2022-2023学年贵州省遵义市红花岗区部分学校高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年贵州省遵义市红花岗区部分学校高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  (    )

A.  B.  C.  D.

2.  (    )

A.  B.  C.  D.

3.  若向量，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若，，则是(    )

A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

5.  不等式的解集为(    )

A.  B.
C.  D.

6.  已知函数，则在上(    )

A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先增后减 D. 先减后增

7.  为了得到函数的图象，只要将函数的图象(    )

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

8.  某超市年从月到月冰激凌的销售数量与月份近似满足函数，该超市只有月份冰激凌的销售数量达到最大值，最大值为，只有月份冰激凌的销售数量达到最小值，最小值为，则该超市冰激凌的销售数量不少于的月份共有(    )

A. 个月 B. 个月 C. 个月 D. 个月

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知某时钟的分针长，将快了分钟的该时钟校准后，则(    )

A. 时针转过的角为 B. 分针转过的角为
C. 分针扫过的扇形的弧长为 D. 分针扫过的扇形的面积为

10.  已知函数的图象经过点，则(    )

A.
B. 的最小正周期为
C. 的定义域为
D. 不等式的解集为，

11.  年至年，我国全社会研究与试验发展经费投入持续上升，经费投入强度情况如图所示，则(    )

 

A. 年至年，我国每年经费与之比的极差为
B. 年至年，我国每年经费总量的分位数为亿元
C. 年至年，我国经费总量的平均数大于亿元
D. 年，我国小于亿元

12.  已知函数，且，在上的图象与直线恰有个交点，则的值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知角的终边经过点，则 ______ ， ______ ．

14.  已知函数，若，则 ______ ．

15.  若甲、乙、丙在分钟之内独立复原魔方的概率分别为，，，则甲、乙、丙至多有一人在分钟之内独立复原魔方的概率为______ ．

16.  已知函数与的图象在区间上的交点个数为，直线与的图象在区间上的交点的个数为，则 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知．
求的值；
求的值．

18.  本小题分
已知函数．
写出图象的一条对称轴的方程；
求的单调递减区间；
求在上的值域．

19.  本小题分
已知函数．
若的定义域为，求的取值范围；
若，求．

20.  本小题分
已知函数的值域为．
求的单调递增区间；
若在上恰有一个零点，求的取值范围．

21.  本小题分
如图，在梯形中，，，分别是，的中点，与相交于点，设，．
用，表示；
用，表示．

22.  本小题分
已知函数的部分图象如图所示，且图中的．
求的解析式；
判断函数在上的零点个数，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由弧度制的定义可知，．
故选：．
根据弧度制的定义，即可求解．
本题主要考查弧度制的定义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接利用诱导公式化简求解即可．
本题考查诱导公式的应用，是基本知识的考查．
 

3.【答案】 

【解析】解：由，又，
所以，可得．
故选：．
由向量线性关系坐标运算求得，再由向量平行的坐标表示求参数即可．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由，，
得，，是第四象限角．
故选：．
利用同角三角函数基本关系式变形，可得，，即可得到所在的象限．
本题考查三角函数的象限符号，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由正切函数的性质可得：
，，
解得．
所以原不等式的解集为：，．
故选：．
根据正切函数的性质，列出不等式求解即可．
本题考查了利用正切函数的性质解不等式，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
函数在上先减后增，
故选：．
，利用余弦函数的性质可求得答案．
本题主要考查余弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于中等题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
要得到函数的图象，
可以将函数的图象向右平移个单位长度．
故选：．
利用诱导公式可得：，再由函数的图象变换可得答案．
本题考查函数的图象变换，考查转化思想与运算能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意可得，，
由，得，所以，
因为，
所以，所以，
所以，
又，所以当时，，
故，
由，
得，
则，
所以，
当时，，又，所以，，，，，
即该超市冰激凌的销售数量不少于的月份数是．
故选：．
通过最大值与最小值求出，，利用最值横坐标之差求出，代入最值，根据，求出值，则得到，列出不等式，求出的范围即可．
本题考查三角函数的性质，三角不等式的求解，化归转化思想，属中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意，得时针转过的角为，分针转过的角为，
分针扫过的扇形的弧长为，
面积为．
故选：．
根据分针转一圈为分，时针转一圈为小时，分别求得其圆周角，再利用弧长公式和面积公式求解．
本题主要考查了扇形的面积公式和弧长公式，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，由题知，则，因为，所以，A错误；
对于，的最小正周期，B正确；
对于，令，，则，，
所以的定义域为，C错误；
对于，令，则，
得，，即，，
所以不等式的解集为，，D正确．
故选：．
将点代入函数中，再结合即可求得的值，从而即可判断；根据正切函数的最小正周期定义即可判断；根据正切函数的定义域即可判断；解不等式即可判断．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由年至年，我国每年经费与之比的极差为，所以A正确．
因为，所以年至年，我国每年经费总量的分位数为亿元，所以B错误；
从年至年我国每年经费总量的数据，可得年至年我国经费总量的平均数为，所以C正确；
因为，所以年我国小于亿元，所以D正确．
故选：．
根据极差的计算公式，可判定A正确；根据中位数的计算方法，可判定B错误；根据平均数的计算公式，可判定C正确；根据的计算方法，可判定D正确．
本题主要考查统计图获取信息，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：函数，
，
，，解得，，
在上的图象与直线恰有个交点，
由，得，
或，，
解得或，，
，当取时，由，得，
当取，时，由，得，，
且，即，
或．
故选：．
先利用诱导公式将化简为，利用条件，得到，再利用在上的图象与直线恰有个交点，从而求出的范围，由此能求出结果．
本题考查诱导公式、三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】   

【解析】解：由题意得，，
所以．
故答案为：；．
由已知结合三角函数定义及诱导公式即可求解．
本题主要考查了三角函数定义及诱导公式的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由，可得，
所以．
故答案为：．
由题意可得，将代入计算即可．
本题考查了的函数的正弦、正切函数的奇偶性，也考查了整体思想，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：甲、乙、丙在分钟之内独立复原魔方的概率分别为，，，
甲、乙、丙至多有一人在分钟之内独立复原魔方的概率为：
．
故答案为：．
利用相互独立事件概率乘法公式直接求解．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：函数与的图象在区间上的图象，
如图所示：

故函数与函数在区间上的图象上交点的个数为，即，
直线与的图象在区间上的交点的个数为，即，
故．
故答案为：．
直接利用正弦型函数和正切型函数的图象和性质求出交点的个数．
本题考查的知识要点：正弦型函数和正切型函数的图象，主要考查学生的理解能力和画图能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：依题意得，，
解得；
． 

【解析】先根据诱导公式将题干条件化简，然后所得分式的分子分母同时除以，得到的方程后进行求解；
待求表达式补上一个分母：，然后分子分母同时除以即可．
本题主要考查了诱导公式的应用，考查了同角三角函数间的基本关系，属于基础题．
 

18.【答案】解：令，，可得，，
所以图象的一条对称轴方程可以为答案不唯一，只要方程满足即可；
由得，，
所以的单调递减区间为；
由，得，
所以，
因为，所以，
故在上的值域为． 

【解析】令，，求出的值，即可得到函数的对称性方程；
根据余弦函数的图象和性质求解；
由的范围求出的范围，再结合余弦函数的性质求解．
本题主要考查了余弦函数的图象和性质，属于基础题．
 

19.【答案】解：由题意得，
解得，
即的取值范围为；
由题意得，，
所以，
得，解得或．
由，得，
故． 

【解析】结合对数函数的性质即可求解；
结合对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了对数函数的性质及对数运算性质的应用，属于基础题．
 

20.【答案】解：由题设，当时，；
当时，；
所以，，故，
令，则，
所以的单调递增区间为．
由，则，要在上恰有一个零点，
结合正弦函数图象知：，可得 

【解析】由正弦型函数的值域有、求参数，再根据正弦函数的性质求的增区间；
由题设知，根据区间零点个数及正弦函数图象列不等式求参数范围．
本题主要考查了正弦函数的性质的应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：，
，且，分别是，的中点，，
；
，，三点共线，
设，且，，三点共线，
，，
，，
． 

【解析】可得出，从而得出；
设，然后根据，，三点共线得出，这样即可用表示向量，然后根据即可用表示出．
本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，共线向量基本定理，三点共线的充要条件，考查了计算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：由图可知，又图象的一条对称轴为直线，
由，得，所以，
因为，所以，
得，
又，所以，
故．
在上有个零点．
理由如下：在上的零点个数等于的图象与直线在上的交点个数，
令，得，
当时，，
当时，，，与，的函数图象如下所示：

由图可知两函数有且只有个交点，故在上有个零点． 

【解析】根据函数图象得到，再求出函数的一条对称轴，即可求出函数的周期，从而求出，最后根据函数的最大值求出，即可求出函数解析式．
问题等价于的图象与直线在上的交点个数，分析函数的取值及画出函数图象，数形结合即可判断．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．