2022-2023学年江苏省苏州市昆山市、太仓市、常熟市、张家港市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省苏州市昆山市、太仓市、常熟市、张家港市九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列方程中，一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.    用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    关于的方程的一个解为，则该方程的另一个解是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取株水稻苗，测得苗高单位：分别是：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.    已知的直径为，线段，那么点与的位置关系是(    )

A. 点在外 B. 点在上 C. 点在内 D. 不能确定

6.    如图，是的直径，，是上位于两侧的点，若，则度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.    如图，是的直径，半径于点，平分，交于点，交于点，连接，，给出以下四个结论：
   ；；；．
   其中结论正确的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    如图，半圆的直径，弦，平分，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.    一元二次方程的解是______．
10. 若关于的方程有一个根是，则______．
11. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于______．
12. 如图，在的正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为，点，，为格点，即是小正方形的顶点，若将扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆半径为______．

13. 已知，有一量角器如图摆放，中心在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于，两点，点，对应的刻度分别为，，则______

14. 如图，等边内接于，若，则图中阴影部分的面积为______结果保留

15. 平面直角坐标系中，以点为圆心的，若该圆上有且仅有两个点到轴的距离等于，则的半径的取值范围是______．
16. 如图，在平面直角坐标系中，半径为的与轴交于点，，与轴交于点，，连接，已知轴上一点，点是上一动点，连接，点为的中点，连接，，则面积的最小值为______．

三、解答题（本大题共11小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
18. 本小题分
    已知，求的值．
19. 本小题分
    已知关于的方程．
    若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
    如果方程的两个实数根为，，且，求的值．
20. 本小题分
    如图，有一块破碎的圆形玻璃边缘残片，现需要配制一块同样大小的圆形玻璃．请用圆规和无刻度的直尺确定该玻璃残片所在圆的圆心，并补全该残缺的圆．保留作图痕迹，不写作法

21. 本小题分
    某射箭俱乐部准备从甲，乙两位射箭运动员中选出一人参加俱乐部联赛．现两人在选拔赛中各射了箭，甲，乙两人的比赛成绩如下单位：环：
    甲：，，，，，，，，，；
    乙：，，，，，，，，，．
    教练组根据两人的比赛成绩绘制了如下不完整的数据分析表：

根据以上数据解答下列问题：
由上表填空：______，______，______；
根据本次选拔赛结果，请你从平均数和方差的角度分析，应选择其中哪一位参加俱乐部联赛更好些？

22. 本小题分
    为丰富学生课外活动，各校积极开展各类社团活动．某校开设了“健美操”社团项目，某班级名有舞蹈基础的学生准备报名参加“健美操”社团，其中名男生，名女生，由于该社团名额有限，只能从中随机选取部分学生进入“健美操”社团．
    若只能从这名学生中随机选取人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为______；
    若从这名学生中随机选取人进入“健美操”社团，请用画树状图或列表格的方法，求选中的名学生中恰好是男女的概率．
23. 本小题分
    阅读理解以下内容，解决问题：
    例：解方程：．
    解：，
    方程即为：，
    设，原方程转化为：
    解得，，，
    当时，即，，；
    当时，即，不成立．
    综上所述，原方程的解是，．
    以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”“元”即未知数．
    已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；
    仿照上述方法，解方程：．
24. 本小题分
    某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角阴影部分，两边足够长，用米长的篱笆围成一个矩形花园篱笆只围，两边，设米．
    若花园的面积为米，求的值；
    若在直角墙角内点处有一棵桂花树，且与墙，的距离分别是米，米，要将这棵树围在矩形花园内含边界，不考虑树的粗细，则花园的面积能否为米？若能，求出的值；若不能，请说明理由．

25. 本小题分
    如图，中，，以为直径作，分别交，于点，，过点作，交于点，垂足为，连接．
    若，求的度数；
    若，，求弦的长．

26. 本小题分
    如图，在中，，平分，交于点，以上一点为圆心的经过点，，分别交，于点，．
    求证：是的切线；
    若，，求的半径；
    试探究线段，，三者之间满足的数量关系，并证明你的结论．

27. 本小题分
    已知矩形中，，，点是上一动点，的半径为为定值，当经过点时，此时恰与对角线相切于点，如图所示．
    
    求的半径；
    若从点出发圆心与点重合，沿方向向点平移，速度为每秒个单位长度，同时，动点，分别从点，点出发，其中点沿着方向向点运动，速度为每秒个单位长度，点沿着射线方向运动，速度为每秒个单位长度，连接，如图所示．当平移至点圆心与点重合时停止运动，点，也随之停止运动．设运动时间为秒．
    在整个运动过程中，是否存在某一时刻，与相切？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由；
    在运动过程中，当直线与相交时，直线被截得的线段长度记为，且满足，则运动时间的取值范围是______．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：整理可得，是一元一次方程，故本选项不合题意；
B.该选项的方程是分式方程，故本选项不符合题意；
C.是二元二次方程，故本选项不符合题意；
D.是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：利用根与系数的关系，可得：
，
的方程的一个解为，
，
故选：．
利用根与系数的关系即可求解．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．
 

4.【答案】 

【解析】解：这组数据中，出现次数最多的是，共出现次，因此众数是，
将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是，因此中位数是，
即：众数是，中位数是，
故选：．
根据众数、中位数的定义进行解答即可．
本题考查众数、中位数，掌握众数、中位数的定义是正确解答的前提．
 

5.【答案】 

【解析】解：的直径为，
的半径为，
而圆心的距离为，
点在外．
故选：．
根据题意得的半径为，则点到圆心的距离大于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点在外．
本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有点在圆外；点在圆上；点在圆内．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
是的直径，
，
，

，
故选：．
由是的直径，可得，再根据“同弧所得的圆周角相等”可得，再根据三角形内角和定理进行计算即可．
本题考查圆周角定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”以及“同弧所得的圆周角相等”是正确解答的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设的半径为，则，
，，
平分，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
故正确；
∽，
，
，
故错误；
，
，
，
故正确；
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
故正确，
故选：．
设的半径为，则，，先证明∽，再根据勾股定理求得，则，所以，得，可判断正确；
由∽，得，则，可判断错误；
由，得，则，可判断正确；
由，，证明∽，得，所以，即可证明，可判断正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查圆的有关概念和性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽及∽是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，，作于，于，

，，
平分，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，．
故选：．
连接，，作于，于，运用圆周角定理，可证得，即证≌，所以，根据勾股定理，得，在直角三角形中，根据勾股定理，可求的长．
本题考查了圆周角定理以及勾股定理，掌握圆周角定理并灵活运用是解题的关键，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

9.【答案】， 

【解析】解：原方程变形为，
，．
故答案为，．
利用因式分解法即可解．
本题考查解一元二次方程因式分解法．
 

10.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
解得．
故答案为：．
把代入方程得，然后解关于的一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

11.【答案】 

【解析】解：是方程的一个实数根，
，
整理得，，
再把代入，
，
，是方程的一个实数根，
，
，
故答案为：．
利用是方程的一个实数根，代入可得，整理得，，再利用根与系数的关系即可求出代数式的值．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系以及把根代入方程，利用降次方法解答．
 

12.【答案】 

【解析】解：设这个圆锥的底面半径为，
，
所以，
解得，
即这个圆锥的底面半径为．
故答案为：．
设这个圆锥的底面半径为，利用勾股定理计算出，由于这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则根据弧长公式得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，

根据题意得，
，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，，根据圆周角定理得出，，进而得出，，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角性质求解即可．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接、，过作于，
则，，
三角形是等边三角形，
，
，，
，，
由勾股定理得：，
阴影部分的面积，
故答案为：．
连接、，过作于，根据垂径定理求出，根据等边三角形性质求出，根据勾股定理得到，分别求出扇形和三角形的面积，即可得出答案．
本题考查了扇形面积公式，等边三角形的性质，三角形的外接圆，三角形面积，含度角的直角三角形性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，到轴的距离等于的点在直线或直线上，
当与直线相切时，设切点为点，则，
此时上只有一个点到轴的距离等于；
当与直线相切时，设切点为点，则，
此时上有三个点到轴的距离等于，
由此可知，当上有且仅有两个点到轴的距离等于时，则直线与相离，直线与相交，
的半径的取值范围是，
故答案为：．

到轴的距离等于的点在直线或直线上，当上有且仅有两个点到轴的距离等于时，则直线与相离，直线与相交，由此即可求出的半径的取值范围．
此题重点考查图形与坐标、直线与圆的位置关系等知识，正确理解到轴的距离等于的点在直线上或在直线上是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，，

，，
，
为直径，
，
由题意知，点在以为圆心，为半径的上运动，
当运动到与的交点位置时，点到的距离最短为，
面积的最小值为：．
故答案为：．
连接，，由三角形的中位线定理求得，得点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当点为与的交点时，的面积最小，求出此时的面积便可．
本题考查直角坐标系的特征，圆周角定理，勾股定理，三角形的中位线定理，关键在于确定点的运动轨迹．
 

17.【答案】解：，
，
，
或，
解得，；
，
，
，
，
，
，
，． 

【解析】提公因式法因式分解解方程即可；
利用配方法解方程即可．
本题考查一元二次方程因式分解法以及一元二次方程配方法，解题的关键是掌握提公因式法分解因式以及配方法．
 

18.【答案】解：

，
，
，
，
当时，原式． 

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

19.【答案】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
的取值范围为．
，为关于的方程的两个实数根，
，，
又，即，
，
解得：，
的值为． 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可求出的取值范围；
利用根与系数的关系，可得出，，结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；牢记“两根之和等于，两根之积等于”
 

20.【答案】解：如图，即为所求．
 

【解析】在圆上任意取，，三点，连接，，作线段，的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作即可．
本题考查作图应用与设计作图，垂径定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握确定圆心的方法吗，属于中考常考题型．
 

21.【答案】     

【解析】解：，
甲的成绩从小到大排列为，，，，，，，，，，
中位数，
；
故答案为：，，；
因为两人成绩的平均水平平均数相同，
根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以应选择乙参加俱乐部联赛更好些．
根据求平均数、中位数和方差的方法求即可；
利用方差以及平均数的意义分析得出即可．
此题主要考查了方差、中位数以及算术平均数求法等知识，正确记忆方差公式是解题关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：从这名学生中随机选取人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为，
故答案为：；
画树状图如下：

由图可知，共有种可能的结果，其中恰为男女的结果出现次，
则选取的名学生恰为男女的概率为．
直接根据概率公式用男生人数除以总人数即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中被选中的人恰好是男女的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】 

【解析】解：设，
则，
可化为：，
即，
故答案为：；
设，则，
原方程可化为：，
整理得，
，
或，
或，
当时，，
解得，
当时，无解，
检验，当时，左边右边，
是原方程的解，
故原方程的解为：．
根据完全平方公式由，得，再变形原方程便可；
设，则，得，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可．
本题主要考查了换元法，无理方程，关键掌握换元法的思想方法．
 

24.【答案】解：米，
米，
由题意得：，
解得：，，
即的值为或；
花园的面积不能为米，理由如下：
由题意得：，
解得：，
当时，，
即当米，米米，这棵树没有被围在花园内，
将这棵树围在矩形花园内含边界，不考虑树的粗细，则花园的面积不能为米． 

【解析】由矩形面积公式得出方程，解方程即可；
根据题意可得方程，求出的值，然后再根据处这棵树是否被围在花园内进行分析即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

25.【答案】解：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
连接，
，，
，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
即弦的长为． 

【解析】根据等腰三角形的性质可得，进而求出，根据垂径定理可得，从而求出的度数；
连接，已知，则，则，已知，则，在中利用勾股定理求出，即可求出．
本题考查了垂径定理，掌握定理并灵活运用是解题的关键，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
 

26.【答案】证明：连接，如图：

平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：连接，如图：

，，，
，
是直径，
，
，
又，
∽，
，
，
解得：，
的半径为；
，证明：
如图：连接并延长交的延长线于点，连接，

在和中
，
≌，
，，
，
，
，
为等腰三角形，
又，
，
，
，
． 

【解析】连接，根据角平分线分得的角相等和半径相等、等边对等角可以证明，所以，即证出，进而证明结论；
连接，先根据勾股定理计算的长，再根据直径所对的圆周角为证明∽，最后根据相似三角形的性质计算出直径的长即可解答；
连接并延长交的延长线于点，连接，先根据证明≌，得到，，再根据圆周角相等可得所对弧相等和，由三线合一可得，即可证明结论．
本题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形三线合一等知识，熟记相关的定理及证明直线与相切是解题的关键．
 

27.【答案】 

【解析】解：如图，

连接，则，
四边形是矩形，
，，
，
，
是的切线，
，
，
，
；
如图，

当点在点右侧时，
连接，连接，
四边形是矩形，
，，
，
四边形是平行四边形，
▱是矩形，
，，
是的切线，
，
，
，
，，
，
，
如图，

当点在点的左侧时，
同理可得，
，
；
综上所述：或；
如图，

当点在点右侧，时，
作于，连接，
，
，
，
由知，
，
，
，
当点在点左侧时，
同理可得，
，
，
当时，．
故答案为：．
连接，先求得，在中列出方程求得结果；
分为点在点的左右两侧两种情形：当点点在点右侧时，四边形是矩形，可求得，根据，列出方程，进而求得结果，同样方法求得点在点左侧的结果；
求出当的的值，从而求得范围，和的方法相同：作于，连接，依次，，，根据列出，求得的值，进一步得出结果．
本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，矩形判定和性质等知识，解决问题的关键是画出图形，分类讨论．