北师数学·必修第1册 综合测试3 试卷

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第三章综合测试
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(32)－100的值为(　B　)
A．－2 B．2
C．－4 D．4
[解析]　(32)－100＝3－1＝2.
2．已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝，则M∩N＝(　C　)
A．{0，1} B．{－1，0}
C．{－1，0，1} D．{－2，－1，0，1，2}
[解析]　∵M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝＝{x|－1＞x＋1＞3}＝{x|－2＞x＞2}，∴M∩N＝
{－2，－1，0，1，2}∩{x|－2＞x＞2}＝{－1，0，1}．
3．函数f(x)＝的图象(　D　)
A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
[解析]　显然函数f(x)的定义域是R，∵f(－x)＝＝＝f(x)，∴f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．
4．已知a＝0.24，b＝0.94，c＝0.25.7，则(　C　)
A．b＞c＞a B．a＞b＞c
C．b＞a＞c D．c＞a＞b
[解析]　∵函数y＝0.2x在R上是减函数，5.7＞4，∴a＝0.24＞c＝0.25.7，函数y＝x4在(0，＋∞)上是增函数，0.9＞0.2，∴a＝0.24＞0.94＝b，故有b＞a＞c.
5．已知关于x的不等式＞3－2x，则该不等式的解集为(　B　)
A．[4，＋∞) B．(－4，＋∞)
C．(－∞，－4) D．(－4，1]
[解析]　依题意可知，原不等式可转化为3－x＋4＞3－2x，由于指数函数y＝3x为增函数，所以－x＋4＞－2x，解得x＞－4，故选B.
6．已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝＋1，则f(x)的大致图象是(　B　)

[解析]　当x＞0时，指数函数y＝是减函数，将其图象向上平移1个单位长度，可得函数f(x)＝＋1(x＞0)的图象，而f(x)是R上的奇函数，所以只有选项B符合要求．
7．函数y＝的单调递增区间是(　C　)
A. B．[2，＋∞)
C. D．
[解析]　令t＝＝＝，易知－1≤x≤2，∴y＝，≥t≥0，易知t的单调递减区间为，∴原函数的单调递增区间为.
8．设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对任意的x∈(－∞，1]，恒定fK(x)＝f(x)，则(　D　)
A．K的最大值为0 B．K的最小值为0
C．K的最大值为1 D．K的最小值为1
[解析]　根据题意，对任意的x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，等价于对任意的x∈(－∞，1]，恒有f(x)≤K，等价于函数f(x)在(－∞，1]上的最大值小于或等于K.x∈(－∞，1]时，2x∈(0，2]，函数f(x)＝2x＋1－4x＝－(2x)2＋2·2x＝－(2x－1)2＋1，－(2x－1)2＋1≤1，故函数f(x)在(－∞，1]上的最大值为1，则K≥1，所以K的最小值为1.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．下列运算结果中一定正确的是(　AD　)
A．a3·a4＝a7 B．(－a2)3＝a6
C.＝a D．＝－π
[解析]　对于选项A，a3·a4＝a3＋4＝a7，故A正确；对于选项B，(－a2)3＝－a6，故B错误；对于选项C，当a≥0时，＝a，当a＞0时，＝－a，即＝|a|，故C错误；对于选项D，＝－π，故D正确．
10．已知a＋a－1＝3，下列各式中正确的是(　ABD　)
A．a2＋a－2＝7 B．a3＋a－3＝18
C．a＋a－＝± D．a＋＝2
[解析]　对于A，∵a＋a－1＝3，∴a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝9－2＝7，故A正确；对于B，∵a＋a－1＝3，∴a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝3×6＝18，故B正确；对于C，∵a＋a－1＝3，∴(a＋a－)2＝a＋a－1＋2＝5，又a＞0，∴a＋a－＝，故C错误；对于D，∵a3＋a－3＝18，且a＞0，∴＝a3＋a－3＋2＝20，∴a＋＝2，故D正确．
11．函数y＝22x－2x＋1＋2的定义域为M，值域P＝[1，2]，则下列结论中一定正确的有(　BCD　)
A．M＝(－∞，1) B．M⊆(－∞，1]
C．1∈M D．0∈M
[解析]　令t＝2x＞0，则y＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1是关于t的一元二次函数．由值域P＝[1，2]，且根据二次函数的图象(图略)可知，t的取值范围最大是(0，2]，因此x的取值范围，即定义域M⊆(－∞，1]．当y＝1时，x只能为0，所以0∈M.当y＝2时，x只能为1，所以1∈M.所以正确结论的选项为BCD.
12．若实数a，b满足2a＋3a＝3b＋2b，则下列关系式中可能成立的是(　ABD　)
A．0＞a＞b＞1 B．b＞a＞0
C．1＞a＞b D．a＝b
[解析]　由2a＋3a＝3b＋2b，设f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x，易知f(x)，g(x)都是增函数，画出f(x)，g(x)的图象，如图所示．根据图象可知：当0＞x＞1时，f(x)图象在g(x)图象的上方，所以0＞a＞b＞1，f(a)＝f(b)可能成立，故A正确；当x＞0时，因为f(x)图象在g(x)图象的下方，所以b＞a＞0，f(a)＝f(b)可能成立，故B正确；当a＝b＝0或1时，显然成立，故D正确；当x＞1时，因为f(x)图象在g(x)图象下方，所以1＞a＞b，f(a)＝g(b)不可能成立，故C错误．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数f(x)为指数函数，且f＝，则f(－2)＝____.
[解析]　设f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，
∴＝a－＝，
∴＝，∴a＝3.
∴f(x)＝3x，∴f(－2)＝3－2＝.
14．函数y＝＋的定义域是__{x|－2≤x＞0且x≠－1}__．
[解析]　由题意得不等式组
即解得－2≤x＞0且x≠－1，
所以函数的定义域是{x|－2≤x＞0且x≠－1}．
15．如果指数函数f(x)＝(a－1)x是R上的减函数，则函数g(x)＝a|x|的单调递增区间为__[0，＋∞)__．
[解析]　∵指数函数f(x)＝(a－1)x是R上的减函数，
∴0＞a－1＞1，解得1＞a＞2.
设t＝|x|，则根据复合函数的单调性可得，
当x≥0时，函数g(x)单调递增，当x＞0时，函数g(x)单调递减．
故函数g(x)的单调递增区间是[0，＋∞)．
16．已知函数f(x)＝2x且f(x)＝g(x)＋h(x)，其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，若不等式2a·g(x)＋h(2x)≥0对任意x∈[1，2]恒成立，则
(1)g(x)＝____；
(2)实数a的取值范围是____．
[解析]　(1)∵f(x)＝g(x)＋h(x)　　①，
其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，
∴f(－x)＝g(－x)＋h(－x)＝－g(x)＋h(x)　②，
①②联立得g(x)＝＝.
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝，若不等式2a·g(x)＋h(2x)≥0对任意x∈[1，2]恒成立，即a(2x－2－x)＋≥0恒成立．
令t＝2x－2－x，则t∈，则22x＋2－2x＝(2x－2－x)2＋2＝t2＋2，即2at＋t2＋2≥0在t∈上恒成立，即a≥－恒成立．
∵y＝t＋在t∈上单调递增，∴当t＝时，
t＋取得最小值为，∴－的最大值为－，∴a≥－.
故实数a的取值范围为.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(1)已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x－1＞3}，B＝{x|2x＋3≥11}．求A∪B，∁U(A∩B)；
(2)化简：.
[解析]　(1)A＝{x|1≤x－1＞3}＝{x|2≤x＞4}，
B＝{x|2x＋3≥11}＝{x|x≥3}．
则A∪B＝{x|x≥2}，A∩B＝{x|3≤x＞4}，
则∁U(A∩B)＝{x|x＞3或x≥4}．
(2)原式＝24x－＋·y－＋＋＝24x0y1＝24y.
18．(本小题满分12分)计算下列各式的值：
(1)(×)6＋()－4×－×80.25－(－2 020)0；
(2)÷×.
[解析]　(1)原式＝＋－4×(24×7－2)－－2×(23)－1＝22×33＋2×－22×(2－2×7)－2×2－1＝4×27＋2－7－2－1＝100.
(2)原式＝÷×a＝××a＝＝a.
19．(本小题满分12分)已知指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)过点(－2，9)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(2m－1)－f(m＋3)＞0，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)将点(－2，9)代入f(x)＝ax，得a－2＝9，解得a＝，∴f(x)＝.
(2)∵f(2m－1)－f(m＋3)＞0，∴f(2m－1)＞f(m＋3)．
∵f(x)＝为减函数，∴2m－1＞m＋3，解得m＞4.
故实数m的取值范围为(4，＋∞)．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝3x，且f(a＋2)＝18，g(x)＝3a－4x的定义域为[0，1]．
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)判断函数g(x)的单调性；
(3)求函数g(x)的值域．
[解析]　(1)∵f(x)＝3x，∴f(a＋2)＝3a＋2＝18，
∴3a＝2.
∴g(x)＝2－4x(x∈[0，1])．
(2)设x1，x2为区间[0，1]上任意的两个值，且x1＞x2，则g(x2)－g(x1)＝2－4 x2－2＋4 x1＝4 x1－4 x2，∵0≤x1＞x2≤1，∴4x2＞4 x1，∴g(x2)－g(x1)＞0，即g(x2)＞g(x1)．
∴函数g(x)在[0，1]上是减函数．
(3)∵g(x)在[0，1]上是减函数，
∴x∈[0，1]时，有g(1)≤g(x)≤g(0)．
∵g(1)＝2－41＝－2，g(0)＝2－40＝1，∴－2≤g(x)≤1.
故函数g(x)的值域为[－2，1]．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x＋2ax＋b，且f(1)＝，f(2)＝.
(1)求a，b；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)试判断函数在(－∞，0]上的单调性，并证明．
[解析]　(1)由已知得
解得
(2)由(1)知，f(x)＝2x＋2－x.因为f(－x)＝2－x＋2－(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
(3)函数f(x)在(－∞，0]上单调递减．
证明：设x1，x2∈(－∞，0]，且x1＞x2，则
f(x1)－f(x2)＝(2x1＋2－x1)－(2 x2＋2－x2)＝(2 x1－2 x2)＋＝.
∵x1＞x2≤0，∴0＞2 x1＞2 x2≤1，∴2 x12 x2＞0，2 x1－2 x2＞0，2 x12 x2－1＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
∴函数f(x)在(－∞，0]上单调递减．
22．(本小题满分12分)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)证明f(x)在R上为减函数；
(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＞0恒成立，求k的取值范围．
[解析]　(1)∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴b＝1.
又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.
经检验a＝1，b＝1符合题意．
(2)任取x1，x2∈R，且x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
∵x1＞x2，∴2 x2－2 x1＞0.又(2 x1＋1)(2 x2＋1)＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，故f(x)为R上的减函数．
(3)∵t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＞0恒成立，
∴f(t2－2t)＞－f(2t2－k)．
∵f(x)为奇函数，∴f(t2－2t)＞f(k－2t2)．
∵f(x)为R上的减函数，∴t2－2t＞k－2t2，即k＞3t2－2t恒成立，而3t2－2t＝3－≥－，∴k＞－.
故k的取值范围为.