高中数学第二章基本初等函数I2.2对数函数及其性质5作业含解析新人教版必修

对数函数及其性质

基础巩固

一、选择题

1．当－1≤x≤1时，函数y＝2x－2的值域为 (　　)

A．[－，0] B．[0，]

C．[－1,0] D．[－，1]

[答案]　A

[解析]　∵y＝2x－2在x∈[－1,1]上单调递增，

∴2－1－2≤y≤21－2，即－≤y≤0.

2．设a＝3，b＝()0.3，c＝2，则a，b，c的大小关系是 (　　)

A．a＜b＜c B．c＜b＜a

C．c＜a＜b D．b＜a＜c

[答案]　A

[解析]　∵a＝3＜1＝0,0＜b＝()0.3＜()0＝1，c＝2＞20＝1，∴a＜b＜c，故选A.

3．已知lga＝2.31，lgb＝1.31，则等于 (　　)

A.   B.

C．10 D．100

[答案]　B

[解析]　由已知得a＝102.31，b＝101.31，

＝＝101.31－2.31＝10－1＝.

4．当a＞1时，函数y＝ax和y＝(a－1)x2的图象只可能是 (　　)

[答案]　A

[解析]　由a＞1知函数y＝ax的图象过点(0,1)，分布在第一和第二象限，且从左到右是上升的．

由a＞1知函数y＝(a－1)x2的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点为原点，综合分析可知选项A正确．

5．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是 (　　)

A．y＝4　　　　 B．y＝()1－2x

C．y＝ D．y＝

[答案]　B

[解析]　y＝4的值域为{y|y>0且y≠1}；

y＝的值域为{y|y≥0}；

y＝的值域为{y|0≤y<1}，故选B.

6．已知函数f(x)＝(3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是 (　　)

A．－8≤a≤－6 B．－8<a<－6

C．－8<a≤－6 D．a≤－6

[答案]　C

[解析]　⇒－8<a≤－6，故选C.

二、填空题

7．函数f(x)＝ax－2＋loga(x－1)＋1(a＞0，a≠1)的图象必经过定点________.

[答案]　(2,2)

[解析]　当x＝2时，f(2)＝a0＋loga1＋1＝2，所以图象必经过定点(2,2)．

8．已知f(x)的定义域为(0,1)，则f(3x)的定义域为________.

[答案]　(－∞，0)

[解析]　∵f(x)的定义域为(0,1)，

∴0＜3x＜1，∴x＜0，故应填(－∞，0)．

三、解答题

9．已知函数y＝2x2－6x＋7.

(1)求函数的定义域、值域；

(2)确定函数的单调区间．

[解析]　(1)设u＝x2－6x＋7，由于函数y＝2u及u＝x2－6x＋7的定义域都是R，故函数y＝2x2－6x＋7的定义域为R.

∵u＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2≥－2，又函数y＝2u在R上单调递增，

∴2u≥2－2.

∴函数y＝2x2－6x＋7的值域为[，＋∞)．

(2)函数u＝x2－6x＋7在[3，＋∞)上是增函数，即对任意的x1、x2∈[3，＋∞)，且x1<x2，有u1<u2，从而2u1<2u2，即y1<y2，∴函数y＝2x2－6x＋7在[3，＋∞)上是增函数，同理可知y＝2x2－6x＋7在(－∞，3]上是减函数．

10．已知函数f(x)＝x2－x＋k，且log2f(a)＝2，f(log2a)＝k，a＞0，且a≠1.

(1)求a，k的值；

(2)当x为何值时，f(logax)有最小值？求出该最小值．

[解析]　(1)因为

所以

又a＞0，且a≠1，

所以

(2)f(logax)＝f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2＝(log2x－)2＋.

所以当log2x＝，即x＝时，

f(logax)有最小值.

能力提升

一、选择题

1．函数f(x)＝的定义域是 (　　)

A．[4，＋∞)　　　　　 B．(10，＋∞)

C．(4,10)∪(10，＋∞) D．[4,10)∪(10，＋∞)

[答案]　D

[解析]　由解得∴x≥4且x≠10，

∴函数f(x)的定义域为[4,10)∪(10，＋∞)，故选D.

2．函数f(x)＝()x－b的图象如下图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是 (　　)

A．a>1，b<0 B．a>1，b>0

C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0

[答案]　A

[解析]　由图知0<<1，∴a>1.f(0)＝()－b＝ab<1，∴b<0.

3．已知x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝()lnx，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为 (　　)

A．c＞b＞a B．b＞c＞a

C．a＞b＞c D．b＞a＞c

[答案]　B

[解析]　∵x∈(e－1,1)，∴lnx∈(－1,0)，∴a∈(－1,0)，b∈(1,2)，c∈(e－1,1)，∴b＞c＞a，选B.

4．已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f()＝4，则f(2016)的值为 (　　)

A．－4 B．－2

C．0 D．2

[答案]　C

[解析]　f(x)＋f()＝alog2x＋blog3x＋2＋alog2＋blog3＋2＝4，

∴f(2016)＋f()＝4，

又f()＝4，∴f(2016)＝0.

二、填空题

5．若函数y＝|2x－1|在(－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是________.

[答案]　(－∞，0]

[解析]　在直角坐标系中作出y＝2x的图象，把图象沿y轴向下平移1个单位得y＝2x－1的图象，再把y＝2x－1的图象在x轴下方的部分关于x轴翻折，其余部分不变．如图，所得为y＝|2x－1|的图象，由图可知y＝|2x－1|在(－∞，0]上单调递减，∴m∈(－∞，0]．

6．设f(x)＝满足f(n)＝－，

则f(n＋4)＝________.

[答案]　－2

[解析]　当n＞6时，f(n)＝－log3(n＋1)＝－，

解得n＝3－1＜3－1＝2＜6，不合题意．

当n≤6时，f(n)＝3n－6－1＝－，解得n＝4，

则f(n＋4)＝f(4＋4)＝f(8)＝－log3(8＋1)＝－log39＝－2.

三、解答题

7．设函数f(x)＝－，

(1)证明函数f(x)是奇函数；

(2)证明函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数；

(3)求函数f(x)在[1,2]上的值域．

[解析]　(1)由题意，得x∈R，即函数的定义域关于原点对称，

f(－x)＝－＝－

＝＝－＋＝－f(x)，

∴函数f(x)为奇函数．

(2)设x1，x2是(－∞，＋∞)内任意两实数，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－－＋

＝

∵x1<x2，

∴2x1－2x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，

∴函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数．

(3)∵函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数，

∴函数f(x)在[1,2]上也是增函数，

∴f(x)min＝f(1)＝，

f(x)max＝f(2)＝，

∴函数f(x)在[1,2]上的值域为[，]．

8．已知函数y＝f(x)的图象与g(x)＝logax(a＞0，且a≠1)的图象关于x轴对称，且g(x)的图象过点(9,2).

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若f(3x－1)＞f(－x＋5)成立，求x的取值范围．

[解析]　(1)∵loga9＝2，解得a＝3，∴g(x)＝log3x.

∵函数y＝f(x)的图象与g(x)＝log3x的图象关于x轴对称，

∴f(x)＝x.

(2)∵f(3x－1)＞f(－x＋5)，

∴(3x－1)＞(－x＋5)，

则

解得＜x＜，即x的取值范围为{x|＜x＜}．