2022-2023学年贵州省遵义市红花岗区部分学校高二下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年贵州省遵义市红花岗区部分学校高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解一元二次不等式求集合A，解一元一次不等式求集合B，应用集合交运算求.

【详解】由题意，得或，

所以.

故选：A

2．复数在复平面上对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】利用复数的除法求出复数的代数形式，进而可得其在复平面上对应的点的位置.

【详解】，

其在复平面上对应的点为，在第四象限.

故选：D.

3．直线与直线垂直，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用平面内两直线垂直，得，解之即可．

【详解】因为直线与直线垂直，

所以，解得.

故选：B

4．已知函数f（x）在处的导数为12，则（    ）

A．-4 B．4 C．-36 D．36

【答案】B

【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可.

【详解】根据题意，函数在处的导数，

则，

故选：B

5．《张丘建算经》曾有类似记载：“今有女子善织布，逐日织布同数递增（即每天增加的数量相同）.”若该女子第二天织布一尺五寸，前十五日共织布六十尺，按此速度，该女子第二十日织布（    ）

A．七尺五寸 B．八尺 C．八尺五寸 D．九尺

【答案】D

【分析】利用等差数列求和公式和通项公式可求得公差，进而得到即可.

【详解】由题意知：该女子每天织布的尺寸成等差数列，记为，其前项和为，则，，

，，

数列的公差，，

即该女子第二十日织布九尺.

故选：D.

6．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】C

【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】对于A，若，，则平行，相交或异面，故A错误；

对于B，若，，则相交或平行，故B错误；

对于C，若，，则（垂直于同一平面的两条直线互相平行），故C正确；

对于D，若，，则相交或平行，故D错误.

故选：C.

7．已知直线l：与圆O：交于A、B两点且，则（        ）

A．0 B．±1 C．±2 D．±3

【答案】C

【分析】根据点到直线距离公式与圆的垂径定理求解.

【详解】圆的圆心为，半径为，

圆心到直线的距离：，

由得，解得.

故选：C

8．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求导数，利用在上恒成立，分离参数进行求解.

【详解】，因为在区间上单调递增，

所以在上恒成立，即在上恒成立，

因为二次函数的图象的对称轴为，且开口向上

所以的最小值为1，所以.

故选：B.

二、多选题

9．如果平面向量，，那么下列结论中正确的是（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】BD

【分析】根据向量平行与垂直的坐标表示、向量数量积和模长的坐标运算依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，，与不平行，A错误；

对于B，，，，B正确；

对于C，，C错误；

对于D，，，，D正确.

故选：BD.

10．如图是y= 的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（    ）

A．当x=﹣1时，取得极小值

B． 在[﹣2，1]上是增函数

C．当x=1时，取得极大值

D． 在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数

【答案】AD

【分析】由导函数的图象，确定导函数的正负，由此得到函数的单调性，由极值的定义判断函数的极值，由此判断四个选项即可.

【详解】解：导函数的图象可知，

当﹣2<x<﹣1时， <0，则单调递减，

当x=﹣1时， =0，

当﹣1<x<2时， >0，则单调递增，

当x=2时，=0，

当2<x<4时，<0，则单调递减，

当x=4时，=0，

当x>4时，>0，则单调递增，

所以当x=﹣1时，取得极小值，故选项A正确；

在[﹣2，1]上是有减有增函数，故选项B错误；

当x=2时，取得极大值，故选项C错误；

在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，故选项D正确.

故选：AD.

11．已知各项均为正数的等差数列中，，且，，构成等比数列的前三项，则（    ）

A．

B．

C．

D．设，则数列的前项和

【答案】ABD

【分析】运用等差数列等和性可分析A项，运用等差数列通项公式基本量计算可分析C项，运用等比数列通项公式基本量计算可分析B项，运用错位相减法求和可分析D项.

【详解】设各项均为正数的等差数列的公差为，

则由已知得，即，故A项正确；

又，解得或（舍去），

，所以，即：，故C项错误；

又，，所以，所以；故B项正确；

所以，

所以，

，

两式相减得，

则．故D项正确.

故选：ABD.

12．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．是奇函数 B．当时，函数恰有两个零点

C．若是增函数，则 D．当时，函数恰有两个极值点

【答案】ACD

【分析】利用函数奇偶性的定义判断A；利用导数分析函数的单调性判断B；利用导数结合函数单调性判断C；利用导数以及零点存在性定理判断D作答.

【详解】对于A，函数的定义域为，

，函数为奇函数，A正确；

对于B，当时，，求导得，而，，

显然这两个不等式不能同时取等号，即有，函数在上为增函数，

又，因此函数有且只有一个零点，B错误；

对于C，，因为函数是增函数，则对任意的恒成立，即，

令，求导得，令，，

即函数在上为增函数，，当时，，函数为减函数，

当时，，函数为增函数，因此，所以，C正确；

对于D，当时，，则，显然函数的图象可由函数的图象

向下平移3个单位而得，由C选项知，函数在上单调递减，在上单调递增，

而，，由零点存在性定理知，函数在和上都存在一个零点，

并且都是函数的变号零点，因此，当时，函数有两个极值点，D正确.

故选：ACD

【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：

（1）若函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立；

（2）若函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立；

（3）若函数在区间上不单调，则在区间上存在极值点；

（4）若函数在区间上存在单调递增区间，则，使得成立；

（5）若函数在区间上存在单调递减区间，则，使得成立.

三、填空题

13．函数在点处的切线方程为____________．

【答案】

【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.

【详解】，

则，

所以函数在点处的切线方程为，

即.

故答案为：.

14．已知等差数列的通项公式为，则其前n项和取得最大值时，_________.

【答案】

【分析】令，求出的范围，从而可得答案.

【详解】令，得，

又，所以当时，，当时，，

所以当前n项和取得最大值时，.

故答案为：.

15．若双曲线的渐近线与圆相切，则_______．

【答案】

【分析】根据双曲线方程，写出渐近线方程，整理圆的标准方程，明确圆心与半径，结合直线与圆相切，建立方程，可得答案.

【详解】由双曲线方程，则其渐近线方程，

由圆方程，整理可得，其圆心为，半径，

由两个渐近线关于对称，则不妨只探究渐近线，整理可得，

由题意，可得，解得.

故答案为：.

16．已知函数有三个零点，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】函数有三个零点，即函数的图象有三个交点，构造函数，利用导数求得的单调区间、极值，画出其大致图象，由此求得的取值范围.

【详解】令，则，

故函数有三个零点，即函数的图象有三个交点，

令，则，

当或时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，

则，

当时，，当时，，当时，，

如图，作出函数的大致图象，

由图可知.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

四、解答题

17．已知函数.

（1）求函数的单调递减区间；

（2）求函数在上的最大值和最小值.

【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为

【解析】（1）求出，令，得到函数的单调递减区间；

（2）求出函数在的单调性，根据极值和端点值，求得最值.

【详解】（1），

令，得，所以的减区间为.

（2）由（1），令，得或知：，为增函数，

，为减函数，，为增函数.

，，，.

所以在区间上的最大值为，最小值为.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题.

18．在中，角对应的边分别是，且．

(1)求角的大小；

(2)若，的面积，求的周长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理化边为角即可求解；

（2）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求解.

【详解】（1）在中，由正弦定理得:

代入式子，

化简得，，

，

，即，

因为，所以.

（2），

由余弦定理得，

的周长为．

19．《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图，在阳马中，平面，为的中点.

(1)求证：平面；

(2)若，求证：.

【答案】(1)证明见详解

(2)证明见详解

【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明；

（2）根据线面垂直的判定定理和性质定理分析证明.

【详解】（1）连接交于点，连接，

∵分别为的中点，则，

平面，平面，

∴平面.

（2）∵平面，平面，

∴，

又∵为矩形，则，且平面，

∴平面，

由平面，可得，

若，且为的中点，则，

平面，，则平面，

平面，故.

20．已知在等差数列中，，其前8项和.

（1）求数列的通项公式﹔

（2）设数列满足，求的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据已知条件列出关于首项和公差的方程组，求解通项公式；（2）由（1）可知，利用错位相减法求和.

【详解】解：（1）由，

由，得，

联立，解得，

故.

（2），

所以，①

，②

由①一②，得，

所以.

【点睛】方法点睛：一般数列求和包含：1.公式法，利用等差和等比数列的前项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为， 4.分组转化法求和，适用于；5.倒序相加法求和.

21．已知椭圆的左焦点为，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线与椭圆交于两点，O为坐标原点，求面积的最大值.

【答案】（1）（2）

【分析】(1)直接由题设就可求出;

(2)联立直线与椭圆方程,设而不求,整体代换,再利用三角形的面积公式及基本不等式便可得到面积的最大值．

【详解】(1)由题可知, 即①

又②,故椭圆的标准方程为: .

(2)由题可设,直线的方程为: ,设.

联立,消去,得，则有

又

当且仅当即直线方程为时,面积达到最大值,即为.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆相交后构成的三角形面积的最值求法,注意运用基本不等式,难度较难.

22．设函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）讨论函数的零点个数

【答案】（1）当时，函数的增区间是和，减区间是；

当时，函数的增区间是，无减区间；

当时，函数的增区间是和，减区间是．

（2）当时，函数存在唯一零点．

【分析】（1）根据利用导数求函数单调区间的步骤，先求出函数的导数，然后在定义域内解含参的不等式，分类讨论即可求出；

（2）由（1）可知函数的单调性，再结合零点存在性定理即可判断出函数的零点个数．

【详解】（1）函数的定义域为，

当时，由或，由；

当时，；

当时，由或，

综上，当时，函数的增区间是和，减区间是；

当时，函数的增区间是，无减区间；

当时，函数的增区间是和，减区间是．

（2）由（1）可知，

①当时，函数在和上递增，在上递减，

所以，，，但是，

当时，，存在，故，即在上存在唯一零点；

②当时，函数在递增，，，

即在上存在唯一零点；

③当时，函数在和上递增，在上递减，

所以，，，但是，

当时，，存在，故，即在上存在唯一零点．

综上，当时，函数存在唯一零点．

【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，利用导数求函数的单调区间，涉及含参的一元二次不等式的解法应用，以及结合函数的零点存在性定理求函数的零点个数，意在考查学生的数学运算能力和分类讨论思想的应用能力，属于中档题．