2022-2023学年河南省商丘市部分学校高二下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年河南省商丘市部分学校高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用导数的几何意义求切线方程.

【详解】，，，

所以曲线在点处的切线方程为，

即.

故选：A

2．已知随机变量的分布列为

则实数（    ）A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据随机变量的分布列性质概率之和为1可得.

【详解】由题意：，

可得：.

故选：D.

3．冬季某服装店销售a，b，c，d，e五种不同款式的羽绒服，甲、乙、丙三人每人任意选择一款羽绒服购买，则不同的购买选择有（    ）

A．15种 B．60种 C．125种 D．243种

【答案】C

【分析】用分步乘法原理计算.

【详解】每人有5种不同的购买选择，总的购买选择有种.

故选：C.

4．已知圆与直线相切，则实数（    ）

A．5 B．10 C．25 D．100

【答案】D

【分析】利用直线与圆相切，建立方程，即可求解.

【详解】圆的圆心为，半径，

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，

解得：.

故选：D

5．已知函数（其中是的导函数），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用导数的运算法则计算即可.

【详解】由题意可得：

解之得：，所以.

故选：B

6．如图，在三棱锥中，，，若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用向量线性运算将用，，表示即可.

【详解】如图：

故选：C.

7．若定义域为的函数及其导函数满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据条件构造函数，再利用导数判断函数的单调性，即可代入数值，比较大小.

【详解】设，则，

因为，所以，即单调递增，

所以，即，

化简为.

故选：A

8．有包含甲在内的4名同学参加演讲比赛，由7名评委进行不记名投票，每名评委投1票，获得票数最多且领先第二名不少于2票的同学可直接获得冠军，则甲直接获得冠军的投票结果有（    ）

A．13种 B．16种 C．17种 D．20种

【答案】C

【分析】由题意得，甲直接获得冠军的得票数可能为4票，5票，6票，7票.分别求出每种得票数的结果总数，再相加即可得到答案.

【详解】因为获得票数最多且领先第二名不少于2票的同学可直接获得冠军，

所以甲直接获得冠军的得票数可能为4票，5票，6票，7票.

当甲的得票数为4票时，其余3名同学得票总数为3票，

若其中有1名同学得票数为2票，有1名同学得票数为1票，其余同学得票数为0票，则投票结果共有种；

若其中每名同学的得票数均为1票，则投票结果共有种；

所以，当甲的得票数为4票时，投票结果共有种.

当甲的得票数为5票时，其余3名同学得票总数为2票，

若其中有1名同学得票数为2票，其余同学得票数为0票，则投票结果共有种；

若其中有2名同学的得票数均为1票，其余同学得票数为0票，则投票结果共有种；

所以，当甲的得票数为5票时，投票结果共有种.

当甲的得票数为6票时，其余3名同学得票总数为1票，此时投票结果共有种.

当甲的得票数为7票时，其余3名同学得票总数为0票，此时投票结果共有种.

所以，则甲直接获得冠军的投票结果共有种.

故选：C.

二、多选题

9．设A，B为两个随机事件，若，，则下列结论中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则A，B相互独立

C．若A与B相互独立，则 D．若A与B相互独立，则

【答案】BD

【分析】根据并事件的概率的计算公式即可判断A；根据相互独立事件及对立事件的交事件的概率公式即可判断BD；根据相互独立事件的并事件的概率公式即可判断C.

【详解】对于A，若，则，故A错误；

对于B，因为，，

所以，所以A，B相互独立，故B正确；

对于C，A与B相互独立，则也相互独立，

则，故C错误；

对于D，A与B相互独立，则也相互独立，

所以，故D正确.

故选：BD.

10．已知数列是等差数列，其前n项和为．若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】由已知可得公差为正数，从而逐一可判定各选项正误.

【详解】由已知，故，即公差.

，故A正确；

又，故B错误；

而，故C正确;

由已知无法判定的符号，故D不一定正确.

故选：AC

11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一动点，则下列结论中正确的是（    ）

A．的面积的最大值为

B．以线段为直径的圆与直线相切

C．恒成立

D．若，，为一个直角三角形的三个顶点，则点P的纵坐标为

【答案】BCD

【分析】对A，根据面积表达式得到点位于上下顶点时三角形面积最大，对B，利用几何法即可判断直线与圆的关系，对C，设，写出向量数量积的表达式即可判断，对D，分类讨论即可.

【详解】对A，，则，

由图得，

显然当点位于椭圆上下顶点时，的面积的最大值，最大值为，故A错误；

对B，以线段为直径的圆的圆心为，半径，

则圆心到直线的距离，故直线与圆相切，故B正确；

对C，设，则，且，则，

，，

则

，故C正确；

对D，由C选项知，

则，则，

若，令，则有，解得，

同理若，令，则有，解得，故D正确.

故选：BCD.

12．已知函数，且，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】选项A可以通过分析法，变形分析两者大小；

选项B可以通过幂函数和指数函数单调性引入中间值进行比较；

选项C可以通过函数单调性进行比较；

选项D因,不在一个单调区间中，可以通过符号比较,

【详解】函数，所以.

令得，

当时，，在区间上单调递增.

当时，，在区间上单调递减.

对于A，要证，只需证，只需证

因为， ，所以，即证，所以A正确.

对于B，，所以B错误.

对于C，由A知，由函数在区间上单调递减可知.

对于D，，因为在区间上单调递增，所以；，所以，所以D正确.

故选：ACD.

【点睛】思路点睛：

指数对数比较大小，可以利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性进行综合考虑，从底数、幂、真数是否相同入手.函数值的大小直接比较困难时，需要利用函数的单调性.

三、填空题

13．已知等差数列的公差为1，且，则______．

【答案】

【分析】根据等差数列，建立方程求首项，即可求解通项公式.

【详解】设等差数列的首项为，公差，

因为，所以，得，

即.

故答案为：

14．已知，则______．（用数字作答）

【答案】252

【分析】首先利用换元，转化二项展开式，再利用二项式定理，求的值.

【详解】设，则，

即，

是前的系数，即.

故答案为：252

15．若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的极大值点，依题意可得，即可求出参数的取值范围.

【详解】因为，所以，

由，得或，则在区间和上单调递增，

由，得，则在区间上单调递减，

所以在处取得极大值，在处取得极小值，

要使函数在区间上存在最大值，又，

则，解得，即实数的取值范围是.

故答案为：

16．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，直线（）与轴交于点，若A为右支上的一点，且，则的离心率的取值范围为______．

【答案】

【分析】利用定义化简条件可得，根据建立不等关系，化简可得a，c关系，由此可求离心率范围.

【详解】设双曲线的半焦距为，

对于直线，令，解得，即，

∵A为右支上的一点，则，即，

则，整理得，

注意到，可得，整理得，

由双曲线可知，所以的离心率的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数在处取得极值．

(1)求实数，的值；

(2)求在区间上的最大值和最小值．

【答案】(1)，

(2)最大值为11，最小值为

【分析】（1）求出函数的导数，根据和，求出，的值；

（2）利用导数判断函数的在上的单调性，求出最值.

【详解】（1）由已知得，

因为在处取得极值，所以，解得，

又因为，所以.

（2）由（1）知，，

令，解得或．

当x变化时，，的变化情况如下表所示：

所以在区间上的最大值为11，最小值为．

18．已知数列满足且．

(1)求证：数列是等比数列；

(2)记，若数列满足，求的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据已知条件可得出，求出、的值，将等式变形得出，结合等比数列的定义可证得结论成立；

（2）求出数列的通项公式，根据可得出关于的方程，解之即可.

【详解】（1）解：联立，解得，

因为，所以．

所以数列是以为首项，为公比的等比数列．

（2）解：由（1）得，所以，所以．

由得，两边平方可整理得，

两边平方整理得，

解得或（舍去），故．

19．如图，在直三棱柱中，，是面积为的正方形，且与平面所成的角为．

(1)求三棱柱的体积；

(2)若为棱上靠近的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)由线面垂直得到与平面所成的角为，从而求出的值，再用三棱柱的体积公式即可求出答案；

(2) 建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，代入夹角的余弦值公式即可求出答案.

【详解】（1）在直三棱柱中，，，，

平面，平面，

所以平面，

所以是与平面所成的角，即．

因为是面积为的正方形，

所以，则，，

所以三棱柱的体积为．

（2）以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

，，，．

设平面的法向量为，则

，

解得，

取，则；

设平面的法向量为，则

，

解得，

取，则．

设平面与平面夹角的大小为，则

．

20．已知椭圆的上、下焦点分别为，，点满足直线，的斜率之积为，点是上任意一点，．

(1)求的方程；

(2)过点的直线与交于，两点，若以为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由斜率之积可得椭圆半焦距，再利用椭圆定义即可求得椭圆方程；

（2）设直线的方程，与椭圆联立，根据圆的性质知，再利用韦达定理及判别式可得结果.

【详解】（1）设椭圆C的半焦距为．

因为直线，的斜率之积为，

所以，解得c=1．

因为，利用椭圆定义可得椭圆长轴，解得，

则．

所以C的方程为．

（2）由已知得过点且满足题意的直线l的斜率存在，不妨设，

联立消去y得，

令，

解得．

设，，则，，

因为以DE为直径的圆经过点O，所以，即，，

所以，

即，

所以，

整理可得，

解得，满足，

所以直线l的方程为．

21．某外国语高中三个年级的学生的人数相同，现按人数比例用分层随机抽样的方法从三个年级中随机抽取90位同学，调查他们外语词汇量（单位：个）掌握情况，统计结果如下：

(1)求，，的值；

(2)在这90份样本数据中，从词汇量位于区间的高三学生中随机抽取2人，记抽取的这2人词汇量位于区间的人数为，求的分布列与数学期望；

(3)以样本数据中词汇量位于各区间的频率作为学生词汇量位于该区间的概率，假设该学校有的学生外语选修日语，且选修日语的学生中有的人词汇量位于区间．现从该学校任选一位学生，若已知此学生词汇量位于区间，求他外语选修的是日语的概率．

【答案】(1)，，

(2)分布列见解析，数学期望为

(3)

【分析】（1）由条件可知，三个年级的样本人数都是30，根据表格数据，列式求解；

（2）利用超几何分布求概率，再根据分布列求期望；

（3）利用条件概率求解.

【详解】（1）由题意，得，解得；

（2）由题意可知，词汇量位于区间的高三学生有12人，位于区间的高三学生有8人，

则X的所有可能取值为0，1，2，

，，，

所以随机变量X的概率分布列为：

所以．

（3）由题知，词汇量位于区间的概率为，

从该学校任选一位学生，外语选修日语且词汇量位于区间的概率为，

根据条件概率的公式，在已知此学生词汇量位于区间的条件下，

他外语选修的是日语的概率为．

22．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若方程有两个不同的实数根，求的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）对求导，分类讨论和时的正负，即可得出的单调性；

（2）解法一：“方程有两个不同的实数根”等价于“函数有两个零点”．对求导，讨论的单调性和最值，即可得出答案；解法二：由方程得，转化为与的图象有两个交点，对求导，得出的单调性和最值即可得出答案.

【详解】（1）由条件知，，

当时，在上恒成立，所以在单调递增．

当时，令，得，令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增．

（2）解法一：由方程得，“方程有两个不同的实数根”等价于“函数有两个零点”．

，．

①当时，，在上是增函数，最多只有一个零点，不符合题意；

②当时，由得，

当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减．

（ⅰ）若，则，最多只有一个零点；

（ⅱ）若，因为，且，，

所以在区间内有一个零点．

令函数，则，．

当时，，在上是增函数；

当时，，在上是减函数.

所以，故．

所以，又，

所以在区间内有一个零点．

综上可知：当时，有两个零点，即方程有两个不同的实数根，

故a的取值范围为．

解法二：由方程得．

设函数，则，．

令，得，设，

则当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以的极大值也就是最大值为，

且当，x趋近于0时，趋近于负无穷，当趋近于正无穷时，，且趋近于0．

方程有两个不同的实数根，转化为直线与的图象有两个交点，

结合函数图象可知a的取值范围是．