专题16 妙解离心率问题（12大题型）（练习）-2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题16 妙解离心率问题
目 录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc156895279" 01 顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题 PAGEREF _Tc156895279 \h 2
\l "_Tc156895280" 02 焦点三角形顶角范围与离心率 PAGEREF _Tc156895280 \h 6
\l "_Tc156895281" 03 共焦点的椭圆与双曲线问题 PAGEREF _Tc156895281 \h 8
\l "_Tc156895282" 04 椭圆与双曲线的4a通径体 PAGEREF _Tc156895282 \h 11
\l "_Tc156895283" 05 椭圆与双曲线的4a直角体 PAGEREF _Tc156895283 \h 14
\l "_Tc156895284" 06 椭圆与双曲线的等腰三角形问题 PAGEREF _Tc156895284 \h 19
\l "_Tc156895285" 07 双曲线的4a底边等腰三角形 PAGEREF _Tc156895285 \h 21
\l "_Tc156895286" 08 焦点到渐近线距离为b PAGEREF _Tc156895286 \h 25
\l "_Tc156895287" 09 焦点到渐近线垂线构造的直角三角形 PAGEREF _Tc156895287 \h 29
\l "_Tc156895288" 10 以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题 PAGEREF _Tc156895288 \h 32
\l "_Tc156895289" 11 渐近线平行线与面积问题 PAGEREF _Tc156895289 \h 36
\l "_Tc156895290" 12 数形结合转化长度角度 PAGEREF _Tc156895290 \h 38
01 顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
1．（2024·安徽宣城·高三统考期末）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意设椭圆的左焦点为N，连接AN，BN，因为AF⊥BF，所以四边形AFBN为长方形，再根据椭圆的定义化简得，得到离心率关于的函数表达式，再利用辅助角公式和三角函数的单调性求得离心率的范围.由题意椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为N，连接AN，BN，因为AF⊥BF，所以四边形AFBN为长方形．
根据椭圆的定义：，由题∠ABF＝α，则∠ANF＝α，
所以，
利用，
∵，∴，，即椭圆离心率的取值范围是，
故选B.
2．（2024·河北唐山·高三统考期末）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设椭圆的左焦点为：,根据，得到四边形为为矩形，再由，结合椭圆的定义得到，然后由求解.设椭圆的左焦点为：,
因为，
所以四边形为为矩形，
所以
因为，
所以
由椭圆的定义得：，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
故选：B
3．（2024·江西南昌·高三南昌十中校考期末）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】和关于原点对称，也在椭圆上，
设左焦点为，根据椭圆的定义：，
又， （1）
又原点是的斜边中点，，
又 （2）
（3）
将（2）（3）代入（1），
，即
，所以，
所以，即，
所以，所以椭圆的离心率的取值范围为，
故选：A
4．（2024·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）已知双曲线：（，）右支上非顶点的一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设，且，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图所示，设双曲线的左焦点为，连接，．
，四边形为矩形．
所以．
则，．
．
．
即，
则，
，
，
则，
,，
则，
即，
故双曲线离心率的取值范围是，
故选：D．
02 焦点三角形顶角范围与离心率
5．（2024·河南南阳·高三郑州一中阶段练习）已知，是椭圆的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设点，则，由得：，
而，即，因此有，即，
因，于是得，即，解得，
所以椭圆的离心率的取值范围为.
故选：D
6．（2024·黑龙江·校联考）已知，，，是双曲线的两个焦点，若点Р为椭圆上的动点，当P为椭圆的短轴端点时，取最小值，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】假设点在轴上方，设，则，
由已知得，，
设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
∴ ，，
∴

考虑对勾函数，
由于为椭圆的短轴端点时，，取最小值，即取最小值，
也取最小值，此时，
∵函数在上单调递减，
∴，即，解得.
即椭圆离心率的取值范围为.
故选：.
7．（2024·贵州·高三凯里一中校考期末）已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设 ，，
若椭圆上存在点使得，
，
，

即 ，
，
即，

.
故选D
8．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点（）使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意作图如下：
由图可得：当点P在椭圆的上（下）顶点处时，最大，
要满足椭圆C上存在点（）使得，则，
∴，即：，整理得：，
又，∴得到：，∴，
∴椭圆离心率的取值范围为，
故选:B．
03 共焦点的椭圆与双曲线问题
9．（2024·安徽·校联考）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则与满足的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由椭圆与双曲线定义得，所以，选B.
10．（多选题）（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知椭圆：与双曲线：（，）有公共焦点，，且两条曲线在第一象限的交点为，若是以为底边的等腰三角形，，的离心率分别为和，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】设，的焦距为，由，共焦点知，故正确；
△是以为底边的等腰三角形知，由在第一象限知：，即，即，即，故，错；
由，得，又，得，所以，
从而，故正确．
故选：．
11．（2024·湖北孝感·高三统考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为 ．
【答案】/
【解析】不妨设为第一象限的点，为左焦点，
设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义可得，
，所以，，
，在△中，，
由余弦定理得，
化简得，即．
所以，从而，
当且仅当，且，即，时等号成立．
故答案为：
12．（2024·江苏苏州·高三江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则等于 ．
【答案】
【解析】设椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为，，，为两曲线在第一象限的交点，为两曲线在第三象限的交点.
由椭圆和双曲线定义知：，，
，，
由椭圆和双曲线对称性可知：四边形为平行四边形，
，，，
即，
.
故答案为：.
13．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最小值是 .
【答案】
【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为，，设两曲线的焦距为，
设，，则，，所以，，
，
化为，，
，
，
当且仅当时，取等号，则的最小值是.
故答案为：.
04 椭圆与双曲线的4a通径体
14．（2024·河南·高三统考阶段练习）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，椭圆的焦距为，由题意得出，椭圆的离心率为，.
由椭圆的定义可得，
由余弦定理得，
设，由椭圆的定义可得，
由余弦定理得，
即，解得.
所以，，，因此，.
故选D.
15．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知椭圆：的左､右焦点分别为，(如图)，过的直线交于，两点，且轴，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，，
将代入椭圆方程知，解得：，即
过点作轴，则，又
，得，
所以点的坐标为，即
又点在椭圆上，，即
又，，，即
故选：D
16．（2024·云南·校联考模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，（如图），过的直线交于，两点，且轴，，则的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设椭圆的半焦距为，
由题意可得：，则，
因为，则，解得，
即，且点在椭圆上，
则，整理得，解得，即.
故选：A.
17．（2024·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）已知椭圆E:的左，右焦点分别为，（如图），过的直线交E于P，Q两点，且轴，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意设，则，所以；
由于，所以
由得，化为，所以，得
故选：A
05 椭圆与双曲线的4a直角体
18．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点为，，过的直线交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】运用特殊值法进行求解. 不妨设，利用勾股定理、余弦定理，结合椭圆的定义和离心率公式进行求解即可.不妨设，则，，
∴，，
∴由得或（舍），
∴，∴，
又由得，
∴.
故选：C
19．（2024·重庆·校联考）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的左支于P，Q两点，若，且的周长为，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由双曲线定义知，
则，，所以，
∴的周长为，
∴，，
由，
所以，故，∴，
∴，，∴，
在中，，故.
故选：A.
20．（2024·广西桂林·高三统考期末）设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则，，
∴，，
∵，
在中，由余弦定理，
得：，
∴，
化简可得，而，
故，
∴，，，
∴，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴椭圆的离心率.
故选：D.
21．（2024·湖南·校联考）已知，，是双曲线上的三个点，直线经过原点，经过右焦，若，且，则该双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
如图，因为，所以四边形为矩形，设，则，又，所以，，所以，得，所以，又因为，即，所以得离心率，选择A
22．（2024·湖北·高三开学考试）已知是双曲线上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
设左焦点为， ，连接
则 ， ， ，
因为，且经过原点
所以四边形 为矩形
在Rt△中， ，代入

化简得
所以在Rt△中，，代入

化简得 ，即
所以选B
23．（2024·山东聊城·统考）已知A，B，C是双曲线上的三点，直线AB经过原点O，AC经过右焦点F，若，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设双曲线的左焦点为，连接
由题意知
∴四边形为矩形，令
∵，
∴在中，
将带入可得
∴
∴在中，
即
可得
故选：D
06 椭圆与双曲线的等腰三角形问题
24．（2024·江西上饶·高三阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于两点，若，且，则双曲线的离心率
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为且，所以为等腰直角三角形，所以,
由双曲线定义可得，，
两式相加得，所以，又，
在中，由余弦定理，可得，解得.
故选：A.
25．（2024·北京海淀·校考模拟预测）双曲线：的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线C的右支在第一象限的交点为A，与y轴的交点为B，且△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】为等边三角形，则，设为原点，
中，，故，故.
故选：B
26．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）如图，已知，分别为双曲线：的左右焦点，过的直线与双曲线的左支交于、两点，连接，，在中，，，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，由双曲线的定义可得，
由，可得，即有，
因为为等腰三角形，
所以，
解得，
在△中，，
化为，即有．
故选：．
07 双曲线的4a底边等腰三角形
27．（2024·四川成都·石室中学校考）已知，是双曲线的左，右焦点，过点作斜率为的直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，以为圆心的圆过，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】取MN中点A，连AF2，由已知令，则，如图：
因点M，N为双曲线左右两支上的点，由双曲线定义得，，
则，令双曲线半焦距为c，
中，，中，，
则有，即，
因直线的斜率为，即，而，即，
，于是有，，，
所以双曲线的离心率为.
故选：B
28．（2024·江西九江·统考）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线分别交双曲线左、右两支于点P，Q，点M为线段PQ的中点，若P，Q，F1都在以M为圆心的圆上，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．2
【答案】C
【解析】以PQ为直径的圆经过点F1，则，又，
可知PQ⊥MF1，则|PF1|＝|QF1|，故三角形PF1Q是等腰直角三角形，
设|PF1|＝t，则|PQ|t，
由双曲线的定义可知：|PF2|＝t+2a，|QF2|＝t﹣2a，可得|PQ|＝4a，
则t＝4a，即t＝2a，则：|PF2|，
在Rt△MF1F2中，|MF1|2a，|MF2|＝|PF1|﹣|PM|＝2a，
由勾股定理可知|F1F2|＝2a＝2c，
则双曲线C的离心率为：e．
故选：C．
29．（2024·安徽合肥·校联考模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线左右两支交于，两点，以为直径的圆过，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为
即
所以
在三角形中，有余弦定理可得：
所以
即
因为以MN为直径的圆经过右焦点F2，
所以，又|MF2|＝|NF2|，
可得△MNF2为等腰直角三角形，
设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m，
由|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF1|﹣|NF2|＝2a，
两式相加可得|NF1|﹣|MF1|＝|MN|＝4a，
即有m＝2a，
在直角三角形HF1F2中可得
4c2＝4a2+（2a+2a﹣2a）2，
化为c2＝3a2，
即e．
故选：B．
30．（2024·河北石家庄·统考）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第一象限内的点，延长交椭圆于点，若，且，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则，，，
因为，故.
因，故，
整理得到，即，故选A.
31．（2024·山东烟台·统考）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与交于点，若，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由且知：△为等腰直角三角形且、，即，
∵，
∴，故，则，
而在△中，，
∴，则，故.
故选：B.
08 焦点到渐近线距离为b
32．（2024·四川泸州·高三统考期末）已知F1，F2为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，且与C的右支交于点Q，若（O为坐标原点），则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【解析】根据对称性不妨设P为第一象限的点，
∵O为F1F2的中点，又，∴Q为PF2的中点，
又F2（c，0）到的距离，
∴|PF2|＝b，∴|QF2|＝，
连接，所以，又|F1F2|＝2c，
∵PO的斜率为，又QF2⊥PO，
∴QF2的斜率为，∴，∴，
在△QF2F1中，由余弦定理可得：
，化简可得a＝b，
∴双曲线C的离心率为＝.
故选：A.
33．（2024·安徽滁州·高三统考期末）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F2作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若|HF1|=3|HF2|，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题设条件推导出，，可得的坐标，由两点间的距离公式得，计算求出离心率．由题设知双曲线C：的一条渐近线方程为：，
∵右焦点，且，
∴，
∴，由，解得，
∴，∴，
平方化简得，
又，
∴，即，
，即，
所以，故得，
故选：D.
34．（2024·辽宁葫芦岛·统考）设F1，F2是双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝3|OP|，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为，
则，，
，
在中，，
在中，，
，即，
所以
故选：A ．
35．（2024·广西玉林·统考模拟预测）已知双曲线的焦点在，过点的直线与两条渐近线的交点分别为M､N两点(点位于点M与点N之间)，且，又过点作于P(点O为坐标原点)，且，则双曲线E的离心率（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，可得如下示意图：
其中，知：，又，，即且，
∴中，有，得，
∴在中，，若与x轴夹角为，即，
∴，由，即可得.
故选：C
09 焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
36．（2024·安徽宣城·统考）设是双曲线的一个焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于两点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．5
【答案】C
【解析】不妨设，过作双曲线一条渐近线的垂线方程为，
与联立可得；
与联立可得，
∵，∴，
整理得，，即，
∵，∴．
故选：C．
37．（2024·浙江台州·高三台州一中校考阶段练习）如图，已知双曲线，过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为H，交另一条渐近线于点A，已知O为原点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】由题意直线方程为，
由，解得，即，
由，解得，即，
由图知，在第二象限，，
所以，
，
代入可得，
化简得，，
因为，所以，即，．
故选：D．
38．（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知双曲线，过其右焦点作渐近线的垂线，垂足为，交轴于点，交另一条渐近线于点，并且点位于点，之间．已知为原点，且，则双曲线离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】双曲线的右焦点，渐近线的方程为，即，
渐近线OA的方程为，即．所以，，．
所以，．
解得或（舍去），
所以双曲线的离心率为，
故选：C．
39．（2024·四川巴中·统考模拟预测）已知双曲线：（，），过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于，两点，，两点分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先根据点到直线距离公式求得，再由用表示出.根据双曲线的渐近线方程及正切二倍角公式，即可求得与的等量关系式，进而求得双曲线的离心率.双曲线：（，），右焦点，渐近线方程为.
将渐近线方程化为一般式为，双曲线满足，
过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于，两点，，两点分别在一、四象限，如下图所示:
由点到直线距离公式可知，
根据题意，则，
设，由双曲线对称性可知，
而，，
由正切二倍角公式可知，
即，化简可得，
由双曲线离心率公式可知，
故选：B.
10 以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
40．（2024·湖南长沙·高三长沙市明德中学校考开学考试）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如下图示，
因为，，是中点，
所以是中点且，则，，
因为直线是双曲线的渐近线，
所以，，直线的方程为，
联立，解得，则，整理得，
因为，所以，.
故选：A
41．（2024·江苏徐州·统考模拟预测）已知是双曲线的左焦点，圆与双曲线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【解析】由题意可设右焦点为，因为，且圆：，所以点在以焦距为直径的圆上，则，
设的中点为点，则为的中位线，所以，则，又点在渐近线上，
所以，且，则，，所以，所以，
则在中，可得，，即，解得，所以，
故选：A．
42．（2024·山东烟台·统考）设双曲线的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线与轴和双曲线的右支分别交于点、，若，则该双曲线的离心率为
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】分析：由题意求出直线方程，再根据，可得为的中点，根据中点坐标公式求出的坐标，代入双曲线方程可得，化简整理即可求出
∵，∴为的中点，由题意可得直线方程为 当时， 设 ∴，即 即 整理可得 即 解得．故选C．
43．（2024·甘肃兰州·校联考）(2017·兰州模拟)已知F1，F2为双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P，PF1与双曲线相交于点Q，且|PQ|＝2|QF1|，则该双曲线的离心率为( )
A．B．2C．D．
【答案】A
【解析】如图，连接.由|，可设 则|；由，得| 由 得 点在以为直径的圆上，
由，得 解得
，化简得 双曲线的离心率
故选A.
44．（2024·福建莆田·统考）已知双曲线的左、右焦点分别为，以线段为直径的圆与的渐近线在第一象限的交点为，且.设的离心率为，则=
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得，结合已知可求得，由渐近线上点满足可得（为双曲线右顶点）且，利用面积可建立的关系式，变形后可求得．由题意，则①，又②，得＝，∵在渐近线上且，设为双曲线右顶点，如图，则，且，由得，于是，变形为，解得（舍去），故选B．
11 渐近线平行线与面积问题
45．（2024·安徽芜湖·统考）设为双曲线上任意一点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于，两点．若的面积为4，则双曲线D的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】设，设过点与双曲线渐近线平行的直线交双曲线渐近线于点，过点与双曲线渐近线平行的直线交双曲线渐近线于点，
因此是平行四边形，因为的面积为4，所以平行四边形的面积为8，过点与双曲线渐近线平行的直线为，于是有：
，
过点与双曲线渐近线平行的直线为：
，与直线的距离为：
，而，
于是有：，
而，所以
因为在双曲线上，所以，
解得，因此，
故离心率为
46．（2024·浙江·校联考模拟预测）过双曲线上的任意一点，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点，，若，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线方程：，
即，
设点，可得，
分别联立两组直线方程可得，，
，
∵，∴，
∴，由题意，
所以，即，
所以，即
∴.
故选：B.
47．（2024·福建·）已知双曲线的左、右焦点分别为，过双曲线C上任意一点P分别作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为，等于展开式的常数项，则双曲线C的离心率为
A．3B．3或C．D．或
【答案】B
【解析】根据二项展开式求得的值，再根据点到直线的距离公式结合，可求得的值，再代入离心率公式，即可得答案；由已知可得，展开式的常数项为，
设双曲线半焦距为c，.
设，得，.
P到两条渐近线的距离分别为，，
.
①.又②，由①②可得或，
或.
故选：B
12 数形结合转化长度角度
48．（2024·山东泰安·统考）已知椭圆的左，右焦点分别为，，椭圆C在第一象限存在点M，使得，直线与y轴交于点A，且是的角平分线，则椭圆C的离心率为 .
【答案】
【解析】由题意得，
又由椭圆的定义得，
记，则，，
则，所以，
故，
则，则，即
等价于，得：或（舍）
故答案为：
49．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为，为椭圆上一点，直线与直线交于点，的角平分线与直线交于点，若，的面积是面积的6倍，则椭圆的离心率是 .
【答案】
【解析】由题意知，，，，当时，.
由，得，.
又的角平分线与直线交于点，可知，所以.
，解得，椭圆的离心率是.
故答案为：.
50．（2024·四川凉山·高三统考期末）已知椭圆，左、右焦点分别为、，若