2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第57讲整体处理法第58讲构造整体法含解析

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典型例题
【例1】已知为常数),,求的值.
【分析】所给函数解析式前三项均为奇次幂,最后一项是常数8,显然可以构造这一奇函数,则,这种视前三项为一个整体的方法称之为整体处理,而相对于而言是取了其中的一部分,这也是一种以特殊性处理问题的方法.
【解析】设,则,而显然是上的奇函数,故有,本题中.
由,得,故.
【例2】已知,求的值.
【分析】若用解方程组的方法运算量太大，故可设
,原问题转化为求的值.
【解析】设,结合已知式可得，
则,整理得,解得,故.
【例3】(1)设为实数,若,则的最大值是___________.
(2)已知,满足,则的最小值为（）.
A.B.C.1D.
【分析】本例两小题若由条件采取消元法转化为一元问题再求其最值,理论上讲得通,但操作不易.第(1)问,由于条件较复杂,消元无法实现;第(2)问,消元虽然易于办到,但得到的是无理式,求其最小值仍然困难很大(当然,运用三角换元可以实现化无理为有理的目标).如果我们注意数学问题中式的结构特征,实行整体换元,则解题思路顿时清晣起来.第问,将视为一个整体,与题设条件联立,可把问题转化为的一元二次方程,利用判别式法轻松得到答案;第(2)问,可把看作一个整体,也可把1用这个整体代入,都能得到极其巧妙的解法.
【解析】令,则,代人中,得,将它看作一个关于的二次方程,为参数,则由其判别式大于等于0,可得,解得的最大值是
(2)解法－（以为整体,转化为求的最小值)
令移项得则由得此方程有解的必要条件，即解得或而又当时，得符合题意.取最小值.故选A.
解法二（设视为整体，构造新元运用判别式求解
由得即.
两边平方并整理得
即注意到又当时，结合得当且仅当时，取最小值，故选A.
解法三（构造以为新元的函数，换元可利用三角函数的有界性求解）
令，则
记则
（其中），
整理得
当时，
,结合,得当且仅当时,取最小值故选.
【例4】(1)过圆外一点向圆作两条切线,切点分别为,求直线的方程,并对此命题进行推广；
(2)过圆内部一点作动弦,过分别作圆的切线,设两条切线的交点为,求证:点恒在一条定直线上运动.
【分析】第问,已知圆方程及圆上一点,则过点且与圆相切的方程是,若圆上另一点,则过点且与圆相切的方程是,而本题要求的是直线的方程,如果说上述两条切线相交于,则此点必同时满足两条切线方程,就可得,从而说明了及点均在直线上,这就是圆的氻点弦的方程.上述解题思路就是典型的整体处理法,有效地避开了大量复杂的运算,按照这种整体处理法我们不仅可将圆推广到更为一般的情形,还可以得到椭圆、双曲线及扰物线氻点弦的方程.第(2)问,求证圆内部一点作动弦,过分别作圆的切线且两切线交点为,则点恒在一定直线上运动,其证法仍然是整体处理法,同时也说明了题中的点所担任的运动与静止的角色是相对的,同一个点,根据需要,可随时灵活选择和变换其角色,常得妙解.
【解析】(1)设切点,则过点的圆的切线方程分别为
又两切线均过点,故有.这就说明点及点均在直线上.
不同两点决定唯一的直线,直线的方程为.
按照上述整体处理法,可得下面一系列推广性命题：
推广一过圆外一点向圆作两条切线,切点分别为,则切点弦所在的直线方程为
推广二过椭圆外一点向椭圆作两条切线,切点分别为,则切点弦所在的直线方程为
推广三过双曲线外一点向双曲线作两条切线,切点分别为,则切点弦所在的直线方程为
推广四过拋物线外一点向拋物线作两条切线,切点分别为,则切点弦所在的直线方程为.
(2)设,不妨将都视为定点(视动为静),先求直线的方程.切线的方程为,切线的方程为,
点在切线上
这表明点都在直线上,故直线的方程为
,
又点在直线上,
对任意点都满足式(1),故动点必在直线上(换静为动).
第58讲构造整体法
在解题过程中,有时可将局部的问题通过适当的增添补形得出某一整体或通过构造出若干整体表示,使问题容易解决,这种方法称为构造整体的思想方法.
典型例题
【例1】不查表,求的值.
【分析】本题要直接求的值是困难的,可以将看作局部,构造整体,把原问题转化为求整体,可巧妙地得到的值.
【解析】设
,
从而.
【例2】设均为非负数,且满足关系式,求的最值.
【分析】若将与表示为关于的式子,并代入得关于的二次函数,只能求得最小值而无法求得最大值,思维受阻,若将作为整体设元,结合题设等式（注意是3个等式),可获得一种简便的解法.
【解析】设结合原条件，有整体，解得.代人可得.
由于均为非负数,则
当,即时,;
当,即时,.
【例3】(1)求棱长为,各面均为等边三角形的四面体的表面积和体积;
(2)已知四面体中,,求四面体的体积.
【分析】第(1)问,多面体的表面积是各个面的面积之和,求几何体的体积的基：本方法有公式法、割补法和等积更换法,把四面体补成一个正方体,使原四面体是由正方体的六条面对角线构成,就是构造整体法的思路,当然由于本例所给的几何体是正四面体,这种方法的优势不明显.第问,实质上是第问的推广,给出的四面体的对棱相等,若用公式法则操作实属不易,割补法也难入手.这时侯通过等积变换整体构造法的优势就体现出来了,显然这个呬面体是由长方体的6条面对角线构成的,一般地,若四面体的三组对棱长分别为，则设长方体的三度为，则由，可得，则的值可求得（必须满足），
【解析】(1)四面体如图所示)的表面积,取的中点,联结,则,于是.对四面体的体积,一般有以下3种解法,其中解法三将四面体补成一个正方体的方法就是运用整体思想的一个范例,实质上,分割与补形是互相转化的两个方面.
解法一(公式法)如图所示,过作平面,联结,则在中,可得则由锥体的体积公式可得.
解法二（分割法)不难证明平面.又.
解法三(补形法)如图所示,将题中正四面体补成一个正方体(正四面体实质上是由正方体的6条面对角线构成,正方体的棱长为,于是所求正四面体的体积
(2)可知分别是异面直线,故分别过作两平行平面,过作两平行平面,可得一平行六面体,由,可得对角线相等,故为矩形;同理,平行六面体的6个面均为矩形,故它是长方体(如图所示).设,,则解得
.
.
.
注意:还需要指出的是运用补体法求四面体的体积是有条件的,四面体的每个面是锐角三角形才可能存在3组对棱相等的四面体.
【例4】(1)设两点在拋物线上,直线是的垂直平分线,当直线的斜率为2时,求在轴上截距的取值范围;
(2)已知双曲线,经过点能否作一条直线,使与双曲线交于点,且点是线段的中点?若存在这样的直线,求出它的方程;若不存在,说明理由.
【分析】在解析几何中为了求出某个量或探索存在性问题,常常需要借助其他量,对于这些辅助量,只需表示而不必求出,谓之“设而不求”.比如本例两个小题,都需要设出,但这两点的坐标是不需要求出的,而且常常构成如等表示,可以将其视作整体结果加入解题过程,这本质上也是一种整体代换,通常用于解决直线与圆锥曲线相交中涉及弦的中点问题.运用“设而不求”一要注意弦所在直线的斜率是否存在,二要注意运用判别式检验弦所在直线与曲线是否相交.第(1)问的解法中利用了“弦的中点在曲线内部”,对于封闭曲线和扏物线是可以的,但双曲线比较特殊,故第问只能运用判别式讨论直线的存在与否.
【解析】(1)设两点在拋物线上,直线是的垂直平分线,设直线在轴上的截距为,依题意直线的方程为,又设的中点为,则有两式相减可得
.
代人直线方程,得.
线段的中点在拋物线(含焦点)的内部,
,解得.
即直线在轴上截距的取值范围为.
（2）设存在被点平分的弦,且,则，
①②两式相减,得
把③④代人⑤得,故直线的方程为,
由消去,得,而.
这说明直线与双曲线不相交,故被点平分的弦不存在,即不存在这样的直线.