝n，

且＝xa＋yb，

则＝xa＋yb

＝x·＋y·

＝n－m，

又因为＝n－m，

所以

解得

所以＝a＋b.]

12．D　[依题意作图，如图所示，

设＝μ＝μ(－)＝－μ＋μ ，

由条件＝＋ ,

得μ＝－，＝μ＝－，

＝－，

∴点D在AB的延长线上，并且AD＝AB，

∴＝＝.]

13.

解析　因为a∥b，

所以sin2θ＝2cos2，

所以4sin2cos2＝2cos2，

因为0<θ<π，cos ≠0，

所以sin2＝，所以sin ＝，

因为0<θ<π，

所以＝， 即θ＝.

14．1

解析　由题意得，·＝0，

||＝||＝1，

所以||＝1，

由＝x＋y，等式两边同时平方，

得||2＝x2||2＋y2||2＋2xy·，

所以1＝x2＋y2，

令∠AOC＝α，则x＝cos α，y＝sin α，α∈，

则2x＋y＝2cos α＋sin α

＝sin(α＋θ)，

其中sin θ＝，

cos θ＝，θ∈，

因为θ≤α＋θ≤＋θ，

所以≤sin(α＋θ)≤1，

所以1≤sin(α＋θ)≤，

即2x＋y的最小值为1.

15．ACD　[设＝a，＝b，

＝ta＋(1－t)b，

则C为线段AB上一点，

因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内，

四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示，

观察选项A，B，C，D所对图形知，B不符合题意，A，C，D符合题意．]

16.

解析　如图，建立平面直角坐标系，由LM＝6，

sin∠MLN＝，

解得MN＝，

则M，N(3,0)，L，设P(cos θ，sin θ)，

因为＝λ＋μ，

＝，

＝(－6,0)，＝.

所以＝＝λ(－6,0)＋μ，

即

解得

所以λ＋μ＝＋sin θ－cos θ＝＋sin(θ＋φ)，当sin(θ＋φ)＝－1时， λ＋μ取最小值.