高考数学一轮复习第2章思维深化微课堂数形结合思想在函数问题中的应用学案
展开已知函数f(x)＝对任意x1，x2∈R，若0＜|x1|＜|x2|，则下列不等式成立的是( )
A．f(x1)＋f(x2)＜0
B．f(x1)＋f(x2)＞0
C．f(x1)－f(x2)＞0
D．f(x1)－f(x2)＜0
[思维架桥] 先画出函数f(x)的图象，如图，
可知f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上单调递增．由0<|x1|<|x2|得f(|x1|)<f(|x2|)，再利用偶函数的性质可得答案．
D 解析：函数f(x)的图象如图所示，f(－x)＝f(x)，则函数f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数．又0<|x1|<|x2|，则 f(x2)>f(x1)，即f(x1)－f(x2)<0．故选D．
数形结合思想的主要方面是“以形助数”寻找解决问题的途径，在函数问题中数形结合思想的应用非常广泛．本例借助图形得出函数f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数的性质，进而得出结论f(x1)－f(x2)＜0．
广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．如图是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O，O1，O2．若一动点P从点A出发，按路线A→O→B→C→A→D→B运动(其中A，O1，O，O2，B五点共线)，设P的运动路程为x，y＝|O1P|2，y与x的函数关系式为y＝f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )
A B
C D
[思维架桥] 在点A到点O的过程中，x∈[0，π)，此时y＝|O1P|2＝1；在点O到点B的过程中，x∈[π，2π)，此时y＝5＋4cos x．同理，可得在x∈[2π，4π)上，y＝5－4cos．结合选项可得答案．
A 解析：根据题图中信息，可将x分为4个区间，即[0，π)，[π，2π)，[2π，4π)，[4π，6π]，当x∈[0，π)时，函数值不变，y＝f(x)＝1；当x∈[π，2π)时，设与的夹角为θ，因为||＝1，||＝2，θ＝x－π，所以y＝(－)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x，所以y＝f(x)的图象是曲线，且单调递增；当x∈[2π，4π)时，＝－，设与的夹角为 α，||＝2，||＝1，α＝2π－x，所以 y＝|O1P|2＝(－)2＝5－4cos α＝5－4cos，函数y＝f(x)的图象是曲线，且单调递减．结合选项知选A．
解决此类问题，可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象；也可“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征，从而得出结果．
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