北师大版 (2019)必修 第一册第三章 指数运算与指数函数本章综合与测试巩固练习

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册第三章 指数运算与指数函数本章综合与测试巩固练习，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.某种细菌在培养过程中,每15 min分裂一次(由1个分裂成2个),则这种细菌由1个分裂成4 096个需经过( )
A.12 hB.4 hC.3 hD.2 h
2.已知函数f(x)=-2x+1,x<0,2x,x>0,那么f(f(-1))的值是( )
A.8B.7C.6D.5
3.函数f(x)=a2x-3-5(a>0,且a≠1)的图象恒过点( )
A.32,-4B.32,-5
C.(0,1)D.(0,-5)
4.在下列图象中,二次函数y=ax2+bx+c与函数y=bax的图象可能是( )
5.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1)满足f(1)=19,则f(x)的单调递减区间是( )
A.(-∞,2]B.[2,+∞)
C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]
6.已知a、b∈(0,1)∪(1,+∞),当x>0时,1A.0C.17.当x∈[1,2]时,函数y=12x2与y=ax(a>0)的图象有交点,则a的取值范围是( )
A.12,2B.12,1∪(1,2]
C.14,2D.14,2
8.设y=f(x)在(-∞,1]上有定义,对于给定的实数K,定义fK(x)=f(x),f(x)≤K,K,f(x)>K.给出函数y=f(x)=2x+1-4x,若对于任意x∈(-∞,1],恒有fK(x)=f(x),则( )
A.K的最大值为0B.K的最小值为0
C.K的最大值为1D.K的最小值为1
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.若f(x)=2x,则下列等式不成立的是( )
A.f(x+1)=2f(x)
B.f(x+y)=f(x)·f(y)
C.f(xy)=f(x)·f(y)
D.f(xy)=f(x)+f(y)
10.已知函数y=12x2+2x-1(x∈R),则( )
A.函数的值域为(-∞,4)
B.函数的单调增区间为[-1,+∞)
C.函数的值域为(0,4]
D.函数的单调减区间为[-1,+∞)
11.对于给定的函数f(x)=ax-a-x(x∈R,a>0,a≠1),下列结论正确的是( )
A.函数f(x)的图象关于原点对称
B.函数f(x)在R上不具有单调性
C.函数f(|x|)的图象关于y轴对称
D.当012.若函数f(x)=1+2x+12x+1+x3在区间[-k,k](k>0)上的值域为[m,n],则满足aA.1B.2
C.3D.4
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.计算:2350+2-2×214-12- .
14.若函数f(x)=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第一、三、四象限,则一定有(a-1)b 0.(填“>”“<”或“=”)
15.函数y=1-3x2-2x-3的定义域为 .
16.已知函数f(x)=x+1,0≤x<1,2x-12,x≥1,设a>b≥0,若f(a)=f(b),则b·f(a)的取值范围是 .
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(1)化简:56a13b-2×(-3a-12b-1)÷(4a23·b-3)12(a>0,b>0);
(2)化简:a3b23ab2(a14b12)4a-13b13(a>0,b>0).
18.(12分)已知函数y=f(x)=13ax2-4x+3.
(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)有最大值3,求a的值;
(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.
19.(12分)设函数f(x)=1210-ax,a为非零常数.
(1)若f(3)=12,求使f(x)≥4的x的取值范围;
(2)当x∈[-1,2]时, f(x)的最大值是16,求a的值.
20.(12分)已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,8),B(3,32).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若不等式1ax+1bx+1-2m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围.
21.(12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=3x+1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对任意的t∈[0,2], f(m+t)+f(2t2-3t)>0恒成立,求m的取值范围.
22.(12分)已知函数f(x)=a·2x-11+2x是R上的奇函数.
(1)求a的值;
(2)判断并证明f(x)的单调性;
(3)若对任意实数x,不等式f(f(x))+f(3-m)>0恒成立,求m的取值范围.
答案全解全析
一、单项选择题
1.C 设这种细菌由1个分裂成4 096个需分裂x次,则2x=4 096,解得x=12,故需15×12=180 min,即3 h,故选C.
2.A f(-1)=-2×(-1)+1=3, ∴f(f(-1))=f(3)=23=8.故选A.
3.A 令2x-3=0,得x=32,f32=-4,∴函数f(x)=a2x-3-5(a>0,且a≠1)的图象恒过点32,-4,故选A.
4.A ∵ba>0,∴-b2a<0,即二次函数图象的对称轴在y轴左侧,排除B,D;对于A,C,都有05.B 由f(1)=19,得a2=19,所以a=13(负值舍去),因此f(x)=13|2x-4|.
令y=f(x),u=|2x-4|,则y=13u.因为y=13u在R上单调递减,u=|2x-4|在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递减区间是[2,+∞),故选B.
6.C 因为x>0时,11.因为x>0时,bx0时,abx>1,所以ab>1,所以a>b.所以17.A 当a>1时,如图①所示,要使两个函数图象有交点,需满足12×22≥a2,即1图①
图②
8.D 根据题意可知,对于任意x∈(-∞,1],恒有fK(x)=f(x),则f(x)≤K在x∈(-∞,1]上恒成立,即f(x)的最大值小于或等于K.令2x=t,则t∈(0,2], y=-t2+2t=-(t-1)2+1,可得ymax=1,∴K≥1.故选D.
二、多项选择题
9.CD A中, f(x+1)=2x+1,2f(x)=2·2x=2x+1,等式成立;B中, f(x+y)=2x+y, f(x)·f(y)=2x2y=2x+y,等式成立;C中, f(xy)=2xy≠f(x)·f(y)=2x+y;D中, f(xy)=2xy≠f(x)+f(y)=2x+2y.故选CD.
10.CD 令t=x2+2x-1,则y=12t.因为0<12<1,所以y=12t为减函数.因为t=(x+1)2-2≥-2,所以011.ACD ∵x∈R,f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数, f(x)的图象关于原点对称,∴A正确;当a>1时, f(x)在R上为增函数,当0(-∞,0]上为增函数,在[0,+∞)上为减函数,∴当x=0时,y=f(|x|)取得最大值0,∴D正确.故选ACD.
12.ABC f(x)=1+2·2x2x+1+x3=1+2·2x+1-12x+1+x3=2+1-22x+1+x3=2+2x-12x+1+x3.
记g(x)=2x-12x+1+x3,则f(x)=g(x)+2,易知g(x)为奇函数,则g(x)在[-k,k]上的最大值与最小值互为相反数,∴m+n=4.∴a<4.又a为正整数,∴a=1,2,3.故选ABC.
三、填空题
13.答案 1615
解析 原式=1+14×322×(-12)-0.0112
=1+16-110=1615.
14.答案 <
解析 函数f(x)=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第一、三、四象限,画出草图,如图所示.
由图象可得a>1,f(0)<0,解得a>1且b<0,
∴(a-1)b<0.
15.答案 [-1,3]
解析 由题意得1-3x2-2x-3≥0,∴3x2-2x-3≤1,∴x2-2x-3≤0,∴(x-3)(x+1)≤0,
∴-1≤x≤3,∴其定义域为[-1,3].
16.答案 34,2
解析 画出函数f(x)的图象,如图所示,
若f(a)=f(b),则12≤b<1,
所以b·f(a)=b·f(b)=b(b+1)=b2+b=b+122-14,所以34≤b·f(a)<2.
四、解答题
17.解析 (1)原式=-52a- 16b-3÷(4a23b-3)12
=-54a- 16b-3÷(a13b- 32)(3分)
=-54a- 12·b- 32.(5分)
(2)原式=(a3b2a13b23)12ab2a- 13b13
=a32+16-1+13b1+13-2-13(8分)
=ab-1=ab.(10分)
18.解析 (1)当a=-1时,y=f(x)=13-x2-4x+3,(1分)
令u=-x2-4x+3,则y=13u.
因为u=-x2-4x+3在(-∞,-2]上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减,(2分)
y=13u在R上单调递减,(3分)
所以f(x)在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是[-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2].(5分)
(2)令g(x)=ax2-4x+3,则y=13g(x).
由于y=f(x)有最大值3,因此g(x)应有最小值-1,(6分)
则必有a>0,g2a=-1,解得a=1,(7分)
即当f(x)有最大值3时,a的值为1.(8分)
(3)由指数函数的性质知,
要使f(x)=13ax2-4x+3的值域为(0,+∞),
应使y=ax2-4x+3的值域为R,(9分)
因此只能令a=0.(10分)
若a≠0,则y=ax2-4x+3为二次函数,其值域不可能为R,(11分)
故f(x)的值域为(0,+∞)时,a的值为0.(12分)
19.解析 (1)由f(3)=12得a=3,(2分)
不等式f(x)≥4可化为23x-10≥22,
∴3x-10≥2,∴x≥4.(4分)
故x的取值范围是[4,+∞).(5分)
(2)当a>0时, f(x)=2ax-10是增函数,(6分)
则22a-10=16,解得a=7;(8分)
当a<0时, f(x)=2ax-10是减函数,(9分)
则2-a-10=16,解得a=-14.(11分)
综上,a=-14或a=7.(12分)
20.解析 (1)由题意得ab=8,b·a3=32,(2分)
又a>0且a≠1,∴a=2,b=4,(4分)
∴f(x)=4·2x.(5分)
(2)1ax+1bx+1-2m≥0,即m≤12×12x2+1212x+12.(6分)
令t=12x,则m≤12t2+12t+12.(7分)
记g(t)=12t2+12t+12=12t+122+38,(8分)
由x∈(-∞,1],可得t≥12.(9分)
故当t=12时,函数g(t)取得最小值,最小值为78.(10分)
由题意可得,m≤g(t)min,
∴m≤78.(12分)
21.解析 (1)当x<0时,-x>0,所以f(-x)=3-x+1.(1分)
因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-3-x-1.(3分)
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.(4分)
综上, f(x)=3x+1,x>0,0,x=0,-3-x-1,x<0.(5分)
(2)易知f(x)在(0,+∞)上是增函数,f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(x)在(-∞,0)上是增函数.(6分)
又当x<0时,f(x)<-2,当x>0时,f(x)>2,且f(0)=0,所以f(x)在R上单调递增.(7分)
因为f(x)为奇函数, 所以f(m+t)+f(2t2-3t)>0等价于f(m+t)>f(-2t2+3t),(8分)
则对任意的t∈[0,2],m+t>-2t2+3t恒
成立,(9分)
即m>-2t2+2t对任意的t∈[0,2]恒成立.(10分)
当t=12时,y=-2t2+2t取得最大值12,所以m>12.
故m的取值范围是12,+∞.(12分)
22.解析 (1)∵f(x)为R上的奇函数,
∴f(0)=0,即a-12=0,解得a=1.经检验,符合题意.(2分)
(2)f(x)为R上的增函数.(3分)
由(1)知f(x)=2x-12x+1=1-22x+1,(4分)
证明:任取x1,x2∈R,且x1则f(x1)-f(x2)=1-22x1+1-1-22x2+1=22x2+1-22x1+1=2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1).(6分)
∵x1又(2x1+1)(2x2+1)>0,∴f(x1)∴f(x)为R上的增函数.(8分)
(3)原不等式可化为f(f(x))>-f(3-m),
∵f(x)为R上的奇函数,
∴f(f(x))>f(m-3),(9分)
又∵f(x)为R上的增函数,∴f(x)>m-3,
由此可得不等式m∵2x>0⇒2x+1>1⇒0<22x+1<2⇒-2<-22x+1<0⇒2<4-22x+1<4,∴m≤2.(12分)