人教版高考数学一轮复习第9章解析几何第1节直线与直线方程学案理含解析

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第一节　直线与直线方程[最新考纲][考情分析][核心素养]1.在平面直角坐标系中，能结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.　　直线方程的综合应用仍是2021年高考考查的热点，题型为选择题、填空题、解答题，分值为5～12分.数学运算‖知识梳理‖1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan_α.(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝．►常用结论1．直线倾斜角的范围是[0，π)，包括0不包括π.当直线与x轴平行或重合时，易错误地认为倾斜角为π，事实上为0.2．由直线的斜率k，求倾斜角的范围时，要注意在[0，π)上，k＝tan α的图象是不连续的．如由－≤k≤，得α∈∪.3．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是y2－y1，那么分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，那么分母必须是x1－x2.3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式＝不含直线x＝x1(x1≠x2) 和直线y＝y1(y1≠y2)截距式＋＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面内所有直线都适用►常用结论1．截距不是距离，它可正可负也可为零．2．使用点斜式、斜截式时一定要注意判断斜率是否存在．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　)(2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.(　　)(3)直线的倾斜角越大，斜率k就越大．(　　)(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√二、走进教材2．(必修2P89B5改编)若过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为____________．答案：12x－y－18＝03．(必修2P100A9改编)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________________．答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0三、易错自纠4．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　)A．1 B．－1C．－2或－1 D．－2或1解析：选D　由题意可知a≠0.当x＝0时，y＝a＋2；当y＝0时，x＝.∴＝a＋2，解得a＝－2或a＝1.5．(2019届西安质检)直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．解析：直线l的方程可变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，由解得x＝2，y＝－2，所以直线l恒过定点(2，－2)．答案：(2，－2)6．(2019届泰安模拟)过点(5，10)且到原点的距离是5的直线的方程为________________．解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.故所求直线方程为x－y＋10＝，即3x－4y＋25＝0.综上可知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.答案：x－5＝0或3x－4y＋25＝0|题组突破|1．直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是(　　)A．[0，π) B．∪C． D．∪解析：选B　设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，又－sin α∈[－1，1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ<π.2．已知直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是__________________．解析：如图，因为kAP＝＝1，kBP＝＝－，所以直线l的斜率k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－ ]∪[1，＋∞)3．若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m＝________．解析：由题意，得k＝＝1，解得m＝1.答案：1►名师点津斜率取值范围的2种求法数形结合法作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定函数图象法根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可【例】　(1)求过点A(1，3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程；(2)求经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．[解]　(1)设所求直线的斜率为k，依题意，得k＝－4×＝－.又直线经过点A(1，3)，所以所求直线方程为y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，将(－5，2)代入所设方程，得＋＝1，解得a＝－，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，将(－5，2)代入所设方程，得2＝－5k，解得k＝－，所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.►名师点津直线方程求法中2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．|跟踪训练|设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．解：(1)∵当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为零，∴a＝2，∴方程为3x＋y＝0；当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，∴＝a－2，即a＋1＝1，解得a＝0，∴方程为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，∴或解得a≤－1.综上可知，a的取值范围是{a|a≤－1}．直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．【例】　(2019届重庆巴蜀中学模拟)已知曲线y＝在点P(2，4)处的切线与直线l平行且距离为2，则直线l的方程为(　　)A．2x＋y＋2＝0B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0C．2x－y－18＝0D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0[解析]　y′＝＝－，当x＝2时，y′＝－＝－2，因此kl＝－2.设直线l的方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，由题意知＝2，解得b＝18或b＝－2，所以直线l的方程为2x＋y－18＝0或2x＋y＋2＝0.故选B．[答案]　B►名师点津处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．|跟踪训练|(2019届沈阳模拟)若直线l：＋＝1(a>0，b>0)经过点(1，2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是________．解析：∵直线l：＋＝1(a>0，b>0)经过点(1，2)，∴＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当b＝a时等号成立．∴直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值为3＋2.答案：3＋2