2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第61讲运用分类讨论法解三角函数问题第62讲运用分类讨论法解复数平面向量问题含解析

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典型例题
【例1】若函数的图像经过点和,且当时,恒成立,则实数的取值范围是____________.
【分析】由的图像经过和两点的条件消去和,使原函数含有单参数,在后续的解题过程中必须对的取值分类讨论.
【解析】经过点和,故
.
①当时,.
∴, 要使恒成立, 只要.
即, 又, 从而;
(2) 当时, ;
(3) 当时,.
∴, 要使恒成立, 只要.
解得, 又, 从而.
综上所述，的取值范围为.
【例2】已知.
若, 且在上为减函数.
(1) 求函数的最小正周期;
(2) 求实数和角的值.
【分析】
在研究三角函数的性质时，当A的正负未定时，则必须对A的正、负进行分类讨论.
【解析】
(1)
显然的最小正周期为.
(2)若在上为减函数,且的最大值为2. 即, 此时.
若,同理,
此时.
综上所述或
【例3】如图11-1所示,有一块等腰三角形形状的空地ABC, 腰CA的长为3 , 底AB的长为4 , 现决定在该空地内内一条笔直的小路EF (宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长相等,面积分别为和.
(1) 若小路一端为的中点,求此时小路的长度;
(2) 求的最小值.
【分析】
本例引起分类讨论的是小路端点E,F的位置，位置的可能性以及位置不同导致结论的变化.
【解析】
（1）先确定点的位置.
①若点在上(如图中位置).
设, 则, 即
, 得(舍去), 故点不在上.
②若点在上(如图中位置, 设,
则, 即,
得, 此时, 于是在中,
, 得.
故若小路一端为的中点,此时小路的长度为.
（2）分情况讨论点的位置.
(1)若小路的端点都在两腰上如图所示),
设, 则,
即, 得,
（当且仅当时取等号）
(2) 若小路的端点分别在一腰(不妨设在腰上)和底边上(如图所示, 设, 由, 即, 得
（当且仅当时取等号)
综上所述, 的最小值为.
【例4】如图11-5所示，半圆O的直径为2,点A为直径延长线上的一一点,OA=2,点B为半圆上任意一点,以AB为边向半圆外作等边三角形ABC.
(1)求四边形OACB的面积的最大值;
(2)求线段OC长的最大值.
【分析】
求解时，若设∠AOB=a,则必须对a为锐角、钝角、直角的情况分类讨论，如图11-6所示.
【解析】
(1)设,则,在中,
于是
又当即时，取到最大值,
(2) 设.
①若为锐角, 见图, 则且
若为钝角, 见图, 则,且
②若为直角, 见图, 则仍有.
于是在中,
∵当,
即时, 取得最大值.
第62讲运用分类讨论法解复数、平面向量问题
在讨论两个复数集关系时,涉及参数,就需要分类讨论，复数集内解一元二次方程,必须按判别式分类求解,运用平面向量研究几何图形的性质也常常需要对图形的某元素的变化分类与整合.
典型例题
【例1】设是方程在复数范围内的两根,求 (用含的解析式表示).
【分析】
在复数集内解一元二次方程,必须对,分类求解，在去掉绝对值号时又需进一步对a的取值进行分类讨论.
【解析】
若, 即或. 此时.
由得或,
当或时,
当时
若, 即, 此时,为一对共轭虚根.
综上所述,
【例2】
设两复数集, .
(1) 若, 求实数的取值范围;
(2) 当实数在(1)中变化时,进一步讨论集合的元素个数,并当取定值时,求;
(3) 本题的几何意义是什么?
【分析】
第(1)问,M∩N≠0,即两集合有公共元素，利用两复数相等的充要条件,消去m,即可得λ关于的三角函数,进而求值域.第(2)问，可通过函数与方程的思想方法结合方程根的情况进行分类讨论,分类要全面,防止遗漏.第(3)问，求出集合M,集合N在复平面上的点的轨迹,把数的问题转化为形的问题,其中集合N对应的轨迹含参数入，当λ变化时，该曲线在运动，从而本题探求的是两曲线相交的不同情况.本例涉及函数与方程、分类与整合、数形结合等多种数学思想，是一道既具新颖性又具典型性的好题.
【解析】
(1)由, 得.
∴, 消去, 得
由, 得.
(2) 由, 令, 考虑.
①当, 此时, , 而.
此时集合有2个元素.
②当.
此时, 在内有一解, 而有两解.
此时集合有两个元素.
③当, 此时有, 即,
∴舍
∴, 此时有1个元素.
④当. 此时有, 即,
∴, 当时, ; 当时, .
∴
⑤当此时有4个元素.
（3）令知,集合在复平面上的点的轨迹为抛物线, 集合在复平面上的点的轨迹为椭圆.
故本题讨论的是,当变化时,椭圆上下移动与抛物线相交的不同情况.
【例3】已知, 求为等腰直角三角形的充要条件.
【分析】
直角顶点未明确，必须对哪一角为直角进行分类讨论.
【解析】
①当时, 为等腰直角三角形.
此时且解得.
②当时,为等腰直角三角形.
此时,且,
, 且
解得或
③当,CA=CB时, △ABC为等腰直角三角形.
此时且,
且, 解得或
综上所述, 为等腰直角三角形的充要条件是或或或或
【例4】在中, , 点.
(1) 若, 且能构成直角三角形,求点的坐标;
(2) 轴上是否存在点满足?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】
第(1)问, 必须对中哪一个角是直角进行分类讨论, 即使某角不可能是直角,也应当说明理由; 第(2)问,点在轴上的位置关系未定,也会有两种不同的情况.
【解析】
(1)设点, 则.
当时得又或点B的坐标为或当时,得
又∵
∴点的坐标为或.
综上所述,点的坐标为或或或.
(2) 依题意可设点, 则.
∵.
∴或点的坐标分别为或.