2023年江苏省苏州市常熟市等四地中考数学一模试卷（含答案）

2023年江苏省苏州市常熟市等四地中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据统计，年我市城乡居民人均生活消费支出为元，将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  为了解七年级学生寒假期间课外阅读情况，某校抽查了部分学生开展问卷调查，并将调查结果绘制成如下条形统计图，则被调查学生寒假阅读课外书数量的中位数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

5.  已知，是的角平分线，直线，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  一个圆锥的母线长为，侧面展开图扇形的圆心角为，则这个圆锥的底面圆半径为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  我国古代数学名著九章算术中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：斗谷子能出斗米，即出米率为今有米在容量为斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米斗，向桶中加谷子斗，那么可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在轴上，则点到轴的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  的相反数是______．

10.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是           ．

11.  因式分解：        ．

12.  如图，四边形内接于，连接，若，则的度数是       

13.  如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交边于点若，则的长为        ．

14.  定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等值点”已知二次函数的图像上有两个“等值点”，则的取值范围为        ．

15.  甲、乙两人在一条直线跑道上同起点同终点同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息，已知甲先出发秒，从乙出发开始计时，所计时间设为秒，在跑步过程中，图是乙跑步路程米与时间秒的函数图像，图是甲、乙两人之间的距离米与时间的函数图像，则        ．
 

16.  如图，在矩形中，，，点是边的中点，将沿翻折得，点落在四边形内，点是线段上的动点，过点作，垂足为，连接，则的最小值为        ．

三、解答题（本大题共11小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解方程：．

19.  本小题分
已知，求的值．

20.  本小题分
年月日是第个植树节，某市开展了“拥抱春天，播种青春”植树活动，将印有“紫薇”、“黄杨”、柳树”、“樟树”图案的卡片卡片的形状、大小、质地都相同放在盒子中，搅匀后从中任意抽取卡片，来确定植树品种．
小明从盒子中任意取出一张卡片，卡片上的图案是“黄杨”的概率是        ；
小明从盒子中任意取出一张卡片，记录后放回、搅匀，小丽再从中任意取出一张片，求两人取出的卡片图案相同的概率请用画树状图或列表等方法说明理由

21.  本小题分
如图，四边形是平行四边形，延长，，使得，连接，．
求证：；
连接，已知，，当        时，四边形是菱形．

22.  本小题分
某校八年级体育活动课开设了篮球、羽毛球、乒乓球、排球、足球共项球类体育活动为了解学生对这项球类体育活动的喜爱情况每人只选一项，学校从八年级全体学生中随机抽查部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成以下统计表和扇形统计图：
调查结果统计表

请你根据以上信息回答问题：
参加问卷调查的学生人数为        名；在统计表中，        ，        ；
在扇形统计图中，“乒乓球”部分对应的圆心角的度数为       
若该校八年级学生人数为人，试估计该校八年级学生喜欢“羽毛球”的学生有多少名？

23.  本小题分
如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与轴交于点．
求一次函数和反比例函数的表达式；
连接，，在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

24.  本小题分
如图，中，，为上的一点，以为直径的交于，连接交于，交于，连接，．
求证：是的切线；
若，，求的长．

25.  本小题分
某文具店计划购进、两种笔记本，已知种笔记本的进价比种笔记本的进价每本便宜元现分别购进种笔记本本，种笔记本本，共计元．
求、两种笔记本的进价；
文具店第二次又购进、两种笔记本共本，且投入的资金不超过元在销售过程中，、两种笔记本的标价分别为元本、元本两种笔记本按标价各卖出本以后，该店进行促销活动，剩余的种笔记本按标价的七折销售，剩余的种笔记本按标价的八折销售若第二次购进的本笔记本全部售出后的最大利润不少于元，请求出的最小值．

26.  本小题分
如图，已知二次函数其中的图像与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点，对称轴为直线，连接、．
求的度数；
设外接圆的圆心为，求点的坐标用含的代数式表示；
在的条件下，设抛物线的顶点为，是否存在实数，使，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

27.  本小题分
如图，是边长为的等边三角形，是上一动点，连接，以为边向的右侧作等边三角形，连接．

【尝试初探】
如图，当点在线段上运动时，，相交于点，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由．
【深入探究】
如图，当点在线段上运动时，延长，交的延长线于点，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当时，求的值．
【拓展延伸】
如图，当点在的延长线上运动时，，相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，是有理数；
是无理数．
故选：．
根据无理数的定义解答即可．
本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，符合题意；
故选：．
A、不能合并同类项；
B、用同底数幂的除法法则计算；
C、用同底数幂的乘法法则计算；
D、用幂的乘方法则计算．
本题考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方，掌握这几个知识点的综合应用是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由条形统计图知，这组数据共个，
其中位数为第、个数据的平均数，而第、个数据分别为，，
所以这组数据的中位数为，
故选：．
根据中位数的定义求解即可．
本题主要考查条形统计图和中位数，解题的关键是从条形统计图找到解题所需数据和中位数的定义．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
平分，
．
是的外角，
．
故选：．
由，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出的度数，结合平分，可求出的度数，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数．
本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质以及角平分线的定义，牢记“两直线平行，内错角相等”及“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面圆的周长，
设这个圆锥的底面圆的半径为，
则，
解得：，
即这个圆锥的底面圆半径为，
故选：．
根据弧长公式求出圆锥的底面圆的周长，设这个圆锥的底面圆的半径为，根据圆的周长公式得出，再求出即可．
本题考查了圆锥的计算，能熟记弧长公式是解此题的关键，已知扇形的圆心角为，半径为，那么扇形所对的弧的长度是．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
故选：．
根据原来的米向桶中加的谷子，原来的米桶中的谷子舂成米即可得出答案．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找到等量关系：原来的米向桶中加的谷子，原来的米桶中的谷子舂成米是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，过点作轴于点，过点作于点．

点坐标为，点坐标为，
，，，
，
，
，
，
，
点到轴的距离为，
故选：．
如图，连接，，过点作轴于点，过点作于点解直角三角形求出，再利用面积法求出可得结论．
本题考查作图复杂作图，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用面积法解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数．求一个数的相反数，即在这个数的前面加负号，据此解答即可．
【解答】
解：根据相反数的概念，得
的相反数是．
故答案为．  

10.【答案】 

【解析】解：式子在实数范围内有意义，则，
故实数的取值范围是：．
故答案为：．
直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查提公因式法与公式法的综合应用，确定多项式的公因式是提公因式的关键，掌握公式的结构特征是正确使用公式的前提．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
，
四边形内接于，
，
，
故答案为：．
根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的对角互补求解即可．
此题考查了圆内接四边形的性质，熟记“圆内接四边形的对角互补”是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接．

由作图可知垂直平分线段，
，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，证明，，再利用勾股定理求解．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得“等值点”在直线上，
令，
整理得，
时，符合题意，
解得，
故答案为：．
联立抛物线方程与直线方程，通过判别式大于求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图可知．乙没有出发时，甲乙相距米，且甲先出发秒，
甲的速度为米秒，
秒后乙到达终点，甲、乙两人相距米，
甲还需米到达终点，
甲还需秒到达终点，
，
故答案为：．
根据题意和函数图象，可以得到甲的速度，再根据函数图象中的数据，即可得到秒时乙到达终点，甲还需秒到达终点，即．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作于点，交于，过作于，交于，如图：

，点是边的中点，
，
四边形是矩形，
，
沿翻折得，
，，，，
，
，
∽，
，
，，
设，，则，，
，，
，
解得，
，
，
当，，共线时，最小，即最小，此时与重合，与重合，最小值为的长度，
，，，
≌，
，
最小值为的长度，
故答案为：．
过点作于点，交于，过作于，交于，证明∽，得，设，，可得，即得，而，故当，，共线时，最小，即最小，此时与重合，与重合，最小值为的长度，由≌，得，从而最小值为的长度．
本题考查矩形中的翻折问题，涉及相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握翻折的性质，作出辅助线，构造相似三角形．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是分式方程的解，
即分式方程的解是． 

【解析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

19.【答案】解：，
，





． 

【解析】根据完全平方公式解答即可．
本题考查了完全平方公式，求解代数式的值，掌握“整体代入进行求值”是解本题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：有“紫薇”、“黄杨”、柳树”、“樟树”图案的张卡片，
小明从盒子中任意取出一张卡片，卡片上的图案是“黄杨”的概率是．
故答案为：．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两人取出的卡片图案相同的结果有种，
两人取出的卡片图案相同的概率为．
直接利用概率公式计算即可．
画树状图得出所有等可能的结果数和两人取出的卡片图案相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
；
解：当时，四边形是菱形．
，，
，
，
，
，
，
四边形是菱形．
故答案为：．
根据平行四边形的性质得到，，求得，推出四边形是平行四边形，得到；
根据三角形外角的性质得到，求得，根据菱形的判定定理即可得到结论．
本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
 

22.【答案】       

【解析】解：参加问卷调查的学生人数为：名；
故名；
．
故答案为：；；；
在扇形统计图中，“乒乓球”部分对应的圆心角的度数为．
故答案为：；
名，
答：估计该校八年级学生喜欢“羽毛球”的学生大约有名．
由足球人数及其所占百分比可得问卷调查的学生人数；用问卷调查的学生人数乘可得的值；进而底层的值；
用乘“乒乓球”人数所占比例可得；
利用样本估计总体即可，即用乘样本中喜欢“羽毛球”的学生所占比例可得答案．
本题考查了扇形统计图、统计表以及用样本估计总体，从不同的统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

23.【答案】解：一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，
，
解得，
点坐标为，点坐标为，
，
将点和点代入一次函数，
得，
解得，
一次函数表达式为，反比例函数表达式为；
一次函数的图像与轴交于点，
当时，，
点坐标为，
，


，
的面积是面积的，
的面积为，
设点纵坐标为，
，
解得或，
点在直线上，
或，
解得或，
点坐标为或． 

【解析】先根据点和点在反比例函数的图像上，可得，求出的值，可得点和点坐标，再待定系数法求一次函数表达式和反比例函数表达式即可；
先求出点坐标，根据求出的面积，设点纵坐标为，根据的面积，求出的值，即可确定点坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，三角形面积等，熟练掌握待定系法求解析式是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
直径，
是的切线；
解：连接，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
，，
∽，

，
，
，
． 

【解析】由圆周角定理，直角三角形的性质推出，即可证明，因此是的切线；
由平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质推出得到，即可求出的长．
本题考查切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，灵活应用以上知识点是解题的关键．
 

25.【答案】解：设种笔记本的进价是元，种笔记本的进价是元，
由题意得：，
解得：．
答：种笔记本的进价是元，种笔记本的进价是元；
设文具店第二次购进种笔记本本，则种笔记本本，由题意得：
，
解得，
依题意有：，
解得：，
为整数，
的最小值为． 

【解析】设种笔记本的进价是元，种笔记本的进价是元，由题意：种笔记本的进价比种笔记本的进价每本便宜元；现分别购进种笔记本本，种笔记本本，共计元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
设文具店第二次购进种笔记本本，则种笔记本本，根据投入的资金不超过元可求的范围；再根据两种笔记本按标价各卖出本以后，该店进行促销活动，剩余的种笔记本按标价的七折销售，剩余的种笔记本按标价的八折销售．若第二次购进的本笔记本全部售出后的最大利润不少于元，列出不等式可求出的最小值．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

26.【答案】解：二次函数其中，令，则，
点坐标为，
令，则，
解得：，，
，点在点的左侧，
点坐标为：，
，
，
是等腰直角三角形，
；
如图，连接，，

外接圆的圆心为，
，
点在对称轴直线上，
抛物线的对称轴为：，
设点坐标为：，
，
，
，
解得：，
点的坐标为：；
不存在实数，使理由如下：
点的坐标为：，
当时，，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
同理得直线的解析式为，
，
，解得，
二次函数其中，
不符合题意，
不存在实数，使． 

【解析】首先求出点、的坐标，进而得出，再利用等腰直角三角形的性质求出即可；
连接，，由题意得点在直线上，，设，利用两点的距离公式表示出、，可得关于的方程，解方程即可求解；
根据待定系数法求出直线、的解析式，由两直线平行得的值相等，即可得出答案．
此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象及性质，三角形的外接圆，待定系数法求函数的解析式，两直线平行问题等，解题关键是掌握二次函数的图象及性质．
 

27.【答案】解：如图，≌，理由如下：
与都是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中，
，
≌；
如图，过点作于点，

是边长为的等边三角形，，
，，，
，
，
，
由得，≌，
，，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
，
；
如图，过点作于点，
与都是等边三角形，
，，
，
，
即，
在与中，
，
≌，
，
又，
∽，
，
，
，
设，
则，
，
，是边长为的等边三角形，
，
，
，
，
，
即，
解得，
点在的延长线上，
，
，
，
即． 

【解析】根据等边三角形的性质，利用即可证明≌；
过点作于点，由可说明，从而得出∽，进而解决问题；
过点作于点，由同理得≌，再说明∽，得，设，则，在中，运用勾股定理列方程即可解决问题．
本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握手拉手模型是解题的关键．