高考数学一轮复习第7章第3节等比数列学案

这是一份高考数学一轮复习第7章第3节等比数列学案，共14页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第三节　等比数列
考试要求：1．理解等比数列的概念及通项公式的意义．
2．探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．
3．能在具体的问题情境中，发现等比关系，并解决相应的问题．体会等比数列与指数函数的关系．

一、教材概念·结论·性质重现
1．等比数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)．定义的递推公式为＝q(常数)．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab．

(1)注意：①等比数列的每一项都不可能为0．
②公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与n无关的常数．
(2)“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1．
(2)前n项和公式：


(1)等比数列通项公式与指数函数的关系
等比数列{an}的图象是指数型函数y＝·qx的图象上一些孤立的点．
(2)求等比数列前n项和时要对公比q是否等于1进行分类讨论．
3．等比数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)．
(2)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq．
特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a．
(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)(m∈N*，公比q≠－1或q＝－1，m为奇数)．
(4)数列{an}是等比数列，则数列{pan}(p≠0，p是常数)也是等比数列．
(5)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk．
4．等比数列{an}的单调性
满足的条件
单调性
或
{an}是递增数列
或
{an}是递减数列

{an}是常数列
q0，an＋1＝(n∈N*)，且a1＝．
(1)求证：是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Tn．
(1)证明：记bn＝－1，
则＝＝＝＝．
又b1＝－1＝－1＝，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以－1＝·，即an＝，
所以数列{an}的通项公式为an＝．
(2)解：由(1)知，－1＝·，
即＝·＋1．
所以数列的前n项和Tn＝＋n＝＋n．

拓展考点　构造法解答数列问题
对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习的方法以外，根据所给递推公式的特点，还有以下几种构造方式．
构造法1　形如an＋1＝can＋d(c≠0，其中a1＝a)型
(1)若c＝1，数列{an}为等差数列．
(2)若d＝0，数列{an}为等比数列．
(3)若c≠1且d≠0，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．
方法如下：设an＋1＋λ＝c(an＋λ)，得an＋1＝can＋(c－1)λ，与题设an＋1＝can＋d比较系数得λ＝(c≠1)，
所以an＋＝c(n≥2)，
即构成以a1＋为首项，以c为公比的等比数列．

在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝3an＋2，则通项an＝________．
2·3n－1－1　解析：因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)．又a1＝1，所以a1＋1＝2，故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，所以an＋1＝2·3n－1，所以an＝2·3n－1－1．
构造法2　形如an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0,1，q≠0)型
an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0,1，q≠0)的求解方法是两端同时除以pn＋1，即得－＝q，则数列为等差数列．

(1)已知正项数列{an}满足a1＝4，an＋1＝2an＋2n＋1，则an等于(　　)
A．n·2n－1 B．(n＋1)·2n
C．n·2n＋1 D．(n－1)·2n
B　解析：因为an＋1＝2an＋2n＋1，所以＝＋1，即－＝1．又＝＝2，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，所以an＝(n＋1)2n．
(2)已知在正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项an等于(　　)
A．－3×2n－1 B．3×2n－1
C．5n＋3×2n－1 D．5n－3×2n－1
D　解析：在递推公式an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n＋1，得＝×＋．①令bn＝，则①变为bn＋1＝bn＋，所以bn＋1－1＝(bn－1)，所以数列{bn－1}是首项为－，公比为的等比数列，所以bn－1＝×，则bn＝1－×n－1，所以＝1－×，所以an＝5n－3×2n－1．
构造法3　相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1，其中a1＝a，a2＝b型)
可化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两根．

在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1＋an，求数列{an}的通项公式．
解：由an＋2＝an＋1＋an可得，
an＋2－an＋1＝－(an＋1－an)，
所以数列{an＋1－an}是首项为1，公比为－的等比数列．
当n≥2时，a2－a1＝1，a3－a2＝－，
a4－a3＝，…，an－an－1＝，
将上面的式子相加可得an－1＝1＋＋＋…＋
，
从而可求得an＝2＋＋＋…＋，
故有an＝＋×，n≥2．
又a1＝1满足上式，所以an＝＋×．
构造法4　倒数为特殊数列(形如an＝型)

已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求数列{an}的通项公式．
解：因为an＋1＝，a1＝1，
所以an≠0，所以＝＋，即－＝．
又a1＝1，则＝1，所以是以1为首项，为公差的等差数列，
所以＝＋(n－1)×＝＋，
所以an＝(n∈N*)．


已知等比数列{an}的前n项和为Sn．若S10＝20，S20＝60，则S30＝________．
[四字程序]
读
想
算
思
求S30
1．求和公式．
2．如何确定首项与公比
等比数列的基本运算
转化与化归
等比数列，S10＝20，S20＝60
1．基本量法．
2．性质法
1．列方程组求基本量．
2．利用性质直接求解
1．求和公式．
2．通项公式．
3．和的性质


思路参考：用a1，q表示S10，S20，求q10．
140　解析：设数列{an}的公比为q．因为S20≠2S10，所以q≠1．
又S10＝20，S20＝60，
所以
两式相除得q10＝2，
所以S30＝S10＋q10S20＝20＋2×60＝140．

思路参考：利用性质＝．
140　解析：由S10＝20，S20＝60，易得公比q≠±1．
根据等比数列前n项和的性质，可得＝，即＝＝1＋q10，解得q10＝2．
又＝，所以＝＝7，S30＝140．

思路参考：利用性质Sn＋m＝Sn＋qnSm．
140　解析：根据等比数列前n项和的性质，可得S20＝S10＋q10S10，即60＝20＋20q10，解得q10＝2，
所以S30＝S10＋q10S20＝20＋2×60＝140．

思路参考：利用性质Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．
140　解析：根据等比数列前n项和的性质，可知S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，
则(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，
即(60－20)2＝20(S30－60)，解得S30＝140．

1．本题考查等比数列的求和问题，解法灵活多变，基本解题策略是借助等比数列的基本量计算，或转化为等比数列和的性质求解，对于此类问题要注意认真计算或转化．
2．基于课程标准，解答本题一般需要具备良好的运算求解能力、推理能力和转化能力．本题的解答体现了逻辑推理、数学运算的核心素养，试题的解答过程展现了数学方法多样化的魅力．
3．基于高考数学评价体系，本题条件明确简单，通过知识之间的联系和转化，将数列求和转化为熟悉的数学模型．本题可以从不同的角度解答，体现了基础性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性．

等比数列{an}中，Sn表示数列{an}的前n项和，a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q为__________．
3　解析：由a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，
得a4－a3＝2(S3－S2)＝2a3，
所以a4＝3a3，所以q＝＝3．