2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第59讲分类讨论是一种重要的解题策略第60讲运用分类讨论法解含参数函数方程不等式问题含解析

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数学之美在于简捷,分类要力求简捷.
分类讨论的解题步骤如下:
（1）确定讨论的对象；
（2）确定讨论对象的取值范围（全集）
（3）划分子区域(子集)；
(4)对于参数字母多于一个的问题则要进行逐级分类,解题时要特别注意讨论的层次,避免重复讨论或讨论不全等现象;
（5）对每个子区域讨论的结果整合起来作出结论.
其中第(5)步非常重要,分类是把整体化为部分,整合是把各部分加以归纳总结,有“分”必有“合”,因为我们研究的是问题的全体,所以必须做到有“分”有“合”,先“分”后“合”,这不仅是分类与整合的思想解决数学问题的主要过程,也是分类与整合思想的本质属性,数学思维应当注重过程的严谨性与周密性.
使用分类讨论思想解题时应当注意以下几点:
（1）要有明确的分类标准,所选择的分类标准不同就会有不同的分类方向,尽量合理
（2）一旦选定一种分类标准,就必须从同一标准出发,对讨论对象分类层次分明,不重
（3）当讨论的对象不止一种时,应分层次进行,分大类时有一个统一的标准,每一大类中再分几小类另有统一的标准.
（4）注意把握问题发展的本质趋向,根据解题形势发展的需要,选择分类讨论的时机.
（5）在重视分类讨论思想应用的基础上,应防止“逢参就论”的倾向,能整体处理,可避免讨论的则尽量避开,才是解题的上策.
本讲就从近年来的高考真题来看分类讨论思想方法在解题中的重要作用.
典型例题
【例1】已知函数.
(1)若,证明:当时,;当时,;
(2)若是的极大值点,求.
【分析】 第问通过求导研究函数的单调性即可证明；第(问,根据函数取得极值的条件,建立关于的式子求解.在求解过程中,两问都需要实施分类讨论,第(1)问需要对自变量的取值范围进行分类讨论,第(2)问必须对参数的取值范围进行分类讨论.
【解析】(1)证明当时,.
设函数,则.
当时,;当时.
故当时,,
且仅当时,,从而,且仅当时,,
在单调递增.
又,故当时,;当时,.
(2)①若,由(1)知,当时,,这与是的极大值点矛盾.
②若,设函数.
由于当时,,故与符号相同.
又,故是的极大值点.
当且仅当是的极大值点,
如果,则当,且时,,故
不是的极大值点.
如果,则存在根,故当,且
时,,故不是的极大值点.如果,则,则当时,;当时,是的极大值点,从而是的极大值点.
综上,.
【例2】已知是首项为2,公比为的等比数列,为它的前项和.
（1）用表示;
(2)是否存在正整数和,使得成立.
【分析】本例第问属于探索性问题,解题时需要灵活运用分类讨论的思想,由于题中含有双参数,必须轮流分类讨论,应注意思路清晰、讨论到位.
【解析】（1）由,得.
（2）要使，只要，
故只要，
又故要使①式成立，只能取2或3.
当时，当时，不成立，从而①式不成立.
当时，由得
故当时，从而①式不成立.
当时，当时，不成立，从而①式不成立.
又当时，从而①式不成立.
综上所述，不存在正整数和，使成立.
【例3】设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
(2)已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹恒有两个交点,且为坐标原点,并求出该圆的方程；
(3)已知,设直线与圆相切于,且与轨迹只有一个公共点,当为何值时,取得最大值?并求出最大值.
【分析】 第(1)问,在求得的轨迹方程中显然含有参数,必须对的取值分类讨论确定其轨迹;第(2)问,由于是任意一条切线,必定要对其斜率存在与否进行分类讨论;第(3)问,引入直线必然含有双参数,且圆中尚有参数,由于解题得法,反而避免了分类讨论.
【解析】(1)，即
当时，方程表示两直线方程，方程为；
当时，方程表示的是圆；
当且时，方程表示的是椭圆；
当时，方程表示的是双曲线.
(2)当时,轨迹的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为解方程组得.
要使切线与轨迹恒有两个交点,则即亦即且
要使，需使.即
即且亦即恒成立.
又直线为圆心在原点的圆的一条切线,圆的半径为所求的圆为
当切线的斜率不存在时，切线为与交于点或,也满足.
综上所述,存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹
(3)当时,轨迹的方程为,设直线的方程为.
直线与圆相切于由知,即
与轨迹只有一个公共点,由知得
即有唯一解，则即
由①②得此时，重合为.
中
点在椭圆上,,故在直角三角形中，
即当时,取得最大值,最大值为1.
第60讲运用分类讨论法解含参数函数、方程、不等式问题
在求解函数、方程、不等式问题中,由于含有参数,而参数取不同值时会导致不同的结果,因而需要对参数进行分类讨论,即选择一个标准,依次分成几个能用不同形式去解决的小问题,从而使问题获得解决,体现了化整为零、各个击破、积零为整――即分类与整合的思想.
典型例题
【例1】设为实数,函数.
（1）讨论的奇偶性;
(2)求的最小值.
【分析】讨论函数的奇偶性必须对和进行分类讨论,去掉绝对值符号必须对和进行分类讨论,求函数的最值又必须进一步对的取值与二次函数对称轴的关系进行分类讨论,三次讨论层层深入.
【解析】当时,,此时为偶函数,
当时,,而,
此时函数既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)对去掉绝对值号进行讨论:
①当时,,若,则在上单调递减,
若,则在上的最小值为,且.
②当时，
若,则在上的最小值为,且
若,则在上单调递增,
综上所述,当时,的最小值为当时,的最小值为;当时,的最小值为.
【例2】 (1)若仅有一个实数根,那么的取值范围是__________;
（2）函数,求使为负值的的取值范围.
【分析】 第问是含参数的对数方程仅有一个实根,求参数的取值范围,首先转化为方程与不等式的混合组,而所得的是含参数的一元二次方程.由判别式结合混合组中两个不等式进行分类讨论,从而获解.第(2)问,当原问题转化为指数不等式时,必须对底数的取值在还是进行分类讨论,别忘了特殊情况的讨论.
【解析】由题意知即，对③式由求根公式得
①当时,由(3)式得同为负根.又由④式知原方程有一个解
②当时,原方程有一个解.
③当时,由(3)式得同为正根且,不合题意,舍去.
综上可得,或为所求.
(2),即
两边同除以,得或(舍去).
若,则,而;
若,则.
综上所述,当时,时,时,(-1
).
【例3】(1)已知函数的图像与函数且)的图像关于直线是增函数,则实数的取值范围是( ）.
A.B.C.D.
(2)关于的方程,给出下列4个命题:
①存在实数.,使得方程恰有2个不同的实根;
②存在实数,使得方程恰有4个不同的实根;
③存在实数,使得方程恰有5个不同的实根;
④存在实数,使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是（）
A.0B.1C.2D.3
【分析】第(1)问,由于底数末确定,必须对的值在还是进行分类讨论,若采用换元法,则必须在的不同范围内结合对数函数单调性确定新元的范围;第(2)问,若考虑去掉绝对值符号,则必须对的取值范围分类讨论,在进一步解答过程中又必须对参数的取值分类讨论.
【解析】(1）已知函数的图像与函数且)的图像关于直线对称,则.记.
①当时,.在区间上是增函数,为增函数,令,要求对称轴,矛盾;
②当时,在区间上是增函数,为减函数,令,要求对称轴,解得实
数的取值范围是,故选.
(2)解法一 关于的方程可化为或或
①当时,方程①的解为,方程②无解,原方程恰有2个不同的实根;
②当时,方程①有两个不同的实根,方程②有两个不同的实根,即原方程恰有4个不同的实根;
③当时,方程①的解为,方程②的解为,原方程恰有5个不同的实根;
④当时,方程①的解为,方程②的解为,即原方程恰有8个不同的实根,故选A.
解法二 根据题意,可令,则原方程化为，作出函数的图像,结合函数的图像可知,当或时原方程有两个不同的根;当时,原方程有4个根;当时,原方程有3个根,于是:
①当时,方程①有一个正根,相应的原方程的解有2个;
②当时,方程①有两个相等的正根,相应的原方程的解有4个;
③当时,方程①有两个不等根或,故此时原方程有5个根;
④当时,方程①有两个不等正根,且此时方程①有两个正根且均小于1,故相应满足原方程的解有8个,故选.
【例4】已知函数.
(1)当时,证明:函数在上是增函数;
(2)若时,当时,恒成立,求实数的取值范围.
【分析】本例是含参数的函数的单调性问题与含参数不等式恒成立问题.第（1）问,在证明单调性过程中对的取值分类讨论;第(2)问,为了解决含参数不等式恒成立问题,必须研究新构造的函数的单调性和极值,必须对参数的取值范围分类讨论,分类要合理,不重不漏,符合最简原则.总之,分类讨论思想的本质是“化整为零,积零为整”,思维策略与操作过程是:明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集,并集为全集).
【解析】(1)证明当时,的定义域为.
.
(2)当时,恒成立,即恒成立.
①当,即时,有
要使结论成立,则
②当即时恒成立，是增函数，又,故结论成立;
③当,即时,有
要使结论成立,则,即
解得.
综上所述,若时,当时,恒成立,实数的取值范围是.
0
0
极大值
极小值
0
0
极大值
极小值