高中人教A版 (2019)2.3 直线的交点坐标与距离公式导学案

2.3.3　点到直线的距离公式

2.3.4　两条平行直线间的距离

知识点一　点到直线的距离公式

点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.

知识点二　两条平行直线间的距离

(1)两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长，也就是一条平行直线上任一点到另一直线的距离.

(2)两条平行直线间的距离公式

①P(x0，y0)为l1：Ax＋By＋C1＝0上一点，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则l1与l2间的距离d＝.

②两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝.

1．点到几种特殊直线的距离

(1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；

(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；

(3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝|y0－b|；

(4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.

2．应用点到直线的距离公式应注意的问题

(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如求P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离，应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，得d＝.

(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用，故应用公式时不必判定点P与直线l的位置关系．

3．对两平行直线间的距离公式的理解

(1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式．

(2)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．

(3)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．

①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；

②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)点(m，n)到直线x＋y－1＝0的距离是.(　　)

(2)连接两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离．(　　)

(3)两平行线间的距离是两平行线上两点间的最小值．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√

2．做一做

(1)已知点A(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(　　)

A．  B．2－

C．－1  D．＋1

(2)点P(1,2)到直线2x＋y－4＝0的距离等于________.

(3)若点(4,3)到直线3x－4y＋C＝0的距离为1，则C＝________.

(4)两平行线4x＋6y＝16与2x＋3y＋18＝0间的距离等于________.

答案　(1)C　(2)0　(3)±5　(4)2

题型一  点到直线的距离

例1　已知P1(2,3)，P2(－4,5)与点A(－1,2)，求过点A且与P1，P2距离相等的直线l的方程．

[解]　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，符合题意；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0，因为P1，P2到直线l的距离相等，所以＝，化简得|3k－1|＝|3k＋3|，解得k＝－，故直线l的方程为x＋3y－5＝0.

综上可知，直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＋1＝0.

[解法探究]　本例还有其他解法吗？

解　(数形结合)设所求直线为l，由l过点A且与P1，P2距离相等，所以l有两种情况(如图所示)．

①当P1，P2在l的同侧时，有l∥P1P2，此时可求得l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.

②当P1，P2在l的异侧时，l必过P1P2的中点(－1,4)，此时l的方程为x＝－1，即x＋1＝0.

∴所求直线的方程为x＋3y－5＝0或x＋1＝0.

点到直线的距离的求解方法

(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．

(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点P(x0，y0)到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.

(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．

 [跟踪训练1]　求点P0(－1,2)到下列直线的距离．

(1)2x＋y－10＝0；(2)x＋y＝2；(3)y－1＝0.

解　(1)根据点到直线的距离公式得

d＝＝2.

(2)直线方程可化为x＋y－2＝0，所以d＝＝.

(3)因为直线y－1＝0平行于x轴，所以d＝|2－1|＝1.

题型二  两条平行直线间的距离

例2　求与直线2x－y－1＝0平行，且与直线2x－y－1＝0距离为2的直线方程．

[解]　由已知，可设所求的直线方程为2x－y＋C＝0(C≠－1)，则它到直线2x－y－1＝0的距离d＝＝＝2，

∴|C＋1|＝2，C＝±2－1.

∴所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0.

[解法探究]　本例还有其他解法吗？

解　设所求直线上任意一点P(x，y)，

则P到2x－y－1＝0的距离为

d＝＝＝2，

∴2x－y－1＝±2.

∴所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0.

求两平行直线间距离的两种思路

(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离．

(2)直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．

[跟踪训练2]　两平行直线l1，l2分别过P1(1,0)，P2(0,5)，若l1与l2间的距离为5，求两直线的方程．

解　依题意，两直线的斜率存在，

设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，

l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.

因为l1与l2距离为5，所以＝5，解得k＝0或.

所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0.

题型三  距离公式的综合应用

例3　已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．

(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；

(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．

[解]　(1)联立⇒交点P(2,1)．

当直线斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，∴＝3，解得k＝.

∴l的方程为y－1＝(x－2)，即4x－3y－5＝0.

而直线斜率不存在时，直线x＝2也符合题意，

故所求l方程为4x－3y－5＝0或x＝2.

(2)由

解得交点P(2,1)．

过P任意作直线l，设d为A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)，∴dmax＝|PA|＝.

[解法探究]　本例(1)还有其他解法吗？

解　设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，

∴＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，

解得λ＝2或.

∴l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.

两种距离公式在解析几何中的应用

(1)点到直线的距离公式及两平行线间的距离公式是解析几何的基本公式之一，在解析几何中具有重要的作用．

(2)在使用距离公式时要首先把直线方程化为一般式．

[跟踪训练3]　已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，l2：－4x＋2y＋1＝0和l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是.

(1)求a的值；

(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①点P是第一象限的点；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由．

解　(1)因为l2可化为2x－y－＝0，所以l1与l2的距离为d＝＝.

因为a>0，所以a＝3.

(2)设存在点P(x0，y0)满足②，则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，

且＝·，即c＝或c＝.

所以满足条件②的点P满足2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0.

若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，有＝·，

即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|.

所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.

因为点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能．

联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，

解得(舍去)，

联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，

解得

所以P即为同时满足条件的点．

1．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意的点，则|PQ|的最小值为(　　)

A.  B．

C．3  D．6

答案　C

解析　∵＝≠，∴已知两直线平行，方程可化为3x＋4y－12＝0与3x＋4y＋3＝0.|PQ|的最小值为两平行线间的距离d＝＝3.

2．(多选)已知点A(1＋t,1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为，则点A的坐标可以为(　　)

A．(0，－2)  B．(2,4)

C．(－1，－5)  D．

答案　AB

解析　(1＋t,1＋3t)到直线2x－y－1＝0的距离d＝＝，解得t＝±1，当t＝1时，A(2，4)，当t＝－1时，A(0，－2)，故选AB.

3．若点P到直线5x－12y＋13＝0和直线3x－4y＋5＝0的距离相等，则点P的坐标应满足的方程是(　　)

A．32x－56y＋65＝0或7x＋4y＝0

B．x－4y＋4＝0或4x－8y＋9＝0

C．7x＋4y＝0

D．x－4y＋4＝0

答案　A

解析　设点P(x，y)，由题意，得＝，解得32x－56y＋65＝0或7x＋4y＝0.

4．经过两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为________.

答案　2

解析　由可解得故两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点坐标为(1,3)．又知过该点的直线与原点的距离为1，分类讨论如下：

若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，满足题意；

若直线的斜率存在，则可设所求直线方程为y－3＝k(x－1)，整理得kx－y＋3－k＝0，因其到原点的距离为1，

所以＝1，故有1＋k2＝9－6k＋k2，即9－6k＝1，得k＝.所以所求直线方程为y－3＝(x－1)．综上，满足条件的直线有2条．

5．已知直线l1：2x＋3y－1＝0与l2：4x＋6y－5＝0，直线l∥l1∥l2，且直线l在直线l1与l2的正中间位置，求直线l的方程．

解　∵直线l1的方程可化为4x＋6y－2＝0，

∴可设直线l的方程为4x＋6y＋C＝0，

又直线l在直线l1与l2的正中间位置，

∴＝，即|C＋2|＝|C＋5|，

解得C＝－.

∴直线l的方程为4x＋6y－＝0，

整理得8x＋12y－7＝0.

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．直线l经过点P(－2,1)且点A(－2，－1)到直线l的距离等于1，则直线l的方程是(　　)

A．x－y＋1＋2＝0

B．－x－y＋1－2＝0

C．x－y＋1＋2＝0或－x－y＋1－2＝0

D．x－y＋1＋2＝0或x＋y－1－2＝0

答案　C

解析　由题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，整理，得kx－y＋2k＋1＝0，因点A(－2，－1)到直线l的距离为1，由公式＝1，得k＝±.所以直线l的方程为x－y＋1＋2＝0或－x－y＋1－2＝0.

2．直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最大，那么l的方程为(　　)

A．3x－y－13＝0  B．3x－y＋13＝0

C．3x＋y－13＝0  D．3x＋y＋13＝0

答案　C

解析　由已知可知，l是过A且与AB垂直的直线，

∵kAB＝＝，∴kl＝－3.由点斜式，

得y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.

3．已知两直线3x＋2y－3＝0与6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离等于(　　)

A．4  B．

C．  D．

答案　D

解析　因为3x＋2y－3＝0与6x＋my＋1＝0互相平行，所以－＝－，所以m＝4.所以6x＋my＋1＝0为6x＋4y＋1＝0，即3x＋2y＋＝0.所以两平行线间的距离d＝＝＝.

4．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(　　)

A．3x－2y－6＝0  B．2x＋3y＋7＝0

C．3x－2y－12＝0  D．2x＋3y＋8＝0

答案　D

解析　设所求直线的方程为2x＋3y＋C＝0(C≠－6)，

由题意可知＝.∴C＝－6(舍去)或C＝8.

故所求直线的方程为2x＋3y＋8＝0.

5．(多选)已知点A(0,2)，B(2,0)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的坐标可能为(　　)

A．(0,0)

B．(－1,1)

C．

D．

答案　ABCD

解析　设点C(t，t2)，直线AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝2.由于△ABC的面积为2，则这个三角形中AB边上的高h满足方程×2h＝2，即h＝.由点到直线的距离公式，得＝，即|t2＋t－2|＝2，即t2＋t－2＝2或t2＋t－2＝－2，解得t＝，t＝0，t＝－1，所以满足条件的点C的坐标为，，(0,0)，(－1,1)，故选ABCD.

二、填空题

6．若点(2，－k)到直线5x＋12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________.

答案　－3或

解析　d＝＝，由题意知＝4，即＝1，∴k＝－3或k＝.

7．若直线m被两条平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0截得的线段长为2，则直线m的倾斜角是_______.

答案　75°或15°

解析　如图，两平行线间的距离为|AH|＝＝，直线m被平行线截得线段的长为|AB|＝|AC|＝2，由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.

8．过点M(2,4)作两条互相垂直的直线，分别交x，y轴的正半轴于点A，B，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，则直线AB的方程为____________________，此时四边形OAMB的面积为________.

答案　x＋2y－5＝0或2x＋y－4＝0　8或

解析　设直线AB的方程为＋＝1(a>0，b>0)，

∴A(a,0)，B(0，b)．

∵MA⊥MB，∴(a－2)×(－2)＋(－4)×(b－4)＝0，

即a＝10－2b.

∵a>0，b>0，∴0<b<5,0<a<10.

∵直线AB的一般式方程为bx＋ay－ab＝0，

∴点M到直线AB的距离d＝.

∴△MAB的面积S1＝d|AB|＝|2b＋4a－ab|＝|b2－8b＋20|＝b2－8b＋20，△OAB的面积S2＝ab＝5b－b2.

∵直线AB平分四边形OAMB的面积，

∴S1＝S2，可得2b2－13b＋20＝0，

解得或

∴所求直线AB的方程为x＋2y－5＝0或2x＋y－4＝0.

∵四边形OAMB的面积为S1＋S2＝b2－8b＋20＋5b－b2＝－3b＋20，∴四边形OAMB的面积为8或.

三、解答题

9．已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程．

解　由直线l1，l2的方程知l1∥l2，又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d1＝0或d2＝0，不符合题意)．

设直线l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由两平行线间的距离公式，得d1＝，d2＝，又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，解得m＝－25或m＝－9.故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0.

B级：“四能”提升训练

已知点A(－2,2)，点B(－3，－1)，试在直线l：2x－y－1＝0上求一点P，使得：

(1)||PA|－|PB||最大；

(2)|PA|＋|PB|最小；

(3)|PA|2＋|PB|2最小．

解　(1)因为A，B在直线l的同侧，所以直线AB与直线l的交点即为所求点P.

又直线AB的方程为＝，即3x－y＋8＝0，

则解得

即所求点P的坐标为(－9，－19)．

(2)设点B关于直线l的对称点为B′(m，n)，

则解得

即B′，则AB′所在直线的方程为27x＋19y＋16＝0，由得

即所求点P的坐标为.

(3)设P(x,2x－1)，则|PA|2＋|PB|2＝(x＋2)2＋(2x－1－2)2＋(x＋3)2＋(2x－1＋1)2＝10x2－2x＋22＝102＋，所以当x＝时，|PA|2＋|PB|2取最小值，此时y＝－，即所求点P的坐标为.