人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.2 直线的方程学案及答案

2.2  直线的方程

2.2.3　直线的一般式方程

知识点　直线的一般式方程

(1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．

(2)适用范围：平面直角坐标系中的任意一条直线都可用一般式表示．

(3)系数的几何意义：当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；

当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时斜率不存在．

1．二元一次方程与直线的关系

二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的．

2．二元一次方程的系数和常数项对直线位置的影响

(1)当A＝0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线与x轴平行．

(2)当A≠0，B＝0，C为任意实数时，方程表示的直线与x轴垂直．

(3)当A＝0，B≠0，C＝0时，方程表示的直线与x轴重合．

(4)当A≠0，B＝0，C＝0时，方程表示的直线与y轴重合．

(5)当C＝0，A，B不同时为0时，方程表示的直线过原点．

3．根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法

一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.

这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．

4．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法

一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

这种方法可避免讨论，减小失误．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)任何直线方程都能表示为一般式．(　　)

(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．(　　)

(3)对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示垂直于x轴的直线．(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)×

2．做一做

(1)若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　)

A．1  B．－1

C．－2或－1  D．－2或1

(2)经过点A(－2,1)，斜率是的直线的一般式方程为____________________.

(3)若直线l的一般式方程为2x－3y＋12＝0，则直线l的斜率是________，在y轴上的截距是________.

 (4)将直线l的一般式方程x－2y＋4＝0化为截距式方程为______________________.

答案　(1)D　(2)x－3y＋5＝0　(3)　4　(4)＋＝1

题型一  直线的一般式方程与其他形式的互化

例1　设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值：

(1)直线l的斜率为－1；

(2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0.

[解]　(1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2，由题意得－＝－1，解得k＝5.

(2)直线l的方程可化为＋＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.

1．一般式化为斜截式的步骤

(1)移项，得By＝－Ax－C；

(2)当B≠0时，得斜截式：y＝－x－.

2．一般式化为截距式的步骤

方法一：

(1)把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C；

(2)当C≠0时，方程两边同除以－C，得＋＝1；

(3)化为截距式：＋＝1.

方法二：

(1)令x＝0求直线在y轴上的截距b；

(2)令y＝0求直线在x轴上的截距a；

(3)代入截距式方程＋＝1.

由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．

[跟踪训练1]　设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．

(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；

(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．

解　(1)当直线l过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等．∴a＝2，方程为3x＋y＝0.

若a≠2，由截距存在且均不为零有＝a－2，

即a＋1＝1，∴a＝0.此时方程为x＋y＋2＝0.

(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2.

∴或解得a≤－1.

综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－1]．

题型二  求直线的一般式方程

例2　直线l与两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为2，两截距之差为3，求直线l的一般式方程．

[解]　设直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b，则由已知可得　①

当a≥b时，①可化为

解得或(舍去)，

当a<b时，①可化为

解得或(舍去)．

所以直线l的截距式方程为＋y＝1或x＋＝1，

化为一般式方程为x＋4y－4＝0或4x＋y－4＝0.

[条件探究]　若直线l与两坐标轴相交的截距之积为4，截距之差为3，求直线l的一般式方程．

解　设直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b，则

由已知可得解方程组可得或或或

故直线l的一般式方程为x＋4y－4＝0或4x＋y＋4＝0或4x＋y－4＝0或x＋4y＋4＝0.

1．求直线一般式方程的策略

当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．

2．不同条件下各种直线方程的选用

在求直线方程时，设一般式方程并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程，一般选用规律为：

(1)已知直线的斜率和直线上某一点的坐标时，选用点斜式；

(2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时，选用斜截式；

(3)已知直线上两点的坐标时，选用两点式；

(4)已知直线在x轴，y轴上的截距时，选用截距式．

[跟踪训练2]　已知平面内两点A(8，－6)，B(2,2)．

(1)求AB的中垂线方程；

(2)求过点P(2，－3)且与直线AB平行的直线l的方程．

解　(1)因为＝5，＝－2，

所以AB的中点坐标为(5，－2)，因为kAB＝＝－，所以AB的中垂线的斜率为，

故AB的中垂线的方程为y＋2＝(x－5)，即3x－4y－23＝0.

(2)由(1)知kAB＝－，所以直线l的方程为y＋3＝－(x－2)，即4x＋3y＋1＝0.

题型三  一般式下直线的平行与垂直问题

例3　(1)直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；

(2)直线l1：ax＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y－2＝0垂直，求a的值．

[解]　(1)a.当m＋1＝0，即m＝－1时，直线l1的斜率k1不存在，直线l2的斜率k2＝，两直线不平行；

b．当m＋1≠0，即m≠－1时，两直线方程化为斜截式，

l1：y＝－x－，l2：y＝－x＋.

由l1∥l2知两直线斜率相等，截距不相等，

所以

由①得m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3，

经验证均适合②式，故m的值为2或－3.

(2)当a＝1时，l1：x＝3，l2：y＝，∴l1⊥l2；

当a＝－时，l1：y＝x＋，l2：x＝－，

∴l1不垂直于l2；

当a≠1且a≠－时，k1＝，k2＝，

由于l1⊥l2，则×＝－1，解得a＝－3.

综上可知，当a＝1或a＝－3时，l1⊥l2.

[解法探究]　本例有没有其他解法呢？

解　(1)∵l1∥l2，B2＝3≠0，

∴2×3－(m＋1)m＝0且－2(m＋1)－3×4≠0，

即m2＋m－6＝0且m≠－7，∴m＝2或m＝－3.

∴要使l1∥l2，m的值为2或－3.

(2)l1中，A1＝a，B1＝1－a，l2中，

A2＝a－1，B2＝2a＋3.

若l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.

即a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，

解得a＝1或a＝－3.

(1)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0：

①若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；

②若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

(2)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.

[跟踪训练3]　已知直线l1：x＋my＋6＝0和直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m为何值时，直线l1与l2：

(1)相交；(2)平行；(3)重合；(4)垂直．

解　若两条直线的斜率不相等，则两条直线一定相交．

(1)当m＝0时，两条直线相交．

当m≠0时，由－≠－，得m≠3且m≠－1.

所以当m≠3且m≠－1时，两条直线相交．

(2)由－＝－，得m＝3或m＝－1.

当m＝－1时，两条直线平行；

当m＝3时，两条直线重合．

所以当m＝－1时，两条直线平行．

(3)由(2)，知当m＝3时，两条直线重合．

(4)由1×(m－2)＋3m＝0，得m＝.

所以当m＝时，两条直线垂直．

1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　)

A．A≠0  B．B≠0

C．A·B≠0  D．A2＋B2≠0

答案　D

解析　由直线的一般式方程可知，要使方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B不能同时为0.故选D.

2．(多选)若abc<0，则直线ax＋by＋c＝0的图形可能是(　　)

答案　ABCD

解析　直线方程可化为y＝－x－，∵abc<0，∴可分四种情况讨论．①当b>0，a>0，c<0时，－<0，－>0，C符合；②当b>0，a<0，c>0时，－>0，－<0，D符合；③当b<0，a>0，c>0时，－>0，－>0，B符合；④当b<0，a<0，c<0时，－<0，－<0，A符合．故选ABCD.

3．过点(2,1)且与直线2x＋y＋1＝0垂直的直线方程为________.

答案　x－2y＝0

解析　与2x＋y＋1＝0垂直的直线方程可设为x－2y＋m＝0.又直线过点(2,1)，所以2－2＋m＝0，m＝0.故所求直线方程为x－2y＝0.

4．已知直线l1：(a－3)x＋(4－a)y＋1＝0与l2：2(a－3)x－2y＋3＝0平行，则a＝________.

答案　3或5

解析　当a＝4时，显然l1和l2不平行；当a≠4时，＝a－3，解得a＝3或a＝5，经验证，当a＝3或a＝5时，l1∥l2.故a＝3或5.

5．求经过点A(－2,2)且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线的方程．

解　由题意，知直线的斜率存在且不为0.

设直线斜率为k(k≠0)，则直线的方程为y－2＝k(x＋2)，其与x轴的交点为，与y轴的交点为(0,2k＋2)，由直线与两个坐标轴所围成的三角形面积为1，得·|2k＋2|＝1，整理得2(k＋1)2＝|k|，即2k2＋4k＋2＝k(k>0)或2k2＋4k＋2＝－k(k<0)，解得k＝－或k＝－2，

故所求直线的方程为x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．过点P(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为(　　)

A．2x＋y－1＝0  B．2x＋y－5＝0

C．x＋2y－5＝0  D．x－2y＋7＝0

答案　A

解析　∵直线x－2y＋3＝0的斜率为，∴所求直线的斜率为－2，又过P(－1,3)，∴直线方程为y－3＝－2(x＋1)．整理得2x＋y－1＝0.

2. 已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图，则(　　)

A．若c>0，则a>0，b>0

B．若c>0，则a<0，b>0

C．若c<0，则a>0，b<0

D．若c<0，则a>0，b>0

答案　D

解析　由ax＋by＋c＝0得，斜率k＝－，直线在x轴、y轴上的截距分别为－，－.如题图，k<0，即－<0，∴ab>0.∵－>0，－>0，∴ac<0，bc<0.故若c<0，则a>0，b>0；若c>0，则a<0，b<0.

3．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则直线l的方程为(　　)

A．15x－10y－6＝0  B．15x－10y＋6＝0

C．6x－4y－3＝0  D．6x－4y＋3＝0

答案　A

解析　由题意，可知直线l的斜率k＝，故可设直线l的方程为y＝x＋b，则有－b＝1，解得b＝－，所以直线l的方程为y＝x－，即15x－10y－6＝0.故选A.

4．将直线l：y＝－(x－2)绕点(2,0)顺时针旋转30°得到直线l′，则直线l′的方程为(　　)

A．x＋y＋1＝0  B．x＋2y－1＝0

C．－x＋2y－3＝0  D．x－2＝0

答案　D

解析　由已知，可得直线l的倾斜角为120°，绕点(2,0)顺时针旋转30°后，所得直线l′的倾斜角为120°－30°＝90°，直线l′恰好与x轴垂直，方程为x＝2.故选D.

5．(多选)已知过点A(－5，m－2)和B(－2m－5,3)的直线与直线x＋my－1＝0平行，则m的值可能为(　　)

A．3  B．－3

C．0  D．－2

答案　AC

解析　当直线x＋my－1＝0的斜率不存在时，m＝0，即直线的方程为x＝1，此时直线AB的方程为x＝－5，两直线平行，故m＝0符合题意；当直线x＋my－1＝0的斜率存在时，斜率为k＝－，又kAB＝＝，∴由题意得＝－，解得m＝3.故选AC.

二、填空题

6．若直线(2t－3)x＋y＋6＝0不经过第一象限，则t的取值范围为________.

答案　

解析　直线方程可化为y＝(3－2t)x－6，所以3－2t≤0，解得t≥.

7．若方程(2m－1)x＋(2m2＋m－1)y＋m＝0表示一条直线，则m的取值范围是____________.

答案　m≠

解析　因为方程(2m－1)x＋(2m2＋m－1)y＋m＝0表示一条直线，所以(2m－1)2＋(2m2＋m－1)2≠0，解得m≠.

8．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是________________，直线PA，PB与x轴围成的图形的面积为________.

答案　x＋y－5＝0　9

解析　如图，由x－y＋1＝0得A(－1,0)，又点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，所以P为线段AB中垂线上的点，且B(5,0)，直线PB的倾斜角与直线PA的倾斜角互补，则斜率互为相反数，故直线PB的斜率k＝－1，则其方程为y＝－(x－5)，即x＋y－5＝0.因为|PA|＝|PB|，PA⊥PB，所以直线PA，PB与x轴围成的图形是等腰直角三角形，其高为|AB|＝3，故面积为|AB|×3＝9.

三、解答题

9．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．

(1)斜率是 ，且经过点A(5,3)；

(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；

(3)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；

(4)在x轴、y轴上的截距分别是－3，－1.

解　(1)由点斜式方程，可知所求直线的方程为y－3＝(x－5)，化为一般式方程为x－y＋3－5＝0.

(2)由斜截式方程，可知所求直线的方程为y＝4x－2，

化为一般式方程为4x－y－2＝0.

(3)由两点式方程，可知所求直线的方程为＝，化为一般式方程为2x＋y－3＝0.

(4)由截距式方程，可知所求直线的方程为＋＝1，化为一般式方程为x＋3y＋3＝0.

B级：“四能”提升训练

已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，则m，n满足什么条件时，分别有

(1)l1∥l2；

(2)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.

解　(1)∵l1∥l2，∴

解得或

∴当m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.

(2)解法一：∵l1在y轴上的截距为－1，∴n＝8，

∴l1：mx＋8y＋8＝0.

当m＝0时，l1：y＝－1，l2：x＝，满足l1⊥l2；

当m≠0时，k1＝－，k2＝－，

则k1·k2＝－·＝≠－1，

∴l1与l2不垂直．综上，当m＝0，n＝8时，l1⊥l2.

解法二：由题意，得

解得∴当m＝0，n＝8时，l1⊥l2.