2023届中考数学热点题型突破 专题二 二次函数的综合

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专题二 二次函数的综合 题型1 二次函数与线段最值问题1.在平面直角坐标系中, 点B 的坐标为, 将抛物线向左平移 2 个单位长度后的 顶点记为A. 若点P 是x 轴上一动点, 则 的最小值是(   )A. 8 B.  C. 9 D. 2.如图, 抛物线 与x 轴正半轴交于点A, 与y 轴交于点B.(1)求直线AB 的解析式及抛物线顶点坐标;(2)点 P为第四象限内且在对称轴右侧抛物线上一动点, 过点 P作 轴, 垂足为C,PC 交AB 于 点D, 求 的最大值, 并求出此时点P 的坐标;(3)将抛物线 向左平移n 个单位长度得到抛物线, 若抛物线与直线AB 只有一个交点, 求n 的值.3.已知:如图,二次函数与x轴交于点A,B,点A在点B左侧,交y轴于点C,.（1）求抛物线的解析式;（2）在第一象限的抛物线上有一点D,连接AD,若,求点D坐标;（3）点P在第一象限的抛物线上,于点Q,求PQ的最大值?题型2 二次函数与图形面积问题4.如图，抛物线与x轴的两个交点坐标为、.(1)求抛物线的函数表达式；(2)矩形的顶点P，Q在x轴上(P，Q不与A，B重合)，另两个顶点M，N在抛物线上(如图).①当点P在什么位置时，矩形周长最大？求这个最大值并写出点P的坐标；②判断命题“当矩形周长最大时，其面积最大”的真假，并说明理由.5.在平面直角坐标系xOy 中, 已知抛物线 经过 ,两点. P是抛物线上一点, 且 在直线AB 的上方.(1)请直接写出抛物线的解析式.(2)若 面积是 面积的 2 倍, 求点P 的坐标.(3)如图, OP交 AB于点 C,交AB 于点D. 记 ,,的面积分别为,,. 判断 是否存在最大值. 若存在, 求出最大值; 若不存在, 请说明理由.6.已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且，.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上位于直线BC上方的一点，连结PB、PC.①如图1，过点P作轴交BC于点D，交x轴于点E，连结OD.设的面积为，的面积为，若，求S的最大值；②如图2，已知，Q为平面内一点，若以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以CP为边的平行四边形，求点Q的坐标.题型3 二次函数与图形判定问题7.如图，已知二次函数(b，c为常数)的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC.(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向下平移m()个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部(不包括的边界)，求m的取值范围；(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程).8.如图, 已知点, 以点D 为顶点的抛物线 经过点A, 且与直线 交于点B,.(1)求抛物线的表达式和点D 的坐标.(2)在对称轴上存在一点M, 使得, 求出点M 的坐标.(3)已知点P 为抛物线对称轴上一点, 点Q 为平面内一点, 是否存在以P,B,C,Q 为顶点的四边形是 菱形的情形? 若存在, 直接写出点P 的坐标; 若不存在, 请说明理由.9.如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在线段OB上运动时，直线l交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；(3)点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
答案以及解析1.答案：D解析：，平移后抛物线的解析式为 , 点 A的坐标为. 如图, 作点A 关于 x轴对称的点 连接 交x 轴于点P 则此时 有最小值，最小值为 的长，易知，，的最小值 是.2.答案： (1) (2) (3)解析： (1)对于,令, 则, 解得，,.令, 则,.设直线 AB的解析式为,则 解得直线AB 的解析式为.抛物线顶点坐标为.(2)如图, 过点D 作 轴于点E, 则.，,.设点P 的坐标为,则点D 的坐标为，.，又，当 时, 的值最大, 最大值为, 此时,此时点P 的坐标为.(3)设抛物线的解析式为. 令,整理, 得,3.答案：（1）（2）（3）解析:（1）当时,,解得,,,.,,,抛物线的解析式为;（2）如图,作于E,,,设,则,,,解得,,,;（3）如图,作轴,交BC于F,则,,,,,由,可知,直线BC的解析式为,设,则,,,时,PF的最大值为,的最大值为.4.答案：(1)(2)①Р在时，矩形的周长最大，最大值为10；②命题是假命题解析：(1)解：将、代入中得，解得，抛物线的函数表达式为，(2)解：抛物线的对称轴为，设点，则，①P，Q关于对称，，则，矩形的周长为，当时，l的值最大，最大值为10，即Р在时，矩形的周长最大，最大值为10.②假命题.由①可知，当矩形周长最大时，长为3，宽为2，面积为6，当为正方形时，，解得，点Р的坐标为，点Q的坐标为，，正方形的面积；故命题是假命题.5.答案： (1)(2) 或(3) 存在，解析：(1)将 ，分别代入, 得 解得所以抛物线的解析式为.(2)设直线AB 的解析式为, 将 ，分别代入, 得 解得 所以直线AB 的解析式为. 如图 (1), 过点P 作 轴, 垂足为M,PM 交AB于 点N, 过点B 作, 垂足为E,所以因为，, 所以. 因为 的面积是 面积的 2 倍, 所以, 所以.设,则,所以, 即,解得，,所以点P 的坐标为 或.(3) 存在.因为, 所以，, 所以,所以.因为，,所以.设直线 AB交y 轴于点F, 则.如图 (2), 过点P 作 轴, 垂足为H,PH 交 AB于 点G.因为, 所以.因为, 所以,所以,所以.设.由 (2) 可得,所以 .又,所以当 时, 的值最大, 最大值为.6.答案：(1)(2)见解析①6②或解析：(1)由题意，得，，此抛物线的解析式为：.(2)①由可得：设直线BC的解析式为：，则，，直线BC的解析式为：，设，则，，，当时，S的最大值为6.②在OB上截取，则，，又，，，，，运用待定系数法法可求：直线CF的解析式为：，直线BP的解析式为：，，解得或4，，，轴，ACPQ是以CP为边构成平行四边形，，点Q在x轴上，或.7.答案：(1)二次函数解析式为；点M的坐标为(2)(3)，，，解析：(1)把点，点代入二次函数得，，解得，二次函数解析式为，配方得，点M的坐标为；(2)设直线AC解析式为，把点，代入得，，解得，直线AC的解析式为，如图所示，对称轴直线与两边分别交于点E、点F.把代入直线AC解析式解得，则点E坐标为，点F坐标为，，解得；(3)连接MC，作轴并延长交AC于点N，则点G坐标为，，，，把代入解得，则点N坐标为，，，，，由此可知，若点P在AC上，则，则点D与点C必为相似三角形对应点①若有，则有，，，，，，若点P在y轴右侧，作轴，，，，把代入，解得，；同理可得，若点P在y轴左侧，则把代入，解得，；②若有，则有，，，若点P在y轴右侧，把代入，解得；若点P在y轴左侧，把代入，解得；；.所有符合题意得点P坐标有4个，分别为，，，.8.答案： (1) (2)(3)存在, 点P的坐标为，, ， 或解析： (1) 将 代入, 得,将 ，分别代入, 得 解得 故抛物线的表达式为.抛物线的顶点D 的坐标为.(2)易知抛物线的对称轴为直线, 且点A,C 关于 对称轴对称.作直线AB, 交直线 于点M, 则点 M即为所求.令,解得,,故.设直线AB 的表达式为,将 ，分别代入, 得 解得 故直线AB 的表达式为, 当 时, , 故.(3)设,易得 ，①当 时,该四边形是以BC 为对角线的菱形, 则, 即, 解得,点P 的坐标为.②当 时,该四边形是以PC 为对角线的菱形, 则, 即, 解得, 故点P 的坐标为 或.③当 时,该四边形是以 PB为对角线的菱形, 则, 即, 解得,故点P 的坐标为 或.综上可知, 点P 的坐标为，,，或9.答案：(1)(2)当时，四边形CQMD是平行四边形(3)点Q的坐标为或解析：(1)设抛物线的解析式为，把点的坐标代入，得，解得抛物线的解析式为，即.(2)点D与点C关于x轴对称，点，，设直线BD的表达式为，把，代入得，，解得，直线BD的关系表达式为，设，，，，当时，四边形CQMD为平行四边形，，解得，(不合舍去)，故当时，四边形CQMD是平行四边形；(3)在中，，，，当以点B、M为顶点的三角形与相似时，分三种情况：①若时，，如图1所示，当时，，即，，，，，，解得，，(不合舍去)，，，，，点Q的坐标为；②若时，如图2所示，此时点P、Q与点A重合，，③由于点M在直线BD上，因此，这种情况不存在，综上所述，点Q的坐标为或.