初中数学中考复习 专题40 几何最值之隐形圆问题【热点专题】（解析版）

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    模型一：定点定长作圆模型探究：如图，在平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则动点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆．【推广】在折叠或旋转问题中，有时会利用“定点定长作圆”模型确定动点的运动轨迹．模型二：定弦定角作圆模型探究：若已知定弦AB，定角∠C，要确定顶点C的运动轨迹，需分三种情况：（1）如图①，在⊙O中，当∠C＜90°时，点C的轨迹为优弧；（2）如图②，在⊙O中，当∠C＝90°时，点C的轨迹为半圆；（3）如图③，在⊙O中，当∠C＞90°时，点C的运动轨迹为劣弧 .             图①            图②             图③常见张角计算(关键定圆心)：   模型三：四点共圆（1）如图①、②，共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都有A、B、C、D四点共圆（2）               图③               图④（2）如图③ 若∠A+∠C=180° ，则A、B、C、D四点共圆.              如图④ 固定线段AB同侧若∠P=∠C ，则A、B、C、P四点共圆.     【例1】如图，是矩形内一点，，，，则当线段最短时，　　．【分析】因为，则点在为直径的半圆上，当点为的中点与点连线与半圆的交点时，最短，求出此时的长度便可．【解答】解：以为直径作半圆，连接，与半圆交于点，当点与重合时，最短，则，，，，，，过作于点，则，，．故答案为：．【例2】如图，已知的半径为，点为直径延长线上一点，．过点任作一直线，若上总存在点，使过所作的的两切线互相垂直，则的最大值等于　　．【分析】根据切线的性质和已知条件先证得四边形是正方形，从而求得，以为圆心，以长为半径作大圆，然后过点作大的切线，切点即为点，此时有最大值，作出图形，根据切线的性质得出，根据勾股定理求得的长，从而证得是等腰直角三角形，即可证得的最大值为．【解答】解：、是过所作的的两切线且互相垂直，，四边形是正方形，根据勾股定理求得，点在以为圆心，以长为半径作大圆上，以为圆心，以长为半径作大圆，然后过点作大的切线，切点即为点，此时有最大值，如图所示，是大圆的切线，，，，，，，的最大值等于，故答案为．【例3】如图，是的内接三角形，且是的直径，点为上的动点，且，的半径为6，则点到距离的最大值是　　．【分析】过作于，延长交于，则此时，点到距离的最大，且点到距离的最大值，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过作于，延长交于，则此时，点到的距离最大，且点到距离的最大值，，，的半径为6，，，，则点到距离的最大值是，故答案为：．【例4】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（       ）A．2 B．π C．2π D．π解：如图，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD⊥AB，∴∠ADE＝∠CDF＝90°，CD＝AD＝DB，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠DAE＝∠DCF，∵∠AED＝∠CEG，∴∠ADE＝∠CGE＝90°，∴A、C、G、D四点共圆，∴点G的运动轨迹为弧CD，∵AB＝4，ABAC，∴AC＝2，∴OA＝OC，∵DA＝DC，OA＝OC，∴DO⊥AC，∴∠DOC＝90°，∴点G的运动轨迹的长为π．故选：D．   1．如图，等边的边长为2，的半径为1，是上的动点，与相切于，的最小值是　　A．1 B． C． D．2【分析】连接，，作于，因为与相切于，所以，可得，当与重合时，最小，此时最小，求出的长，即可得出的最小值．【解答】解：如图，连接，，作于，与相切于，，的半径为1，，当与重合时，最小，等边的边长为2，，，的最小值为：．故选：．2．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（     ）A．1 B． C．2 D．【分析】由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM−ME′．如图，由题意知，，在以为直径的的上（不含点、可含点，最短时，即为连接与的交点（图中点点），在中，，，则．，长度的最小值，故选：．3．如图，在中，弦，点在上移动，连接，过点作交于点，则的最大值为　　．【分析】连接，如图，利用勾股定理得到，利用垂线段最短得到当时，最小，再求出即可．【解答】解：连接，如图，，，，当的值最小时，的值最大，而时，最小，此时、两点重合，，即的最大值为，故答案为：．4．如图点是半圆上一个三等分点（靠近点这一侧），点是弧的中点，点是直径上的一个动点，若半径为3，则的最小值为　　．【分析】作点关于的对称点，连接、、，交于，如图，利用两点之间线段最短得到此时的值最小，先确定，则确定，则可判断为等腰直角三角形，所以，从而得到的最小值．【解答】解：作点关于的对称点，连接、、，交于，如图，，，此时的值最小，点是半圆上一个三等分点，，点是弧的中点，，，为等腰直角三角形，，的最小值为．故答案为．5．如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是　　．【分析】如图，延长交于，当时，点到的距离最小，利用，得到求出即可解决问题．解：如图，延长交于，当时，点到的距离最小．（点在以为圆心为半径的圆上，当时，点到的距离最小），，，，，，，，，，，，点到边距离的最小值是1.2．故答案为1.2．6．已知点是圆心为坐标原点且半径为3的圆上的动点，经过点作直线轴，点是直线上的动点，若，则的面积的最大值为　　．【分析】当是的切线时，最长，则最长，故的面积的最大，连接，根据切线的性质和已知条件得出是等腰直角三角形，利用勾股定理确定，进而求得，根据三角形面积公式即可求得．【解答】解：当是的切线时，最长，则最长，故的面积的最大，连接，是的切线，，，是等腰直角三角形，，，在中，，的面积的最大值为，故答案为．7．如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、．（1）求证：点为的中点；（2）若，，求的长；（3）若的半径为2，，点是线段上任意一点，试求出的最小值．【分析】（1）利用圆周角定理得到，再证明，然后根据垂径定理得到点为的中点；（2）证明为的中位线得到，然后计算即可；（3）作点关于的对称点，交于，连接，如图，利用两点之间线段最短得到此时的值最小，再计算出，作于，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的最小值．【解答】（1）证明：是的直径，，，，，，即点为的中点． （2）解：，，而，为的中位线，，． （3）解：作点关于的对称点，交于，连接，如图，，，此时的值最小，，，，点和点关于对称，，，作于，则，，在中，，，，的最小值为．8．如图，已知点，，在抛物线上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线上方的抛物线上求一点，使面积为1；（3）在轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点，使？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）设抛物线的解析式为，将代入求得的值即可；（2）过点作，交与点，先求得直线的解析式为，设点，则，然后可得到与之间的关系式，接下来，依据的面积为1列方程求解即可；（3）首先依据点和点的坐标可得到，设外接圆圆心为，则，设的半径为，则中，依据勾股定理可求得的半径，然后依据外心的性质可得到点为直线与的交点，从而可求得点的坐标，然后由点的坐标以及的半径可得到点的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，将代入得，解得：，抛物线的解析式为． （2）过点作，交于点．设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为．设点，则，．又，，整理得：，解得：或，点的坐标为或． （3）存在．，，．，点为外接圆与抛物线对称轴在轴下方的交点． 设外接圆圆心为，则．设的半径为，则中，由勾股定理可知，即，解得：（负值已舍去），的垂直平分线的为直线，的垂直平分线为直线，点为直线与的交点，即，的坐标为．