高考数学一轮复习第8章思维深化微课堂“设而不求”在解析几何中的应用学案

求以(1,1)为中点的抛物线y2＝8x的弦所在直线的方程．

[思维架桥]　由得(y2＋y1)(y2－y1)＝8(x2－x1)，将中点的纵坐标代入，求得弦所在直线的斜率，可得方程．

解：设所求直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，

则有y＝8x1，①

y＝8x2．②

由②－①，得(y2＋y1)(y2－y1)＝8(x2－x1)，

即·＝4．③

因为③式中是AB中点的纵坐标，

所以＝1，

而是直线AB的斜率，于是得到kAB＝4．

又该直线过点(1,1)，所以所求直线方程为y＝4x－3．

已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．

[思维架桥]　联立直线与圆的方程，得到y1＋y2＝4，y1y2＝，即可得x1x2．由条件OP⊥OQ可得x1x2＋y1y2＝0，代入可求m的值．

解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

联立

消去x得5y2－20y＋12＋m＝0，

所以y1＋y2＝4，y1y2＝．

因为OP⊥OQ，所以x1x2＋y1y2＝0，

而x1x2＝(3－2y1)(3－2y2)＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2，所以9－6(y1＋y2)＋5y1y2＝0，解得m＝3，此时Δ>0．圆的方程为x2＋y2＋x－6y＋3＝0，所以圆心坐标为C，半径为．

已知△ABC内接于椭圆x2＋4y2＝8，其重心为G，已知点A(2,1)，求直线BC的方程．

[思维架桥]　利用重心坐标公式可得x1＋x2，y1＋y2，再由得到＝－1，即为直线BC的斜率，故方程可求．

解：设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则有x＋4y＝8，①

x＋4y＝8，②

＝2，③

＝，④

由①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，

由③④得x1＋x2＝4，y1＋y2＝1，

所以kBC＝＝－1．

又BC的中点坐标为，

所以直线BC的方程为y－＝－(x－2)，

即2x＋2y－5＝0．