高中数学压轴题小题专项训练专题42圆锥曲线焦半径公式含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题42圆锥曲线焦半径公式含解析答案，共50页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
2．已知椭圆C的焦点为，，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为
A．B．C．D．
4．设抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线过F且与C交于A, B两点.若|AF|=3|BF|，则的方程为
A．y=x-1或y=-x+1
B．y=（X-1）或y=（x-1）
C．y=（x-1）或y=（x-1）
D．y=（x-1）或y=（x-1）
5．过抛物线的焦点作直线与其交于，两点，若，则
A．B．C．D．
6．已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上
一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
7．已知椭圆：和双曲线：有公共的焦点，，点P是与在第一象限内的交点，则下列说法中的正确个数为（ ）
①椭圆的短轴长为；
②双曲线的虚轴长为；
③双曲线的离心率恰好为椭圆离心率的两倍；
④是一个以为底的等腰三角形．
A．4B．3C．2D．1
8．已知椭圆的左，右焦点分别为，，P是椭圆C上的点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有
A．8个B．6个C．4个D．2个
9．已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则
A．1B．C．D．2
10．双曲线的一条渐近线方程为，、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线左支上的点到的距离最小值为，则双曲线方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．已知抛物线的焦点为，过点的直线依次交抛物线及圆于四点，则的最小值为
A．B．C．D．
12．已知抛物线：的焦点为，，两点在上，，，则直线斜率的最小值和最大值分别是（ ）
A．，B．，2C．，D．，2
13．已知双曲线上的点到焦点的最小距离为，且与直线无交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14．已知双曲线的左､右焦点分别为，，一条渐近线方程为，过双曲线C的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于A，B两点，若的周长为36，则双曲线C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
15．已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线的焦点为，设两曲线的一个交点为，若，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
17．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
18．已知、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的动点，，，点到双曲线一条渐近线的距离为，则下列选项正确的有（ ）
A．双曲线的实轴长为B．双曲线的离心率为
C．的最小值为D．
19．经过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，设，，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．面积的最小值为8
C．以焦半径为直径的圆与直线相切
D．
20．已知双曲线的左焦点为，过点的直线交的左支于两点，直线：为的一条渐近线，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．存在点，使得
C．的最小值为1
D．点到直线：距离的最小值为2022
21．已知抛物线与双曲线共焦点，，双曲线离心率为，直线过点，且与抛物线交于，两点，交双曲线于，两点，（，均在第一象限），则下列命题正确的是（ ）
A．若直线垂直于抛物线对称轴，则
B．若直线垂直于抛物线对称轴，，则双曲线离心率
C．当直线斜率为1时，
D．当直线斜率为1时，
22．已知双曲线的左，右焦点分别为是双曲线上的一个动点，下列结论正确的有（ ）
A．若的面积为20，则B．双曲线的离心率为
C．的最小值为1D．若为直角三角形，则
23．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，在线段上，点为在上的射影，线段交轴于点，则下列命题正确的是（ ）
A．对于任意直线，均有
B．不存在直线，满足
C．对于任意直线，直线与抛物线相切
D．存在直线，使
24．已知双曲线的左、右焦点分别为、，，过的直线与的右支交于点，若，则（ ）
A．的渐近线方程为B．
C．直线的斜率为D．的坐标为或
25．已知曲线，则以下说法正确的是（ ）
A．最小值为
B．两曲线有且仅有2条公切线，记两条公切线斜率分别为，则
C．当轴时，
D．
三、填空题
26．如图所示，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，则四边形面积的最小值为 ．

27．点在双曲线的右支上，若点到右焦点的距离等于，则
28．如图所示，过双曲线的一个焦点作平行于渐近线的两直线，两直线与双曲线分别交于两点，若，双曲线的离心率为表示不超过的最大整数，则的值为 .

29．如图所示，已知点分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于两点，点在第一象限.
（1）点的横坐标的取值范围为 ；
（2）线段交圆于点，记的面积分别为，则的最小值为 .
30．已知抛物线的准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，是抛物线的焦点，且满足，则 ．
31．已知椭圆的左、右焦点分别为、，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.过作两条斜率不为且互相垂直的直线分别交椭圆于、和、，线段的中点为，线段的中点为，则直线过轴上一定点
32．设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为 .
33．已知椭圆：的离心率为，过右焦点且斜率为（）的直线与椭圆相交于两点．若，则＝ ．
34．已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，直线与C交A，B两点，直线与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 .
35．设椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，，则椭圆的离心率为 ．
36．过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的长为8，则P= .
37．已知椭圆： 的左、右焦点分别为，点在椭圆上， 且，则当时，椭圆的离心率的取值范围为 ．
38．已知椭圆的焦点为，，若点在椭圆上，则满足（其中为坐标原点）的点的个数为 ．
39．若是双曲线的一个焦点，、、、是双曲线上同一支上任意个不同的点，且 ，则 .
40．已知是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为
41．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且|PF1|•|PF2|的最大值的取值范围是[2c2，3c2]，其中，则椭圆M的离心率e的取值范围是 ．
42．设是椭圆上异于长轴端点的任意一点，、分别是其左、右焦点，为中心，则 .
43．如图所示，过椭圆的左焦点任作一直线交椭圆于两点．若，则的值为 ．
44．已知椭圆的左右焦点为，，过的直线交椭圆C于P，Q两点，若，且，则椭圆C的离心率为 ．
45．设，分别是椭圆的左､右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为
46．已知A、B、C是椭圆上的三点，点，若，则 ．
47．已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是
48．如图，过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦、，若与面积之和的最小值为16，则抛物线的方程为 .
49．设椭圆的离心率，C的左右焦点分别为，点A在椭圆C上满足．的角平分线交椭圆于另一点B，交y轴于点D．已知，则 ．
参考答案：
1．C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
2．A
【分析】由已知可设，则，得，在中求得，从而可求解．
【详解】如图，由已知可设，则，
由椭圆的定义有．
在中，由余弦定理推论得．
所以，则.
得，所以，又，得
故C的方程为
故选：A
3．C
【分析】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，则可利用几何性质得到，故可得到轴的距离.
【详解】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，
因为是该抛物线上的两点，故，
所以，
又为梯形的中位线，所以，故到轴的距离为，故选C.
【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.
4．C
【详解】设A(x1,y1),B(x2,y2),
又F(1,0),
则=(1-x1,-y1),=(x2-1,y2),
由题意知=3,
因此
即
又由A、B均在抛物线上知
解得
直线l的斜率为=±,
因此直线l的方程为y=(x-1)或y=-(x-1).
故选C.
5．B
【分析】根据抛物线的定义，结合，求出的坐标，然后求出的方程，求出点的横坐标即可得到结论．
【详解】解：抛物线的焦点，准线方程为，
设，
则，故，此时，即
当时，
则的斜率，
则直线的方程为，
代入得，
解得（舍或，则.
当时，则的斜率，
则直线的方程为，
代入得，
解得（舍或，则.
故选：B
6．C
【详解】考点：双曲线的简单性质．
分析：由定义知：|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==+4a+|PF1| ≥8a，当且仅当=|PF1|，即|PF1|=2a时取得等号．再由焦半径公式得双曲线的离心率的取值范围．
解：由定义知：|PF2|-|PF1|=2a，
|PF2|=2a+|PF1|，
=
=+4a+|PF1| ≥8a，
当且仅当=|PF1|，
即|PF1|=2a时取得等号
设P（x0，y0） （x0≤-a）
由焦半径公式得：
|PF1|=-ex0-a=2a
ex0=-3a
e=-≤3
又双曲线的离心率e＞1
∴e∈（1，3]．
故选C．
7．A
【分析】由焦点求得参数，即可根据定义判断①②③，联立椭圆、双曲线求得P点，即可求得各边长进行判断.
【详解】因为椭圆和双曲线有公共的焦点，，所以，解得，
对①②，椭圆的短轴长为，双曲线的虚轴长为，①②正确；
对③，双曲线的离心率，椭圆离心率的，，③正确；
对④，由，解得，则，
，，所以是一个以为底的等腰三角形，④正确．
故选：A
8．C
【分析】设，根据分别为直角分类计算即可.
【详解】（1）若，则，即，无解；
（2）若，则 ；
（3）若，则 ；
综上，共有4个点满足为直角三角形，故选C.
【点睛】（1）题设中没有指明哪一个角为直角，故需要分类讨论；
（2）圆锥曲线中与焦点三角形有关的问题，常常利用几何性质来处理；
（3）若椭圆的标准方程为，为其左右焦点，为椭圆上的动点，则有焦半径公式：（左加右减），其中为椭圆的离心率.
9．B
【详解】因为，所以，从而，则椭圆方程为．依题意可得直线方程为，联立可得
设坐标分别为，则
因为，所以，从而有 ①
再由可得，根据椭圆第二定义可得，即 ②
由①②可得，所以，则，解得．因为，所以，故选B
10．B
【分析】求出双曲线左支上的点到的距离最小值，可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出该双曲线的方程.
【详解】双曲线左支上一点为，则，且，
则
，则，
由已知可得，解得，因此，双曲线方程为.
故选：B.
11．B
【分析】由题意可知，圆的圆心即抛物线的焦点，抛物线的准线.设，由抛物线的定义可得，.再分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，即可得出答案.
【详解】抛物线的焦点为，准线.
圆的圆心，半径为1.
设，由抛物线的定义可得，.
当直线轴时，直线的方程为，.
当直线的斜率存在且不为0时，设，如图所示

由，得，
，
当且仅当，即时，等号成立.
的最小值为.
，的最小值为.
故选：.
【点睛】本题考查抛物线的定义，考查基本不等式和分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
12．D
【分析】利用焦半径公式求得A，B两点坐标，从而得到直线斜率的情况，由此得解.
【详解】由题意知，设，，
则由，得，得，
代入C：，得，所以或；
由，得，得，代入C：，得，
所以或；
所以直线斜率有四种情况，
则直线斜率的最小值为，最大值为.
故选：D.
13．B
【分析】设点，求出点到双曲线焦点距离的最小值为，再利用直线与双曲线无公共点可得出，可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围.
【详解】设双曲线上一点，设点双曲线的右焦点为，
若取最小值，则点在双曲线的右支上，则，
则
，
当且仅当时，等号成立，
联立可得，
因为与直线无交点，则，
即，因为，解得.
故选：B.
14．C
【分析】由题意可得，则双曲线方程为，，，可得直线为，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出，再由双曲线的定义和 的周长为36，可求出，从而可求出双曲线的方程
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以，则双曲线方程为，，，
所以直线为，
设，
由，得，
则，
所以，
因为，，
所以，
因为的周长为36，
所以，
所以，得，
所以双曲线方程为 ，
故选：C
15．A
【分析】设，由，，可得，由椭圆、抛物线焦半径公式可得，整理可得答案.
【详解】由题意可知，则抛物线的方程为，
设不妨设在第一象限，且有数量积的投影可知，则，
由椭圆的焦半径公式可知，
由抛物线的定义，
则，
所以，即，
解得.
故选：A.
【点睛】本题考查了椭圆、抛物线的性质，运用焦半径公式计算使得解题过程简化，属于中档题.
16．A
【分析】由双曲线的焦半径公式结合几何图形的性质计算即可
【详解】

如图所示，设双曲线实轴长为，则，
所以，
又M在第一象限，即，故，
因为，过M作MD⊥轴于D，，
由条件故，
即，故，
解之得（负值舍去）.
故选：A
17．C
【分析】在中，由正弦定理可得，结合已知条件得到，设点，得到，整理得到，根据椭圆的几何性质可得，化简得到，即可求解.
【详解】在中，由正弦定理可得,
又由，即，即,
设点，可得，
则，解得，
由椭圆的几何性质可得，即，
整理得，解得或，
又由，所以椭圆的离心率的取值范围是.
故选：C.
【点睛】方法点拨：在中，由正弦定理和结合已知条件得到，设点，结合椭圆的焦半径公式，得到，根据椭圆的几何性质可得，列出关于离心率的不等式是解答的关键.
18．BCD
【分析】根据双曲线的定义求出的值，可判断A选项；利用双曲线的离心率公式可判断B选项；利用双曲线的焦半径公式可判断C选项；利用点到直线的距离公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，由双曲线的定义可得，可得，
所以，双曲线的实轴长为，A错；
对于B选项，因为，则，所以，双曲线的离心率为，B对；
对于C选项，因为，故点在双曲线的右支上，
易知，则双曲线的方程为，
设点，则，易知点，且，可得，
所以，
，当且仅当时，等号成立，C对；
对于D选项，双曲线的渐近线方程为，即，
所以，双曲线的焦点到渐近线的距离为，D对.
故选：BCD.
19．BC
【分析】求抛物线的焦点和准线，设直线为，联立方程结合韦达定理可得，，进而结合抛物线方程和定义逐项分析判断.
【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线为，
显然直线的斜率不为0，且可以不存在，此时直线与抛物线必相交，
设直线为，
联立方程，消去x得，
则，，
对于选项A：，故A错误；
对于选项B：，
原点到直线的距离，
所以面积，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最小值为8，故B正确；
对于选项C：由题意可知：线段的中点，
则到y轴的距离为，
所以以焦半径为直径的圆与直线相切，故C正确；
对于选项D：因为
，
即，故D错误；
故选：BC.
20．ABC
【分析】根据题意得，，进而求解离心率判断A；求解判断B选项；当与轴垂直时取最小值判断C；根据直线与的渐近线平行，且与的左支不相交判断D.
【详解】解：对于A选项，直线：为的一条渐近线，故，故，，，A正确；
对于B选项，当过点的直线斜率不存在时，方程为，或，此时，，
当过点的直线斜率存在时，设方程为，
故联立方程得，
设，因为过点的直线交的左支于两点，
所以，解得或，
当或时，此时直线与双曲线渐近线平行，与双曲线的交点横坐标为，
所以，，
所以，因为，所以存在点，使得，故B正确；
对于C选项，结合B选项讨论，，
所以
，
因为或，所以，，，，即，
因为过点的直线斜率不存在时，，
综上，的最小值为1，故C选项正确.
对于D选项，直线和的渐近线平行，且与的左支不相交，故上的点到直线的距离没有最小值，D错误．
故选：ABC．
21．AC
【分析】由抛物线的通径长判断A，由双曲线的通径长判断B，把转移为到准线的距离，可计算判断C，同样把转移到双曲线上的点到相应准线的距离，利用几何方法计算后可判断D．
【详解】由，，得抛物线的方程为，当过焦点的直线垂直于抛物线对称轴时，弦为通径，抛物线的通径为，故A选项正确；
由选项A得抛物线的通径为，双曲线的通径为．当时，，解得，即有，化简得，可得，故B选项错误；
易知抛物线准线为：，作于点，作于点，作于点．由抛物线的几何性质可得，．∵的斜率为1，∴．设，则，则，，，解得，，则，故C选项正确；
由选项C可得．∵的斜率为1，∴，．在双曲线中，设右准线为，作于点，作于点，作于点．
由双曲线的几何性质可得，∴，同理．
∵的斜率为1，∴在中，，，，
可得，整理得，则，故D选项错误，
故选AC．
【点睛】本题考查抛物线与双曲线的几何性质．考查它们的定义．在涉及到圆锥曲线上的点到焦点的距离时常常利用定义转化为曲线上的点到焦点的距离，从而可以利用几何方法进行求解．
22．BC
【分析】根据双曲线的性质、两点距离公式及三角形面积公式计算一一判定选项即可.
【详解】由题意可知，即，
若的面积为20，则，故A错误；
根据双曲线方程可知的离心率，故B正确；
易知，
则，
又或，所以时有，或时，
故，时取得等号，故C正确；
若为直角三角形，易知当时，此时，
则，故D错误.
故选：BC
23．AC
【分析】A选项由为线段的中点以及抛物线定义即可判断；B选项由及抛物线方程求出，坐标，再说明，，三点共线，即存在直线即可，C选项设，，表示出直线，联立抛物线，利用即可判断，D选项设出直线，联立抛物线得到，通过焦半径公式结合基本不等式得即可判断．
【详解】解：对于A：如图：由抛物线知为的中点，轴，
所以为线段的中点，
由抛物线的定义知，所以，故A正确；
B选项，设，，，，，，，
为线段的中点，则，
，，，，
由，得，解得，，
又，，故，，，，，
可得，，故存在直线，满足．故B不正确；
C选项：由题意知，为线段的中点，从而设，，则，
直线的方程：，
与抛物线方程联立可得：
，由，
代入左式整理得，
则，所以直线与抛物线相切，故C正确；
对于D：设的方程，
联立，则，
，，
由，
而，由，得，解得：，
故，所以，故D错误.
故选：AC．
【点睛】本题考查了抛物线的定义和性质，考查向量问题，考查韦达定理的应用以及数形结合思想，是难题．
24．ABD
【分析】利用双曲线的焦距求出的值，结合双曲线的渐近线方程，可判断A选项；利用勾股定理结合双曲线的定义求出、的值，可判断B选项；利用直线斜率的定义可判断C选项；利用双曲线焦半径公式求出点的坐标，可判断D选项.
【详解】对于A选项，，且，解得，
又因为，故双曲线的渐近线方程为，A对；
对于B选项，因为点在右支上，则，①
又因为，则，②
联立①②可得，，所以，，B对；
对于C选项，若点在第一象限，则直线的斜率为，
若点在第四象限，由对称性可知，直线的斜率为.
综上所述，直线的斜率为，C错；
对于D选项，设点，则，且，可得，
所以，，
解得，则，可得，即点，D对.
故选：ABD.
25．ABC
【分析】对选项A，利用抛物线的焦半径公式转化求得最小值，进而建立函数，然后再研究函数的单调性即可；对选项B，先找到是其中的一条公切线，分别在两个曲线上设切线方程，然后根据公切线定义，则设立的两个切线方程重合而建立方程，然后将方程转化为函数，研究该函数的零点即可；对选项C，先设动点（）的坐标，根据轴，进而建立目标函数，然后研究该函数单调性即可；对选项D，考虑轴时，进而建立目标函数（），通过求该函数的最小值就能说明
【详解】
对选项A，如图所示，易知，根据抛物线的焦半径公式可得：
故有：
，则有：
设点的坐标为：
则有：
令，则可得：
再次求导可得：
故在区间上单调递增
又
可得：当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增；
故
则
故
故选项A正确；
对选项B，不妨设外公切线分别与，（）切于点，
则曲线的切线为：
则曲线的切线为：
根据与表示同一直线，则有：
解得：
令（）
则有：
可得：在区间上单调递增；在区间上单调递减
则有：，，（注意：实际上取不到该点）
，因为，故
根据零点存在性定理可知：在区间上存在一个零点，即存在一条公切线；
当时，，则在函数的处的切线方程为：
联立
可得：，故此时与切于点，也满足
由图易知：当时，不可能存在公切线
综上可得：两曲线有且仅有2条公切线不妨取（）
则有：
又，可得：
在上单调递增，则有：
故选项B正确；
对选项C，当轴时，设（），则
则有：
记，则有：
令，解得：
故当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
故有：
故
故选项C正确；
对选项D， 不妨设（）上点，（）上点
则有：，
可得：
若轴时，（）
令 （）
则有：
易知：在区间上单调递增
可得：
令，下面证明：
可化简为
进而可化简为：
故在区间存在一个零点，令
则当时，，即在区间上单调递减；
当时，，即在区间上单调递增；
故
而
又
下面证明：
即证：
只需证明：
又：
故成立
从而，而且以上还仅仅考虑轴时的情况，故选项D错误
故答案选：ABC
【点睛】求函数最值和值域的常用方法：
（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
（5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
26．
【分析】分类讨论直线的斜率存在与否，当斜率存在时，联立直线和椭圆方程，根据弦长公式可求，进而根据基本等式即可求解面积的最小值，当无斜率时，可求面积为4，进而可求最小值.
【详解】因为椭圆，所以，结合题图，
当直线斜率k存在且不为0时，设方程为：，联立，
即，设，则，
由弦长公式可得，
因为，所以，进而可得，
所以四边形的面积为,
因为，
，当且仅当时等号成立，
当直线斜率不存在或者为0时，此时四边形的面积为
所以四边形的面积取得最小值为．
故答案为：.
27．2
【分析】根据双曲线的方程求得的值，结合双曲线的方程及，列出方程，即可求解.
【详解】由双曲线，可得，则，
所以双曲线的右焦点，
将点代入双曲线的方程，可得，
所以，
整理得，解得或（舍去）
所以
故答案为：.
28．3
【分析】设，利用焦半径公式及直角三角形性质建立方程化简得，进而，令，构造，利用导数法研究函数单调性求出，即可得，根据函数新定义求解即可.
【详解】设，则，因此.
又，从而，不妨设，
则，令，则.
令，则.
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
又，
所以，于是.所以的值为3.
故答案为：3
29．
【分析】（1）设，利用点在双曲线上，可作差整理得到，结合可得到坐标，由此可得取值范围；
（2）利用点在双曲线上、两点间距离公式和双曲线定义可推导得到双曲线焦半径公式，由此化简所求面积，得到，利用基本不等式可求得结果.
【详解】（1）由双曲线方程可得：，
设，，则；
，，
两式作差得：，
，，，
，，，
又，，即点横坐标取值范围为；
（2）若为双曲线右半支上一点，则，
，
由双曲线定义得：；
由双曲线方程知：，，
，则的圆心为，半径为，，
，
，
由（1）知：，；
又，
（当且仅当时取等号），
的最小值为.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题考查与双曲线焦点三角形有关的取值范围和面积问题的求解；解题关键是能够通过假设，结合双曲线焦半径公式，将所求量转化为关于变量的函数问题的求解.
30．/
【分析】由题意求出，再由余弦定理求解即可.
【详解】如图所示，作关于轴对称的直线，连接．
因为，
所以．
所以．
又因为，所以由余弦定理得：
．
故答案为：.
31．
【分析】设点，其中，，且，利用两点间的距离公式可求得的值，利用抛物线的定义求出的值，由椭圆的定义可求得的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的方程，再设直线的方程为，其中，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，同理可得出点的坐标，求出直线的方程，即可求得直线所过定点的坐标.
【详解】抛物线焦点为，故，易知点，
设点，其中，，且，
，整理可得，
即，，解得，所以，
所以，则，，
因此椭圆的方程为，
设直线的方程为，其中，设点、，
联立，
，
所以，
，故点，
同理可得点，
所以，
所以直线的方程为，
即，
因此直线过定点.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
32．
【分析】根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.
【详解】由已知可得，
又为上一点且在第一象限,为等腰三角形，
．∴．
设点的坐标为，则，
又，解得，
，解得（舍去），
的坐标为．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
33．
【分析】由离心率及椭圆参数关系易得椭圆方程，设，根据向量数量关系坐标表示、点在椭圆上列方程求的坐标，两点式求斜率即可.
【详解】由已知e＝，所以，则，，
所以椭圆方程＝1变为．
设，又＝3，所以，
所以，所以，且①，②．
①－9×②，得：，
所以，所以，故，，从而，，
所以A，B，故．
故答案为：
34．16
【解析】设出直线方程为，，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理，由弦长公式求得弦长，用，代替得弦长，求出，用基本不等式求得最小值．
【详解】由题意抛物线焦点为，
显然直线的斜率都存在且都不为0，设直线方程为，，
由，得，所以，，
，
同理可得．
所以，当且仅当时等号成立．
故答案为：16．
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线相交弦长问题，解题方法是设而不求思想方法，即设出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得得，然后由弦长公式求得弦长．
35．
【分析】根据定比模型分析即可.
【详解】由定比模型和得，即，
解得，
故答案为:.
36．2
【详解】设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线方程为y＝x－，把y＝x－代入y2＝2px，得x2－3px＋p2＝0，∴x1＋x2＝3p，∵|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，∴p＝2．
37．
【分析】根据，，得到，代入椭圆方程求解.
【详解】因为，
所以可设，
由，得，即，
因为在椭圆上，
所以，即，
即，
即，
即
其在区间上为增函数，
所以，
所以椭圆的离心率的取值范围为.
38．4
【分析】设点，由焦半径公式表示出、，即可得到，再由得到方程，解得即可判断.
【详解】设点，则．由焦半径公式得，
故．
∵，∴，即．
又∵，解得，∴满足条件的点有4个．
故答案为：
39．
【分析】不妨设是双曲线的左焦点，则，设为双曲线上左支上的点，其中，利用平面向量的坐标运算可得出的值，再利用双曲线的方程以及两点间的距离公式可求得的值.
【详解】在双曲线中，，，，
不妨设是双曲线的左焦点，则，
设为双曲线上左支上的点，其中，
，
即，
，
，
同理可得，，，
因此，.
故答案为：.
40．
【详解】设椭圆C的焦点在x轴上，如图所示，则B(0，b)，F(c,0)，D(xD，yD)，则＝(c，－b)，＝(xD－c，yD)，
∵＝2，∴
∴
∴＋＝1，即e2＝，∴e＝．
41．
【分析】根据题意，|PF1|•|PF2|的最大值为a2，则由题意知2c2≤a2≤3c2，由此能够导出椭圆M的离心率e的取值范围．
【详解】∵|PF1|•|PF2|的最大值=a2，
∴由题意知2c2≤a2≤3c2，
∴，
∴．故椭圆M的离心率e的取值范围．
故答案为：.
42．25
【详解】设|PF1|=m，|PF2|=n，|OP|=t，P在椭圆上，且|F1F2|=2c，
在△PF1O中，m2=t2+c2﹣2tccs∠POF1，①
在△PF2O中，n2=t2+c2﹣2tccs∠POF2，②
由cs∠POF1+cs∠POF1=0，
①+②可得m2+n2=2t2+2c2，
由题意可得
由椭圆的定义可得m+n=2a=8，c=，
可得，
故答案为25

43．
【分析】根据椭圆的焦半径角度公式求解即可.
【详解】设，则．
由椭圆的焦半径角度式可知，，
从而．
故答案为：
【点睛】方法点睛：若过椭圆的一焦点作直线交椭圆于点，则椭圆的焦点弦所在的焦半径的倒数和为定值，即．
44．
【分析】根据椭圆的定义，线段比例关系和余弦定理即可求解.
【详解】
因为，
所以，
又，
所以，
所以，
在三角形中，，
在三角形中，，
以上两式相等整理得，
故或（舍去），
故，
故答案为：.
45．
【解析】设，则，由题得，解得.所以，化简等式即得解.
【详解】 ，设，则
由椭圆的定义，可以得到
，
在中，有，
解得.
，
在中，有，
整理得，.
故答案为：
【点睛】本题主要考查椭圆离心率的计算，考查椭圆的定义的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
46．
【分析】由可得，再结合椭圆第二定义可知，从而得解.
【详解】易知椭圆的右焦点即为点，
且椭圆的离心率，
设，
则，
由得：，
由椭圆的第二定义可知：
，
，
，
所以.
故答案为：.
47．
【分析】先计算双曲线的标准方程，再由焦半径公式计算即可.
【详解】由题意可知，
代入双曲线方程有，
又的面积为，即，
所以双曲线方程为：，
设，
则，
同理，
因为，则，
故答案为：.
48．
【分析】根据焦半径公式表示出面积表达式，根据直线和x轴夹角的范围得到面积的范围.
【详解】设直线AC和x轴的夹角为由焦半径公式得到


面积之和为：
通分化简得到
原式子化简为根据二次函数的性质当t=1时有最小值，此时抛物线方程为：
故答案为.
【点睛】本题主要考查了抛物线的几何性质．解题的关键是利用了抛物线的定义以及焦半径公式．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．
49．
【分析】根据题意，作图，计算得，，再设角平分线交x轴于，根据角平分线的性质，得到，进而得到直线的方程，再得到点，利用，得到点，然后利用点差法，通过计算化简，可得答案.
【详解】
由点A在椭圆C上，且，设点，且，，
则
，
同理，
设角平分线交x轴于，根据角平分线的性质，可知
，
，
，解得，，得．
可得直线．进而可得，
由，可得，
设中点为M，则．，
点差法的结论，证明如下：
设，，，为中点，
故，两式作差得，，
又由，，可整理得，，
最后化简得，，
进而得到，，
得．
因为，所以，
联立，解得，
所以，故，解得．
故答案为：．