2023年江苏省苏州市昆山市、常熟市、太仓市、张家港市中考数学一模试卷（含解析）

2023年江苏省苏州市昆山市、常熟市、太仓市、张家港市中考数学一模试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  函数中自变量的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线，交于点若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  在中国传统数学著作九章算术中有这样一个问题：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价一马、二牛价不满一万，如半牛之价，问牛、马价各几何？”译文：“今有匹马、头牛的总价超过钱，其超出的钱数相当于匹马的价格匹马、头牛的总价不足钱，所差的钱数相当于头牛的价格问每头牛、每匹马的价格各是多少？”设每匹马的价格为钱，每头牛的价格为钱，则依据条件可列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  数学实验是学习数学的一种重要方式，有益于我们深入思考问题一次，数学兴趣小组的同学拿出如图所示的矩形纸片，其中，他们将纸片对折使，重合，展开后得折痕；又沿折叠使点落在处，展开后又得到折痕；再沿折叠使点落在上的处，大家发现了很多有趣的结论就这个图形，请你探究的值(    )
 

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  ______ ．

10.  年春节假日期间，苏州市共接待游客人次，用科学记数法表示为______ ．

11.  如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的击中边界或没有击中游戏板，则重投一次，任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是______ ．

12.  如果关于的方程有两个相等的实数根，那么关于的多项式因式分解的结果是______ ．

13.  如图，已知在平面直角坐标系中，、，菱形的顶点在轴正半轴上，则点的坐标为______ ．

14.  如图，正方形的边长是，延长到，以为圆心，为半径的弧恰好经过正方形的顶点，则的长为______ ．

15.  从小明家到奶奶家的路线上有一个公园一天小明从家里出发沿这条路线骑行他从家出发小时后到达该公园，游玩一段时间后继续按原速骑车前往奶奶家小明离家小时分钟后，爸爸驾车沿相同路线直接前往奶奶家，如图是他们离家的路程与小明离家时间的函数图象已知爸爸驾车的速度是小明骑行速度的倍，爸爸比小明早到分钟，根据图象可以推算小明家到奶奶家的路程为______ ．

16.  如图，已知中，，，，将绕点逆时针旋转得，当第一次与平行时，连接并延长交于点，则 ______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

17.  解方程组．

四、解答题（本大题共10小题，共77.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中满足．

20.  本小题分
如图，某校食堂实行统一配餐，为方便学生取餐，食堂开设了个窗口，分别记为、、、，学生可以从这个窗口中任意选取一个窗口取餐．
若小明去食堂用餐时个窗口都没有人，则小明选择在号窗口取餐的概率是______ ；
若小红和小丽一起去食堂用餐时个窗口都没有人，求小红和小丽在相邻窗口取餐的概率请用画树状图或列表等方法说明理由

21.  本小题分
如图，，是的中点，延长交于点，与的延长线交于点．
求证：≌；
若，，，求的长．

22.  本小题分
年月日是第个世界读书日，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间用表示，单位：小时，采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按、、、、分为五个等级，并依次用、、、、表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：

参加问卷调查的学生人数为______ 名，补全条形统计图画图并标注相应数据；
在本次调查中，被调查学生每周课外阅读时间的中位数位于______ 等级；填、、、或
若该校共有学生人，试估计每周课外阅读时间满足的人数．

23.  本小题分
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，▱的顶点在轴上，反比例函数的图象经过点，．
求、的值和点的坐标；
求▱的面积．

24.  本小题分
如图，已知中，，点是边上的动点不与点重合，以为圆心，为半径的与交于，连接并延长交于点，连接．
当时，判断直线与的位置关系并说明理由；
若，，的半径为，求为何值时，的值最大，这个最大值是多少？

25.  本小题分
某商场计划销售甲、乙两种品牌的电脑，甲电脑进价比乙电脑高万元台现计划用万元购进甲电脑，万元购进乙电脑，甲电脑数量与乙电脑数量之比恰好为：．
该商场计划购进甲、乙两种电脑各多少台？
通过市场调研，甲电脑的利润率是，乙电脑的利润率是，该商场决定在原计划的基础上更改购进策略：减少甲电脑的购进数量，增加乙电脑的购进数量，已知乙电脑增加的数量是甲电脑减少的数量的倍，且用于购进这两种电脑的总资金不超过万元更改购进策略后，该商场怎样进货，使全部销售后获得的总利润最大？并求出最大总利润利润利润率进价

26.  本小题分
如图，已知二次函数其中、为常数，，，它的图象交轴于点，点在的左侧，交轴于点，直线交二次函数图象的对称轴于点．
用含的代数式表示以及点，的坐标；
如图，若二次函数图象的顶点是，直线交于，求取何值时；
如图，直接写出为锐角三角形时的取值范围．

27.  本小题分
如图，已知是半圆的直径，点在半圆上，，，点是上的动点，，交于，连接，．
问题解决：如图，若为中点，则 ______ ；
问题探究：如图，当时，若四边形的面积为，求的长．
拓展延伸：如图，作交于点，当为等腰三角形时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：

．
故选：．
有理数除法法则：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数，由此即可计算．
本题考查有理数的除法，关键是掌握有理数除法法则．
 

2.【答案】 

【解析】解：、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
观察四个选项中的图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，仔细观察图形根据定义正确判断是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故选：．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，就可以求解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
由作法得平分，
，
．
故选：．
先根据平行线的性质得到，再利用基本作图得到，然后根据三角形外角性质可计算出的度数．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和平行线的性质．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形为的内接四边形，
，
，，
，
，
解得：，
故选：．
根据圆内接四边形的性质得出，根据圆周角定理得出，再求出答案即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：依题意，得：．
故选：．
根据“匹马、头牛的总价超过钱，其超出的钱数相当于匹马的价格；匹马、头牛的总价不足钱，所差的钱数相当于头牛的价格”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：延长、交于点，

沿折叠使点落在上的处，
，
，
，
，
，
他们将纸片对折使，重合，
，
，
设，，
，
，
，
，
故选：．
延长、交于点，首先利用翻折的性质和平行线的性质得，再设，，则，最后根据，得．
本题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据特殊角的三角函数值即可求解．
考查了特殊角的三角函数值，是基础题目，比较简单．
 

10.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

11.【答案】 

【解析】解：共有小正方形，其中阴影部分为个小正方形，
任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是．
故答案为：．
根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
所以．
故答案为：．
先根据根的判别式的意义得到，解得，然后利用公式法对进行因式分解即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

13.【答案】 

【解析】解：、，
，，
四边形是菱形，
，
，
，
，
点在第二象限，轴，且，
，
故答案为：
由、，得，，由菱形的性质得，则，所以，而轴，所以，于是得到问题的答案．
此题重点考查图形与坐标、菱形的性质、勾股定理等知识，求出菱形的边长及的长是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，

由勾股定理得：，
是小正方形的对角线，
，
的长度是．
故答案为：．
连接，根据勾股定理求出，求出，再根据弧长公式求出答案即可．
本题考查了正方形的性质和弧长计算等知识点，注意：一条弧所对的圆心角是，半径为，那么这条弧的长度是．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图象和已知可得：小明骑车速度为，爸爸驾车的速度为，
小时分钟，分钟，
设小明家到奶奶家的路程为，由题意可知：
，
解得：，
小明家到奶奶家的路程为．
故答案为：．
求出小明骑车速度为，爸爸驾车的速度为，设小明家到奶奶家的路程为，由爸爸比小明早到分钟可得，即可解得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，交于，交于，

，
，
又，
四边形是矩形，
，，
，，，
，
将绕点逆时针旋转得，
，，，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造矩形是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
得：，
解得：，
将代入得：，
则原方程组的解为． 

【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

18.【答案】解：

． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式


，
，
，
，
原式． 

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出的值，代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：若小明去食堂用餐时个窗口都没有人，则小明选择在号窗口取餐的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小红和小丽在相邻窗口取餐的结果有种，即、、、、、，
小红和小丽在相邻窗口取餐的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小红和小丽在相邻窗口取餐的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】证明：，
，，
是的中点，
，
在与中，
，
≌；
≌，
，
，
，
，，，
，
，
解得：，
． 

【解析】由平行线的性质可得，，再由中点可得，则可判定≌；
由平行线可得，则可求得，再结合可求解．
本题主要考查全等三角形的判定与性质相似三角形的判定和性质，解答的关键是由已知条件得出．
 

22.【答案】   

【解析】解：参加问卷调查的学生人数为：，
等级的学生人数为：，
等级的学生人数为：，
补全的条形统计图如右图所示，
故答案为：；
由统计图可知，
在本次调查中，被调查学生每周课外阅读时间的中位数位于等级，
故答案为：；
人，
即估计每周课外阅读时间满足的有人．
根据等级的人数和所占的百分比，可以计算出参加问卷调查的学生人数，然后根据等级所占的百分比，可以计算出等级的人数，再计算等级的人数，即可将条形统计图补充完整；
根据条形统计图中的数据，可以写出中位数位于哪一个等级；
根据条形统计图中的数据，可以计算出每周课外阅读时间满足的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】解：点在直线上，
，
，
，
反比例函数的图象经过点，
；
直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
，
点向上平移个单位，向右平移个单位得到，
设，则，
反比例函数的图象经过点，
，
，
，，
延长交轴于点，
设直线为，
把、的坐标代入得，
解得，
直线为，
，
▱的面积． 

【解析】把点代入直线的解析式即可求得，得到，然后利用待定系数法即可求得的值，由直线解析式求得、的坐标，根据平行四边形的性质即可、的坐标可知点向上平移个单位，向右平移个单位得到，故设，则，由点在反比例函数图象上即可求得，；
利用待定系数法求得直线的解析式，进而即可求得的坐标，根据▱的面积求得即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，平行四边形的性质，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
 

24.【答案】解是的切线，
理由如下：
如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线，是切点．
如图，连接，
，
，
是的直径，
，
，
又，
∽，
，
，
设，则，
，
当时，，的值最大，最大值是． 

【解析】连接，由得，证出，由得，由得，从而，即可得到结论．
利用勾股定理求出，证明∽，可得，，设，则，，利用二次函数的性质即可得到最大值．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数求最值等知识，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定是解题的关键．
 

25.【答案】解：设商场计划购进甲电脑台，则计划购进乙电脑台，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
，，
商场计划购进甲电脑台，购进乙电脑台；
设购进甲电脑减少台，则购进乙电脑增加台，
由知甲电脑的进价为万元，乙电脑的进价为万元，
用于购进这两种电脑的总资金不超过万元，
，
解得：，
设商场获得的总利润为元，
根据题意得：，
，为整数，
时，取最大值，最大值为万元，
，，
商场购进台甲电脑，台乙电脑，使全部销售后获得的总利润最大，最大总利润为万元． 

【解析】设商场计划购进甲电脑台，则计划购进乙电脑台，可得：，解方程并检验，可得商场计划购进甲电脑台，购进乙电脑台；
设购进甲电脑减少台，由用于购进这两种电脑的总资金不超过万元，可得：，设商场获得的总利润为元，可得，再根据一次函数性质可得答案．
本题考查分式方程的应用及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
 

26.【答案】解：当时，，
则，
令，
解得：或，
即点、的坐标分别为：、；

当时，
则，即，
由抛物线的表达式知，点，
在中，，
同理可得：，
则，
解得：不合题意的值已舍去；

根据函数的对称性，，故CE，
则为锐角，故存在、可能为钝角．
当为锐角时，则为钝角，
当为直角时，
，，
，
，即，
即，
解得：不合题意的值已舍去；
则为钝角时，；
当为锐角时，
当为直角时，则为等腰直角三角形，
则，则，
即，则，
故当为锐角时，；
综上，为锐角三角形时的取值范围为：． 

【解析】当时，，则，令，解得：或，即可求解；
当时，则，即，即可求解；
根据函数的对称性，，故CE，则为锐角，故存在、可能为钝角，然后分类求解即可．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、解直角三角形、三角形相似等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
 

27.【答案】 

【解析】解：是半圆的直径，
，
，为的中点，
，
又，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
过点作于点，

，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
解得或不合题意，舍去，
，
；
分三种情况：
若，
，
又，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
；
若，此时，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
设，则，，
，
，
，
；
若，此时，
，，
，
，
为的中点，
设，
，，
∽，
，
，
，
，，，，
，
，
，
，
解得，
．
综上所述，的长为或或．
由圆周角定理得出，证出，则可得出答案；
过点作于点，由四边形的面积求出，证明∽，由相似三角形的性质得出，求出，则可得出答案；
分三种情况：若，若，若，由相似三角形的性质及勾股定理可得出答案．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考压轴题．