2023届中考数学热点题型突破 专题三 线段最值

专题三 线段最值

1.如图，正方形OACB的边长为4，点P是以点O为圆心，2为半径的圆上的一动点，则的最小值为(   )

A.6 B. C. D.

2.如图,在中,,AD平分,E,F分别为线段AD,AC上的动点,其中,,,则的最小值为(   )

A. B. C.10 D.80

3.如图，在四边形中，，，面积为21，的垂直平分线分别交，于点M，N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为(   )

A.5 B.6 C.7 D.8

4.中，，，，P为BC边上一动点，过线段AP上的点M作，交边AB于点D，交边AC于点E，点N为DE中点，若四边形ADPE的面积为18，则AN的最大值=______.

5.如图, 正方形的边长为 3 , 点E,H,F分别在边,,上, 且, , , 将沿折叠, 点D落在正方形内一点M, N为线段上一动点, 过点N作交于点P, 则的长为           ，的最小值为           .

6.如图，在平面直角坐标系xoy中，点，点A是x轴正半轴上的动点，以AB为边在第一象限作矩形ABCD，矩形ABCD的面积为24，则OC的最大值为___________.

7.课本再现

(1)我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题，同时也可以利用平行四边形研究三角形的有关问题，如探究三角形中位线的性质.

如图(1)，在中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE.则DE与BC的关系是____________.

定理证明

(2)请根据(1)中内容结合图(1)，写出(1)中结论的证明过程.

定理应用

(3)如图(2)，在四边形ABCD中，点M，N，P分别为AD，BC，BD的中点，BA，CD的延长线交于点E.若，则的度数是__________.

(4)如图(3)，在矩形ABCD中，，，点E在边AB上，且.将线段AE绕点A旋转一定的角度，得到线段AF，点M是线段CF的中点，求旋转过程中线段BM长的最大值和最小值.

8.如图,AB是半圆形量角器的直径,点O为半圆的圆心,DA与半圆O相切于点A,点P在半圆上,且点P对应的示数为(),点C是上一点(不与点P重合).连接DO交半圆O于点E,点E对应的示数为60°(120°).

（1）连接PC,AC,求的度数;

（2）连接AP,PB,求证:;

（3）已知半圆O的半径是3,若直径AB上存在一点M,使得的值最小,请直接写出的最小值.

9.如图，AB是的直径，点C在上，.

(1)利用尺规作出的中点D(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)在(1)的条件下，若，P为直径AB上一动点，求的最小值.

答案以及解析

1.答案：D

解析：设OA与交于点D，取OD的中点E，连接EB，EB交于点P，连接OP，AP，如图所示.

，，，

.

又，

，，，

.两点之间线段最短，

点E，P，B三点共线时，的值最小，最小值为线段EB的长.

，，，

的最小值为.故选D.

2.答案：A

解析:如图,过点C作,交于,过点作于点,过点D作于点H,作F关于AD的对称点,连接,

AD平分,

,

E,F分别为线段AD,AC上的动点,

当E,F分别与点,重合时,取得最小值,最小值为CG的长

又

最小值为

故选A

3.答案：C

解析：连接AQ，过点D作，

，面积为21，

，

，

MN垂直平分AB，

，

，

当AQ的值最小时，的值最小，根据垂线段最短可知，当时，AQ的值最小，

，

，

的值最小值为7；

故选C.

4.答案：

解析：四边形ADPE的面积为18，，

，即，

在中，，，，

，

点N为DE中点，

，

DE最大时，AN最大，

，

AP最小时，DE最大，即时，AP最小，

，

，

.

故答案为.

5.答案： ；

解析：

设

在中，

与关于轴对称

过D作的垂线交于N,交于P，D到的垂线段的长就是的最小值

最小值为

6.答案：8

解析：如图，过点B作轴，交CD于点E，作轴于点F，连接AE，

轴，

，

，

四边形OBEF是矩形，

四边形ABCD是矩形，矩形ABCD的面积为24，

，，

，是直角三角形，

，

点，

，

，，

点E的坐标是，

取BE的中点为M，连接OM，CM，

是直角三角形，

，

在中，，，

，

点A是x轴正半轴上的动点，

点C也是动点，

，

当点O，C，M三点共线时，OC取最大值，

的最大值为8.

故答案为：8.

7.答案：(1)且

(2)证明见解析

(3)

(4)BM长的最大值为4，最小值为1

解析：(1)略

(2)证明：如图(1)，延长DE至点F，使，连接CF.

又，，

，

，，

.

，，

，

四边形DBCF为平行四边形，

，，

，.

(3)点M，P分别为AD，BD的中点，

，

.

点N，P分别为BC，BD的中点，

，，

.

(4)如图(2)，延长CB至点H，使，连接FH，AH.

，，

.

由勾股定理得，.

，，

，

点F在以点A为圆心，3为半径的圆上(不与点E重合)，

当点F在线段AH上时，FH最小，最小值为；

当点F在线段HA的延长线上时，FH最大，最大值为.

故BM长的最大值为4，最小值为1.

8.答案：（1）解:连接OP,

由题意得:.

,

;

（2）连接OP,AE,

由题意得:,,

,

和为等边三角形

,

,

为圆的直径,

与半圆O相切于点A,

在和中,

,

(ASA)

（3）的最小值为6.

作点E关于AB的对称点E′,连接OE′,

则OA垂直平分线段,,,,,,,O,P三点在一条直线上,

当点M与点O重合时,使得的值最小,

的最小值.

解析:略

9.答案：(1)见解析

(2)的最小值为

解析：(1)作法不唯一.如图(1)或图(2)所示.

(2)如图(3)，过点D作，交于另一点，则点D与点关于AB对称.

连接交AB于点P，此时的值最小，最小值为的长.

连接，，.

，

.

又点D是的中点，

，

.

，，

，即的最小值为.