还剩23页未读，
继续阅读
2024届高考数学一轮复习第8章第5节椭圆学案
展开
这是一份2024届高考数学一轮复习第8章第5节椭圆学案，共26页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第五节 椭圆
考试要求：掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．
一、教材概念·结论·性质重现
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a>c，则集合P为椭圆．
(2)若a＝c，则集合P为线段F1F2.
(3)若a
标准方程
x2a2+y2b2＝1
(a>b>0)
y2a2+x2b2＝1
(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a，
－b≤y≤b
－b≤x≤b，
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，
A2(a，0)，
B1(0，－b)，
B2(0，b)
A1(0，－a)，
A2(0，a)，
B1(－b，0)，
B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝ca∈(0，1)
a，b，c的
关系
c2＝a2－b2
(1)椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：
给出椭圆方程x2m+y2n＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔m>n>0，椭圆的焦点在y轴上⇔0
直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、相交.
4．常见结论
(1)a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值．
(2)过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB|＝2b2a，称为通径．
(3)若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a.
(4)e＝1-b2a2.e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．
(5)AB为椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
①弦长l＝1+k2|x1－x2|＝1+1k2|y1－y2|；
②直线AB的斜率kAB＝－b2x0a2y0.
(6)若M，N为椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)上关于原点对称的两个点，P是椭圆上不与M，N重合的点，则kPM·kPN＝－b2a2.
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆． ( × )
(3)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆． ( √ )
(4)x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)与y2a2+x2b2＝1(a＞b＞0)的焦距相同． ( √ )
2．若F1(－3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则点P的轨迹方程是( )
A．x225+y216＝1
B．x2100+y29＝1
C．y225+x216＝1
D．x225+y216＝1或y225+x216＝1
A 解析：设点P的坐标为(x，y)，因为|PF1|＋|PF2|＝10＞|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝a2-c2＝4，故点P的轨迹方程为x225+y216＝1.
3．已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋y2m＝1的焦点坐标为( )
A．(±3，0)
B．(0，±3)
C．(±3，0)或(±5，0)
D．(0，±3)或(±5，0)
B 解析：因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，即m＝4，所以椭圆x2＋y2m＝1即x2＋y24＝1的焦点坐标为(0，±3)．故选B．
4．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A．x25＋y2＝1
B．x24+y25＝1
C．x25＋y2＝1或x24+y25＝1
D．以上答案都不对
C 解析：直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，
由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，
所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为x25＋y2＝1.
当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，
所以a2＝5，所求椭圆标准方程为y25+x24＝1.
5．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P.若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )
A．22 B．2-12
C．2－2 D．2－1
D 解析：由题意可知，|PF2|＝2c，|PF1|＝22c.
因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以2c＋22c＝2a，
解得ca＝2－1.
考点1 椭圆的定义——基础性
1．圆A的半径为4，圆心为A(－1，0)，B(1，0)是圆A内一个定点，P是圆上任意一点，线段BP的垂直平分线与半径AP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为( )
A．x23+y24＝1 B． x2＋y2＝16
C．x24+y23＝1 D．(x＋1)2＋y2＝16
C 解析：如图，直线l为线段BP的垂直平分线，
所以连接BQ，由线段垂直平分线的性质得：BQ＝PQ，
而半径AP＝AQ＋PQ，且A，B两点为定点，
所以AQ＋BQ＝4>AB＝2，
所以由椭圆定义得点Q轨迹是以A，B两点为焦点的椭圆，且2a＝4，2c＝2，
所以a＝2，c＝1，所以b＝3，
所以椭圆方程为x24+y23＝1.故选C．
2．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22，过点F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为( )
A．x236+y218＝1 B．x216+y210＝1
C．x24+y22＝1 D．x216+y28＝1
D 解析：设椭圆的方程为x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，由e2＝c2a2＝1－b2a2＝12，得a2＝2b2.
根据椭圆的定义可知△ABF2的周长为4a，所以4a＝16，即a＝4，a2＝16，b2＝8，
则椭圆的标准方程为x216+y28＝1.
3．已知F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点．若△AF2B是边长为4的等边三角形，则椭圆C的方程为( )
A．x24+y23＝1 B．x29+y26＝1
C．x216+y24＝1 D．x216+y29＝1
B 解析：如图所示，
因为△ABF2是边长为4的等边三角形，
所以|AF2|＝4，|AF1|＝12|AB|＝2，所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝6，所以a＝3.
又因为|F1F2|＝2c＝AF22-AF12＝23，所以c＝3，则b2＝a2－c2＝6，
故椭圆C的方程为x29+y26＝1.故选B．
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．
(2)椭圆的定义常和余弦定理、正弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
考点2 椭圆的标准方程——综合性
(1)“－3＜m＜4”是“方程x24-m+y2m+3＝1表示椭圆”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B 解析：因为方程x24-m+y2m+3＝1表示椭圆的充要条件是4-m>0， m+3>0， 4-m≠m+3，
解得－3
A．x212+y23＝1 B．x28+y23＝1
C．x26+y23＝1 D．x24+y23＝1
D 解析：根据对称性知点P在x轴上，|OF|＝|FP|，故a＝2c，a2＝3＋c2，解得a＝2，c＝1，
故椭圆C的方程为x24+y23＝1.
本例(1)中椭圆的方程式变为x216-m+y2m-2＝1，若焦距为4，则m的值为________．
7或11 解析：在椭圆x216-m+y2m-2＝1中，由已知可得2c＝4，解得c＝2.
若椭圆的焦点在x轴上，可得16-m>0， m-2>0， 16-m-m-2=c2=4，解得m＝7；
若椭圆的焦点在y轴上，可得16-m>0， m-2>0， m-2-16-m=c2=4，解得m＝11.
因此，m＝7或11.
1．求椭圆标准方程的两种方法
(1)定义法：先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，并确定a2，b2的值，再结合焦点位置写出椭圆方程．特别地，利用定义法求椭圆方程要注意条件2a＞|F1F2|.
(2)待定系数法：利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．
2．椭圆的标准方程的两个应用
(1)方程x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)与x2a2+y2b2＝λ(λ＞0)有相同的离心率．
(2)与椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)共焦点的椭圆系方程为x2a2+k+y2b2+k＝1(a＞b＞0，b2＋k＞0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．
1．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为( )
A．x28+y26＝1 B．x216+y26＝1
C．x24+y22＝1 D．x28+y24＝1
A 解析：设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)．由点P(2，3)在椭圆上知4a2+3b2＝1.
又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，ca＝12.又c2＝a2－b2，联立4a2+3b2=1，c2=a2-b2，ca =12， 得a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为x28+y26＝1.
2．过点(3，－5)，且与椭圆y225+x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
y220+x24＝1 解析：(方法一)椭圆y225+x29＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝3-02+-5+42+3-02+-5-42，解得a＝25.
由c2＝a2－b2得b2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y220+x24＝1.
(方法二)因为所求椭圆与椭圆y225+x29＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为y2a2+x2b2＝1(a>b>0)．因为c2＝16，且c2＝a2－b2，所以a2－b2＝16.①
又点(3，－5)在所求椭圆上，所以-52a2+32b2＝1，即5a2+3b2＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y220+x24＝1.
考点3 椭圆的几何性质——应用性
考向1 求离心率(或范围)
(1)(2022·全国甲卷)椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为( )
A．32 B．22
C．12 D．13
A 解析：A(－a，0)，设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)，则kAP＝y1x1+a，kAQ＝y1-x1+a，故kAP·kAQ＝y1x1+a·y1-x1+a＝y12-x12+a2＝14.又x12a2+y12b2＝1，则y12＝b2a2-x12a2，所以b2a2-x12a2-x12+a2＝14，即b2a2＝14，所以椭圆C的离心率e＝ca＝1-b2a2＝32.故选A．
(2)(2022·青岛模拟)已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点．若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A．23，1 B．13，22
C．13，1 D．0，13
C 解析：如图所示，
因为线段PF1的中垂线经过点F2，
所以PF2＝F1F2＝2c，即椭圆上存在一点P，使得PF2＝2c.
所以2c≥a－c.所以e＝ca∈13，1.
求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．
考向2 与椭圆有关的最值问题
已知F(2，0)为椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点，过F且垂直于x轴的弦长为6.若A(－2，2)，点M为椭圆上任一点，则|MF|＋|MA|的最大值为________．
8＋2 解析：设椭圆的左焦点为F′，
由椭圆的右焦点为F(2，0)，得c＝2，又过F且垂直于x轴的弦长为6，即2b2a＝6，
则a2-c2a＝a2-4a＝3，解得a＝4，
所以|MF|＋|MA|＝8－|MF′|＋|MA|＝8＋|MA|－|MF′|，
当M，A，F′三点共线时，|MA|－|MF′|取得最大值，
(|MA|－|MF′|)max＝|AF′|＝2，
所以|MF|＋|MA|的最大值为8＋2.
椭圆的范围与最值问题
(1)在设椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，有|x|≤a，|y|≤b，可以把椭圆上某一点的坐标视为某一函数问题，进而求函数的单调区间、最值．
(2)椭圆上点到焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c；椭圆短轴端点与两焦点连线的夹角是椭圆上点与两焦点连线夹角的最大值．
1．已知F1，F2为椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左右焦点，在椭圆E上存在点P，满足PF2＝F1F2且F2到直线PF1的距离等于b，则椭圆E的离心率为( )
A．13 B．12
C．23 D．34
B 解析：由已知得PF2＝F1F2＝2c，
根据椭圆的定义可得PF1+PF2＝2a⇒PF1＝2a－2c.
又F2到直线PF1的距离等于b，即F2H＝b.
由等腰三角形三线合一的性质可得：F2H⊥PF1，可列方程：(a－c)2＋b2＝(2c)2⇒a2－ac－2c2＝0⇒(a－2c)(a＋c)＝0⇒a－2c＝0⇒e＝12.故选B．
2．设P是椭圆x225+y29＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为( )
A．9，12 B．8，11
C．8，12 D．10，12
C 解析：如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝10，易知|PM|＋|PN|＝(|PM|＋|MF1|)＋(|PN|＋|NF2|)－2，则其最小值为|PF1|＋|PF2|－2＝8，最大值为|PF1|＋|PF2|＋2＝12.
设椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，求离心率e的取值范围．
[四字程序]
读
想
算
思
在椭圆上存在点P，使得∠F1PF2为直角
1．在焦点三角形中可利用哪些性质或结论
2．离心率的表达式有哪些
构建点P的横坐标x与a，b，c的关系式，利用椭圆的有界性求解
转化与化归，函数与方程
求椭圆离心率e的取值范围
1．在焦点三角形中要注意应用：
①椭圆的定义．
②勾股定理或余弦定理．
③三角形的面积公式
2．e＝ca或e＝1-b2a2
x2＝a2c2-a2b2a2-b2
1．椭圆的有界性．
2．一元二次方程有实根的条件
思路参考：利用曲线范围．
解：设P(x，y)，又知F1(－c，0)，F2(c，0)，
则F1P＝(x＋c，y)，F2P＝(x－c，y)．
由∠F1PF2＝90°，知F1P⊥F2P，
则F1P·F2P＝0，
即(x＋c)(x－c)＋y2＝0，
得x2＋y2＝c2.
将这个方程与椭圆方程x2a2+y2b2＝1联立，
消去y，可得x2＝a2c2-a2b2a2-b2.
由椭圆的取值范围及∠F1PF2＝90°，
知0≤x2
所以e∈22，1.
思路参考：利用二次方程有实根．
解：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a⇒PF12+PF22＋2|PF1|·|PF2|＝4a2.
又由∠F1PF2＝90°，
知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
可得|PF1||PF2|＝2(a2－c2)．
因此，|PF1|与|PF2|是方程x2－2ax＋2(a2－c2)＝0的两个实根，
所以Δ＝4a2－8(a2－c2)≥0⇒e2＝c2a2≥12⇒e≥22.
所以e∈22，1.
思路参考：利用三角函数有界性．
解：记∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，由正弦定理有PF1sinβ＝PF2sinα＝F1F2sin90°，即PF1+PF2sinα+sinβ＝|F1F2|.
又|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，则有e＝ca＝1sinα+sinβ＝12sinα+β2cosα-β2＝12cosα-β2.
由0°≤|α－β|<90°，
知0°≤α-β2<45°，
所以22
思路参考：利用基本不等式．
解：由椭圆定义，有2a＝|PF1|＋|PF2|，平方后得4a2＝PF12+PF22+2|PF1|·|PF2|≤2(|PF1|2＋|PF2|2)＝2|F1F2|2＝8c2，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号，得c2a2≥12，所以e∈22，1.
思路参考：巧用图形的几何特性．
解：由∠F1PF2＝90°，知点P在以|F1F2|＝2c为直径的圆上．
又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P，
故有c≥b⇒c2≥b2＝a2－c2，
由此可得e∈22，1.
思路参考：双焦点最大张角．
解：设B1为上顶点，则双焦点最大张角为∠F1B1F2.
由已知∠F1B1F2≥90°，
所以∠OB1F2≥45°，
tan ∠OB1F2≥1，即cb≥1，c2≥b2，c2≥a2－c2，
得c2a2≥12，所以有e∈22，1.
1．本题考查椭圆离心率范围的求解，解题的基本策略是根据离心率的表达式，利用函数、方程、不等式求解，也可以利用椭圆图形的性质解决．
2．基于课程标准，解答本题一般要熟练掌握离心率的表达式和椭圆的几何性质，试题的解答体现了数学运算和逻辑推理的核心素养．
3．基于高考评价体系，本题通过椭圆性质的相互联系和转化，体现了基础性和综合性．
设A，B是椭圆C：x23+y2m＝1长轴的两个顶点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0，1]∪[9，＋∞)
B．(0，3]∪[9，＋∞)
C．(0，1]∪[4，＋∞)
D．(0，3]∪[4，＋∞)
A 解析：当0
图1
设M(x0，y0)，不妨设y0>0，A(－3，0)，B(3，0)．
则S△MAB＝3y0＝12|MA|·|MB|sin 23π＝34|MA|·|MB|，得|MA|·|MB|＝4y0.
AM＝(x0＋3，y0)，BM＝(x0－3，y0)，
故AM·BM＝x0+3x0-3+y02＝|AM|·|BM|cos 23π，
得x02-3+y02＝－2y0.
因为M(x0，y0)在椭圆上，
所以x023+y02m＝1，
得x02－3＝-3my02，
故-3my02+y02＝－2y0，
得y0＝2m3-m≤m，
解得0
图2
设M(x0，y0)，不妨设x0>0，
则A(0，－m)，B(0，m)，
S△MAB＝mx0＝12|MA|·|MB|sin 23π＝34|MA|·|MB|，|MA|·|MB|＝43m3x0，
AM＝(x0，y0＋m)，BM＝(x0，y0－m)，
所以AM·BM＝x02＋(y0＋m)(y0－m)＝|AM|·|BM|cos 23π，
解得x02+y02－m＝－23m3x0.
因为M(x0，y0)在椭圆上，
所以x023+y02m＝1，
得y02-m＝-m3x02，
故-m3x02+x02＝－23m3x0，
解得x0＝23mm-3≤3，
解得m≥9.
综上m≥9或0
课时质量评价(四十七)
A组 全考点巩固练
1．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，椭圆C的面积为23π，且短轴长为23，则椭圆C的标准方程为( )
A．x212＋y2＝1 B．x24+y23＝1
C．x23+y24＝1 D．x216+y23＝1
B 解析：由题意可得ab=23ππ，2b=23，解得a=2，b=3．
因为椭圆C的焦点在x轴上，所以椭圆C的标准方程为x24+y23＝1.
2．已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为22，则实数m等于( )
A．2 B．2或83
C．2或6 D．2或8
D 解析：显然m＞0且m≠4，当0＜m＜4时，椭圆长轴在x轴上，则1m-141m＝22，解得m＝2；当m＞4时，椭圆长轴在y轴上，则14-1m14＝22，解得m＝8.
3．(2023·烟台模拟)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上点P(x，y)到焦点F2的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为( )
A．12 B．32
C．23 D．2
A 解析：设椭圆的半焦距为c，由题意可得a+c=3，a-c=1，解得a＝2，c＝1，所以椭圆C的离心率e＝ca＝12，故选A．
4．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是( )
A．x264-y248＝1 B．x248+y264＝1
C．x248-y264＝1 D．x264+y248＝1
D 解析：设动圆的圆心M(x，y)，半径为r.因为圆M与圆C1：(x－4)2＋y2＝169内切，与圆C2：(x＋4)2＋y2＝9外切，所以|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r.
|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，由椭圆的定义，知点M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为16的椭圆，则a＝8，c＝4，所以b2＝82－42＝48，
所以动圆的圆心M的轨迹方程为x264+y248＝1.
5．已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为43，则椭圆C的方程为( )
A．x23+y22＝1 B．x23＋y2＝1
C．x212+y28＝1 D．x212+y24＝1
A 解析：若△AF1B的周长为43，由椭圆的定义可知，4a＝43，所以a＝3.因为e＝ca＝33，所以c＝1，所以b2＝2，所以椭圆C的方程为x23+y22＝1.故选A．
6．已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2.又离心率为22，则椭圆E的方程为________．
x28+y24＝1 解析：因为椭圆上一点到焦点的最小距离为a－c，
所以a－c＝22－2，离心率e＝22，
所以ca＝22，解得a＝22，c＝2，则b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆E的方程为x28+y24＝1.
7．已知点P(0，1)，椭圆x24＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足AP＝2PB，则当m＝______时，点B横坐标的绝对值最大．
5 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AP＝(－x1，1－y1)，PB＝(x2，y2－1)．由AP＝2PB，
得-x1=2x2， 1-y1=2y2-1，即x1=-2x2，y1=3-2y2.
因为点A，B在椭圆上，
所以4x224+3-2y22=m，x224+y22=m， 解得y2＝14m＋34，
所以x22＝m－(3－2y2)2＝－14m2＋52m－94＝－14(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.
8．已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，求椭圆C的离心率的最大值．
解：不妨设椭圆方程为x2a2+y2a2-1＝1(a>1)，
与直线l的方程联立x2a2+y2a2-1=1，y=x+3， 消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0.
由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥5，
所以e＝ca＝1a≤55，所以e的最大值为55.
B组 新高考培优练
9．(多选题)若椭圆C：x29+y2b2＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，则下列b的值，能使以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点的有( )
A．b＝2 B．b＝3
C．b＝2 D．b＝5
ABC 解析：以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，因为圆x2＋y2＝c2与椭圆C有公共点，所以c2≥b2，即9－b2≥b2，所以b2≤92，即0
A．49 B．23
C．59 D．53
D 解析：设P(x0，y0)，则y0x0+a×y0x0-a＝－49，化简得x02a2+y024a29＝1，
则b2a2＝49，e＝1-ba2＝1-49＝53.故选D．
11．已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的离心率为12，直线y＝kx与该椭圆交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于( )
A．±32 B．±23
C．±12 D．±2
A 解析：联立y=kx，x2a2+y2b2=1⇒(b2＋a2k2)x2＝a2b2，则x＝±abb2+a2k2，
由题意知abb2+a2k2＝c，①
因为e＝ca＝12，所以a＝2c，b＝a2-c2＝3c，
代入①可得12c43c2+4c2k2＝c2⇒k＝±32.
12．(多选题)设椭圆C：x22＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )
A．|PF1|＋|PF2|＝22
B．离心率e＝62
C．△PF1F2面积的最大值为2
D．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－2＝0相切
AD 解析：由椭圆C：x22＋y2＝1可知，a＝2，b＝1，c＝1，所以左、右焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，根据椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a＝22，故A正确；离心率e＝ca＝22，故B错误；所以△PF1F2面积的最大值为12×2c×b＝bc＝1，故C错误；由原点(0，0)到直线x＋y－2＝0的距离d＝212+12＝1＝c，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－2＝0相切，故D正确．故选AD．
13．(2023·泰安质检)如图，F1，F2是平面上两点，|F1F2|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径依次是1，2，3，…，点A，B，C分别是其中两圆的公共点．请写出一个圆锥曲线的离心率的值为________，使得此圆锥曲线可以同时满足：
①以F1，F2为焦点；②恰经过A，B，C中的两点．
5或56(答案不唯一) 解析：因为|F1F2|＝2c＝10，若过A，C两点，则由题意得|AF1|＋|AF2|＝|CF1|＋|CF2|＝12，此时离心率e＝ca＝2c2a＝1012＝56；若过B，C两点，则由题意得|BF2|－|BF1|＝|CF1|－|CF2|＝2，此时离心率e＝ca＝2c2a＝102＝5.
14．过椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则椭圆C的离心率的取值范围是________．
0，55 解析：由题设知，直线l：x-c+yb＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c，0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±b2a，即圆的半径r＝b2a.又圆与直线l有公共点，所以2bcb2+c2≤b2a，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝ca≤55.又0＜e＜1，所以0＜e≤55.
15．(2022·江苏质检)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，焦距为23.
(1)求C的方程；
(2)若斜率为－12的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P，Q均在第一象限)，O为坐标原点．证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．
(1)解：由题意可得ca=32， 2c=23，解得a=2， c=3，
又b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.
(2)证明：设直线l的方程为y＝－12x＋m，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由y=-12x+m，x24+y2=1，消去y，得x2－2mx＋2(m2－1)＝0，
则Δ＝4m2－8(m2－1)＝4(2－m2)>0，且x1＋x2＝2m>0，x1x2＝2(m2－1)>0，
故y1y2＝-12x1+m-12x2+m
＝14x1x2－12m(x1＋x2)＋m2＝m2-12，
kOPkOQ＝y1y2x1x2＝m2-122m2-1＝14＝kPQ2，
即直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．
第五节 椭圆
考试要求：掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．
一、教材概念·结论·性质重现
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a>c，则集合P为椭圆．
(2)若a＝c，则集合P为线段F1F2.
(3)若a
标准方程
x2a2+y2b2＝1
(a>b>0)
y2a2+x2b2＝1
(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a，
－b≤y≤b
－b≤x≤b，
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，
A2(a，0)，
B1(0，－b)，
B2(0，b)
A1(0，－a)，
A2(0，a)，
B1(－b，0)，
B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝ca∈(0，1)
a，b，c的
关系
c2＝a2－b2
(1)椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：
给出椭圆方程x2m+y2n＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔m>n>0，椭圆的焦点在y轴上⇔0
直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、相交.
4．常见结论
(1)a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值．
(2)过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB|＝2b2a，称为通径．
(3)若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a.
(4)e＝1-b2a2.e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．
(5)AB为椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
①弦长l＝1+k2|x1－x2|＝1+1k2|y1－y2|；
②直线AB的斜率kAB＝－b2x0a2y0.
(6)若M，N为椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)上关于原点对称的两个点，P是椭圆上不与M，N重合的点，则kPM·kPN＝－b2a2.
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆． ( × )
(3)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆． ( √ )
(4)x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)与y2a2+x2b2＝1(a＞b＞0)的焦距相同． ( √ )
2．若F1(－3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则点P的轨迹方程是( )
A．x225+y216＝1
B．x2100+y29＝1
C．y225+x216＝1
D．x225+y216＝1或y225+x216＝1
A 解析：设点P的坐标为(x，y)，因为|PF1|＋|PF2|＝10＞|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝a2-c2＝4，故点P的轨迹方程为x225+y216＝1.
3．已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋y2m＝1的焦点坐标为( )
A．(±3，0)
B．(0，±3)
C．(±3，0)或(±5，0)
D．(0，±3)或(±5，0)
B 解析：因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，即m＝4，所以椭圆x2＋y2m＝1即x2＋y24＝1的焦点坐标为(0，±3)．故选B．
4．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A．x25＋y2＝1
B．x24+y25＝1
C．x25＋y2＝1或x24+y25＝1
D．以上答案都不对
C 解析：直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，
由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，
所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为x25＋y2＝1.
当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，
所以a2＝5，所求椭圆标准方程为y25+x24＝1.
5．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P.若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )
A．22 B．2-12
C．2－2 D．2－1
D 解析：由题意可知，|PF2|＝2c，|PF1|＝22c.
因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以2c＋22c＝2a，
解得ca＝2－1.
考点1 椭圆的定义——基础性
1．圆A的半径为4，圆心为A(－1，0)，B(1，0)是圆A内一个定点，P是圆上任意一点，线段BP的垂直平分线与半径AP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为( )
A．x23+y24＝1 B． x2＋y2＝16
C．x24+y23＝1 D．(x＋1)2＋y2＝16
C 解析：如图，直线l为线段BP的垂直平分线，
所以连接BQ，由线段垂直平分线的性质得：BQ＝PQ，
而半径AP＝AQ＋PQ，且A，B两点为定点，
所以AQ＋BQ＝4>AB＝2，
所以由椭圆定义得点Q轨迹是以A，B两点为焦点的椭圆，且2a＝4，2c＝2，
所以a＝2，c＝1，所以b＝3，
所以椭圆方程为x24+y23＝1.故选C．
2．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22，过点F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为( )
A．x236+y218＝1 B．x216+y210＝1
C．x24+y22＝1 D．x216+y28＝1
D 解析：设椭圆的方程为x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，由e2＝c2a2＝1－b2a2＝12，得a2＝2b2.
根据椭圆的定义可知△ABF2的周长为4a，所以4a＝16，即a＝4，a2＝16，b2＝8，
则椭圆的标准方程为x216+y28＝1.
3．已知F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点．若△AF2B是边长为4的等边三角形，则椭圆C的方程为( )
A．x24+y23＝1 B．x29+y26＝1
C．x216+y24＝1 D．x216+y29＝1
B 解析：如图所示，
因为△ABF2是边长为4的等边三角形，
所以|AF2|＝4，|AF1|＝12|AB|＝2，所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝6，所以a＝3.
又因为|F1F2|＝2c＝AF22-AF12＝23，所以c＝3，则b2＝a2－c2＝6，
故椭圆C的方程为x29+y26＝1.故选B．
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．
(2)椭圆的定义常和余弦定理、正弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
考点2 椭圆的标准方程——综合性
(1)“－3＜m＜4”是“方程x24-m+y2m+3＝1表示椭圆”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B 解析：因为方程x24-m+y2m+3＝1表示椭圆的充要条件是4-m>0， m+3>0， 4-m≠m+3，
解得－3
A．x212+y23＝1 B．x28+y23＝1
C．x26+y23＝1 D．x24+y23＝1
D 解析：根据对称性知点P在x轴上，|OF|＝|FP|，故a＝2c，a2＝3＋c2，解得a＝2，c＝1，
故椭圆C的方程为x24+y23＝1.
本例(1)中椭圆的方程式变为x216-m+y2m-2＝1，若焦距为4，则m的值为________．
7或11 解析：在椭圆x216-m+y2m-2＝1中，由已知可得2c＝4，解得c＝2.
若椭圆的焦点在x轴上，可得16-m>0， m-2>0， 16-m-m-2=c2=4，解得m＝7；
若椭圆的焦点在y轴上，可得16-m>0， m-2>0， m-2-16-m=c2=4，解得m＝11.
因此，m＝7或11.
1．求椭圆标准方程的两种方法
(1)定义法：先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，并确定a2，b2的值，再结合焦点位置写出椭圆方程．特别地，利用定义法求椭圆方程要注意条件2a＞|F1F2|.
(2)待定系数法：利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．
2．椭圆的标准方程的两个应用
(1)方程x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)与x2a2+y2b2＝λ(λ＞0)有相同的离心率．
(2)与椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)共焦点的椭圆系方程为x2a2+k+y2b2+k＝1(a＞b＞0，b2＋k＞0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．
1．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为( )
A．x28+y26＝1 B．x216+y26＝1
C．x24+y22＝1 D．x28+y24＝1
A 解析：设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)．由点P(2，3)在椭圆上知4a2+3b2＝1.
又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，ca＝12.又c2＝a2－b2，联立4a2+3b2=1，c2=a2-b2，ca =12， 得a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为x28+y26＝1.
2．过点(3，－5)，且与椭圆y225+x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
y220+x24＝1 解析：(方法一)椭圆y225+x29＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝3-02+-5+42+3-02+-5-42，解得a＝25.
由c2＝a2－b2得b2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y220+x24＝1.
(方法二)因为所求椭圆与椭圆y225+x29＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为y2a2+x2b2＝1(a>b>0)．因为c2＝16，且c2＝a2－b2，所以a2－b2＝16.①
又点(3，－5)在所求椭圆上，所以-52a2+32b2＝1，即5a2+3b2＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y220+x24＝1.
考点3 椭圆的几何性质——应用性
考向1 求离心率(或范围)
(1)(2022·全国甲卷)椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为( )
A．32 B．22
C．12 D．13
A 解析：A(－a，0)，设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)，则kAP＝y1x1+a，kAQ＝y1-x1+a，故kAP·kAQ＝y1x1+a·y1-x1+a＝y12-x12+a2＝14.又x12a2+y12b2＝1，则y12＝b2a2-x12a2，所以b2a2-x12a2-x12+a2＝14，即b2a2＝14，所以椭圆C的离心率e＝ca＝1-b2a2＝32.故选A．
(2)(2022·青岛模拟)已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点．若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A．23，1 B．13，22
C．13，1 D．0，13
C 解析：如图所示，
因为线段PF1的中垂线经过点F2，
所以PF2＝F1F2＝2c，即椭圆上存在一点P，使得PF2＝2c.
所以2c≥a－c.所以e＝ca∈13，1.
求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．
考向2 与椭圆有关的最值问题
已知F(2，0)为椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点，过F且垂直于x轴的弦长为6.若A(－2，2)，点M为椭圆上任一点，则|MF|＋|MA|的最大值为________．
8＋2 解析：设椭圆的左焦点为F′，
由椭圆的右焦点为F(2，0)，得c＝2，又过F且垂直于x轴的弦长为6，即2b2a＝6，
则a2-c2a＝a2-4a＝3，解得a＝4，
所以|MF|＋|MA|＝8－|MF′|＋|MA|＝8＋|MA|－|MF′|，
当M，A，F′三点共线时，|MA|－|MF′|取得最大值，
(|MA|－|MF′|)max＝|AF′|＝2，
所以|MF|＋|MA|的最大值为8＋2.
椭圆的范围与最值问题
(1)在设椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，有|x|≤a，|y|≤b，可以把椭圆上某一点的坐标视为某一函数问题，进而求函数的单调区间、最值．
(2)椭圆上点到焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c；椭圆短轴端点与两焦点连线的夹角是椭圆上点与两焦点连线夹角的最大值．
1．已知F1，F2为椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左右焦点，在椭圆E上存在点P，满足PF2＝F1F2且F2到直线PF1的距离等于b，则椭圆E的离心率为( )
A．13 B．12
C．23 D．34
B 解析：由已知得PF2＝F1F2＝2c，
根据椭圆的定义可得PF1+PF2＝2a⇒PF1＝2a－2c.
又F2到直线PF1的距离等于b，即F2H＝b.
由等腰三角形三线合一的性质可得：F2H⊥PF1，可列方程：(a－c)2＋b2＝(2c)2⇒a2－ac－2c2＝0⇒(a－2c)(a＋c)＝0⇒a－2c＝0⇒e＝12.故选B．
2．设P是椭圆x225+y29＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为( )
A．9，12 B．8，11
C．8，12 D．10，12
C 解析：如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝10，易知|PM|＋|PN|＝(|PM|＋|MF1|)＋(|PN|＋|NF2|)－2，则其最小值为|PF1|＋|PF2|－2＝8，最大值为|PF1|＋|PF2|＋2＝12.
设椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，求离心率e的取值范围．
[四字程序]
读
想
算
思
在椭圆上存在点P，使得∠F1PF2为直角
1．在焦点三角形中可利用哪些性质或结论
2．离心率的表达式有哪些
构建点P的横坐标x与a，b，c的关系式，利用椭圆的有界性求解
转化与化归，函数与方程
求椭圆离心率e的取值范围
1．在焦点三角形中要注意应用：
①椭圆的定义．
②勾股定理或余弦定理．
③三角形的面积公式
2．e＝ca或e＝1-b2a2
x2＝a2c2-a2b2a2-b2
1．椭圆的有界性．
2．一元二次方程有实根的条件
思路参考：利用曲线范围．
解：设P(x，y)，又知F1(－c，0)，F2(c，0)，
则F1P＝(x＋c，y)，F2P＝(x－c，y)．
由∠F1PF2＝90°，知F1P⊥F2P，
则F1P·F2P＝0，
即(x＋c)(x－c)＋y2＝0，
得x2＋y2＝c2.
将这个方程与椭圆方程x2a2+y2b2＝1联立，
消去y，可得x2＝a2c2-a2b2a2-b2.
由椭圆的取值范围及∠F1PF2＝90°，
知0≤x2
所以e∈22，1.
思路参考：利用二次方程有实根．
解：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a⇒PF12+PF22＋2|PF1|·|PF2|＝4a2.
又由∠F1PF2＝90°，
知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
可得|PF1||PF2|＝2(a2－c2)．
因此，|PF1|与|PF2|是方程x2－2ax＋2(a2－c2)＝0的两个实根，
所以Δ＝4a2－8(a2－c2)≥0⇒e2＝c2a2≥12⇒e≥22.
所以e∈22，1.
思路参考：利用三角函数有界性．
解：记∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，由正弦定理有PF1sinβ＝PF2sinα＝F1F2sin90°，即PF1+PF2sinα+sinβ＝|F1F2|.
又|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，则有e＝ca＝1sinα+sinβ＝12sinα+β2cosα-β2＝12cosα-β2.
由0°≤|α－β|<90°，
知0°≤α-β2<45°，
所以22
思路参考：利用基本不等式．
解：由椭圆定义，有2a＝|PF1|＋|PF2|，平方后得4a2＝PF12+PF22+2|PF1|·|PF2|≤2(|PF1|2＋|PF2|2)＝2|F1F2|2＝8c2，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号，得c2a2≥12，所以e∈22，1.
思路参考：巧用图形的几何特性．
解：由∠F1PF2＝90°，知点P在以|F1F2|＝2c为直径的圆上．
又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P，
故有c≥b⇒c2≥b2＝a2－c2，
由此可得e∈22，1.
思路参考：双焦点最大张角．
解：设B1为上顶点，则双焦点最大张角为∠F1B1F2.
由已知∠F1B1F2≥90°，
所以∠OB1F2≥45°，
tan ∠OB1F2≥1，即cb≥1，c2≥b2，c2≥a2－c2，
得c2a2≥12，所以有e∈22，1.
1．本题考查椭圆离心率范围的求解，解题的基本策略是根据离心率的表达式，利用函数、方程、不等式求解，也可以利用椭圆图形的性质解决．
2．基于课程标准，解答本题一般要熟练掌握离心率的表达式和椭圆的几何性质，试题的解答体现了数学运算和逻辑推理的核心素养．
3．基于高考评价体系，本题通过椭圆性质的相互联系和转化，体现了基础性和综合性．
设A，B是椭圆C：x23+y2m＝1长轴的两个顶点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0，1]∪[9，＋∞)
B．(0，3]∪[9，＋∞)
C．(0，1]∪[4，＋∞)
D．(0，3]∪[4，＋∞)
A 解析：当0
图1
设M(x0，y0)，不妨设y0>0，A(－3，0)，B(3，0)．
则S△MAB＝3y0＝12|MA|·|MB|sin 23π＝34|MA|·|MB|，得|MA|·|MB|＝4y0.
AM＝(x0＋3，y0)，BM＝(x0－3，y0)，
故AM·BM＝x0+3x0-3+y02＝|AM|·|BM|cos 23π，
得x02-3+y02＝－2y0.
因为M(x0，y0)在椭圆上，
所以x023+y02m＝1，
得x02－3＝-3my02，
故-3my02+y02＝－2y0，
得y0＝2m3-m≤m，
解得0
图2
设M(x0，y0)，不妨设x0>0，
则A(0，－m)，B(0，m)，
S△MAB＝mx0＝12|MA|·|MB|sin 23π＝34|MA|·|MB|，|MA|·|MB|＝43m3x0，
AM＝(x0，y0＋m)，BM＝(x0，y0－m)，
所以AM·BM＝x02＋(y0＋m)(y0－m)＝|AM|·|BM|cos 23π，
解得x02+y02－m＝－23m3x0.
因为M(x0，y0)在椭圆上，
所以x023+y02m＝1，
得y02-m＝-m3x02，
故-m3x02+x02＝－23m3x0，
解得x0＝23mm-3≤3，
解得m≥9.
综上m≥9或0
课时质量评价(四十七)
A组 全考点巩固练
1．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，椭圆C的面积为23π，且短轴长为23，则椭圆C的标准方程为( )
A．x212＋y2＝1 B．x24+y23＝1
C．x23+y24＝1 D．x216+y23＝1
B 解析：由题意可得ab=23ππ，2b=23，解得a=2，b=3．
因为椭圆C的焦点在x轴上，所以椭圆C的标准方程为x24+y23＝1.
2．已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为22，则实数m等于( )
A．2 B．2或83
C．2或6 D．2或8
D 解析：显然m＞0且m≠4，当0＜m＜4时，椭圆长轴在x轴上，则1m-141m＝22，解得m＝2；当m＞4时，椭圆长轴在y轴上，则14-1m14＝22，解得m＝8.
3．(2023·烟台模拟)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上点P(x，y)到焦点F2的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为( )
A．12 B．32
C．23 D．2
A 解析：设椭圆的半焦距为c，由题意可得a+c=3，a-c=1，解得a＝2，c＝1，所以椭圆C的离心率e＝ca＝12，故选A．
4．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是( )
A．x264-y248＝1 B．x248+y264＝1
C．x248-y264＝1 D．x264+y248＝1
D 解析：设动圆的圆心M(x，y)，半径为r.因为圆M与圆C1：(x－4)2＋y2＝169内切，与圆C2：(x＋4)2＋y2＝9外切，所以|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r.
|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，由椭圆的定义，知点M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为16的椭圆，则a＝8，c＝4，所以b2＝82－42＝48，
所以动圆的圆心M的轨迹方程为x264+y248＝1.
5．已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为43，则椭圆C的方程为( )
A．x23+y22＝1 B．x23＋y2＝1
C．x212+y28＝1 D．x212+y24＝1
A 解析：若△AF1B的周长为43，由椭圆的定义可知，4a＝43，所以a＝3.因为e＝ca＝33，所以c＝1，所以b2＝2，所以椭圆C的方程为x23+y22＝1.故选A．
6．已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2.又离心率为22，则椭圆E的方程为________．
x28+y24＝1 解析：因为椭圆上一点到焦点的最小距离为a－c，
所以a－c＝22－2，离心率e＝22，
所以ca＝22，解得a＝22，c＝2，则b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆E的方程为x28+y24＝1.
7．已知点P(0，1)，椭圆x24＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足AP＝2PB，则当m＝______时，点B横坐标的绝对值最大．
5 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AP＝(－x1，1－y1)，PB＝(x2，y2－1)．由AP＝2PB，
得-x1=2x2， 1-y1=2y2-1，即x1=-2x2，y1=3-2y2.
因为点A，B在椭圆上，
所以4x224+3-2y22=m，x224+y22=m， 解得y2＝14m＋34，
所以x22＝m－(3－2y2)2＝－14m2＋52m－94＝－14(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.
8．已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，求椭圆C的离心率的最大值．
解：不妨设椭圆方程为x2a2+y2a2-1＝1(a>1)，
与直线l的方程联立x2a2+y2a2-1=1，y=x+3， 消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0.
由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥5，
所以e＝ca＝1a≤55，所以e的最大值为55.
B组 新高考培优练
9．(多选题)若椭圆C：x29+y2b2＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，则下列b的值，能使以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点的有( )
A．b＝2 B．b＝3
C．b＝2 D．b＝5
ABC 解析：以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，因为圆x2＋y2＝c2与椭圆C有公共点，所以c2≥b2，即9－b2≥b2，所以b2≤92，即0
A．49 B．23
C．59 D．53
D 解析：设P(x0，y0)，则y0x0+a×y0x0-a＝－49，化简得x02a2+y024a29＝1，
则b2a2＝49，e＝1-ba2＝1-49＝53.故选D．
11．已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的离心率为12，直线y＝kx与该椭圆交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于( )
A．±32 B．±23
C．±12 D．±2
A 解析：联立y=kx，x2a2+y2b2=1⇒(b2＋a2k2)x2＝a2b2，则x＝±abb2+a2k2，
由题意知abb2+a2k2＝c，①
因为e＝ca＝12，所以a＝2c，b＝a2-c2＝3c，
代入①可得12c43c2+4c2k2＝c2⇒k＝±32.
12．(多选题)设椭圆C：x22＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )
A．|PF1|＋|PF2|＝22
B．离心率e＝62
C．△PF1F2面积的最大值为2
D．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－2＝0相切
AD 解析：由椭圆C：x22＋y2＝1可知，a＝2，b＝1，c＝1，所以左、右焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，根据椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a＝22，故A正确；离心率e＝ca＝22，故B错误；所以△PF1F2面积的最大值为12×2c×b＝bc＝1，故C错误；由原点(0，0)到直线x＋y－2＝0的距离d＝212+12＝1＝c，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－2＝0相切，故D正确．故选AD．
13．(2023·泰安质检)如图，F1，F2是平面上两点，|F1F2|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径依次是1，2，3，…，点A，B，C分别是其中两圆的公共点．请写出一个圆锥曲线的离心率的值为________，使得此圆锥曲线可以同时满足：
①以F1，F2为焦点；②恰经过A，B，C中的两点．
5或56(答案不唯一) 解析：因为|F1F2|＝2c＝10，若过A，C两点，则由题意得|AF1|＋|AF2|＝|CF1|＋|CF2|＝12，此时离心率e＝ca＝2c2a＝1012＝56；若过B，C两点，则由题意得|BF2|－|BF1|＝|CF1|－|CF2|＝2，此时离心率e＝ca＝2c2a＝102＝5.
14．过椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则椭圆C的离心率的取值范围是________．
0，55 解析：由题设知，直线l：x-c+yb＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c，0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±b2a，即圆的半径r＝b2a.又圆与直线l有公共点，所以2bcb2+c2≤b2a，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝ca≤55.又0＜e＜1，所以0＜e≤55.
15．(2022·江苏质检)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，焦距为23.
(1)求C的方程；
(2)若斜率为－12的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P，Q均在第一象限)，O为坐标原点．证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．
(1)解：由题意可得ca=32， 2c=23，解得a=2， c=3，
又b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.
(2)证明：设直线l的方程为y＝－12x＋m，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由y=-12x+m，x24+y2=1，消去y，得x2－2mx＋2(m2－1)＝0，
则Δ＝4m2－8(m2－1)＝4(2－m2)>0，且x1＋x2＝2m>0，x1x2＝2(m2－1)>0，
故y1y2＝-12x1+m-12x2+m
＝14x1x2－12m(x1＋x2)＋m2＝m2-12，
kOPkOQ＝y1y2x1x2＝m2-122m2-1＝14＝kPQ2，
即直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．
相关学案
高考数学一轮复习第8章第6课时直线与椭圆学案： 这是一份高考数学一轮复习第8章第6课时直线与椭圆学案，共28页。
高考数学一轮复习第8章第5课时椭圆及其性质学案： 这是一份高考数学一轮复习第8章第5课时椭圆及其性质学案，共27页。
高考数学一轮复习第8章第5节椭圆学案： 这是一份高考数学一轮复习第8章第5节椭圆学案，共17页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
