2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第31讲数形结合解函数零点方程根的问题第32讲数形结合解三角问题含解析

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典型例题
【例1】(1) 已知 a>0, 函数 f(x)=x2+2ax+a,x⩽0,-x2+2ax-2a,x>0 若关于 x 的方程 f(x)=ax恰有 2 个互异的实数解,则a的取值范围是。
(2) 已知函数 f(x)=ex,x⩽0,ln⁡x,x>0,g(x)=f(x)+x+a, 若 g(x) 存在 2 个零点, 则a的取值范围是( ).
A. [-1,0)B. 0,+∞C. [-1,+∞)D. [1,+∞)
【分析】
第(1)问,主要考查函数的零点、利用零点个数求参数的取值范围,考查的核心素养是直观想象和逻辑推理.通常研究方程根的情况,可以通过构造函数,研究函数的单调性、最值、图像的变化趋势等求解.根据题目要求,画出函数图像,通过数形结合思想去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.本题可以针对x≤0和x>0直接构造分段函数,利用图像法求解,也可以参变分离构造函数结合导数知识及数形结合求解,第(2)问,破解此类题的关键:一是会转化,先把函数的零点问题转化为方程根的问题,再转化为两个函数图像的交点问题;二是会借形解题,即作出两函数的图像,数形结合可快速找到参数所满足的不等式,解不等式即可求出参数的取值范围.
【解析】
(1) 【解法一】
当x⩽0时, 由x2+2ax+a=ax得a=-x2-ax;
当 x>0 时, 由 -x2+2ax-2a=ax 得 a=-12x2+a2x,
令 g(x)=-x2-ax,x⩽0,-12x2+a2x,x>0 则 g(x)=-x+a22+a24,x⩽0,-12x-a22+a28,x>0
作出直线y=a与函数g(x)的图像, 如5-60(a)所示.
若f(x)=ax恰有 2 个互异的实数解,则a>a28且a