2023年江苏省苏州市常熟市等四地中考数学一模试卷(含答案解析)

2023年江苏省苏州市常熟市等四地中考数学一模试卷

1.  下列各数中，是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D. 0

2.  据统计，2022年我市城乡居民人均生活消费支出为41500元，将41500用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  为了解七年级学生寒假期间课外阅读情况，某校抽查了部分学生开展问卷调查，并将调查结果绘制成如下条形统计图，则被调查学生寒假阅读课外书数量的中位数为(    )
 

A. 18 B. 12 C. 2 D.

5.  已知，CD是的角平分线，直线，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  一个圆锥的母线长为3cm，侧面展开图扇形的圆心角为，则这个圆锥的底面圆半径为(    )

A. 1cm B. 2cm C. 3cm D.

7.  我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，点A坐标为，点B坐标为，将线段AB绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在x轴上，则点到x轴的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  的相反数是______.

10.  若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__________ .

11.  因式分解：______ .

12.  如图，四边形ABCD内接于，连接OB，若，则的度数是______

13.  如图，在中，分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交边AB于点若，则AE的长为______ .

14.  定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等值点”.已知二次函数的图像上有两个“等值点”，则m的取值范围为______ .

15.  甲、乙两人在一条直线跑道上同起点同终点同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3秒，从乙出发开始计时，所计时间设为t秒，在跑步过程中，图1是乙跑步路程米与时间秒的函数图像，图2是甲、乙两人之间的距离米与时间t的函数图像，则______ .
 

16.  如图，在矩形ABCD中，，，点E是边BC的中点，将沿AE翻折得，点F落在四边形AECD内，点P是线段AE上的动点，过点P作，垂足为Q，连接PF，则的最小值为______ .

17.  计算：

18.  解方程：

19.  已知，求的值.

20.  2023年3月12日是第45个植树节，某市开展了“拥抱春天，播种青春”植树活动，将印有“紫薇”、“黄杨”、柳树”、“樟树”图案的卡片卡片的形状、大小、质地都相同放在盒子中，搅匀后从中任意抽取卡片，来确定植树品种.
小明从盒子中任意取出一张卡片，卡片上的图案是“黄杨”的概率是______ ；
小明从盒子中任意取出一张卡片，记录后放回、搅匀，小丽再从中任意取出一张片，求两人取出的卡片图案相同的概率请用画树状图或列表等方法说明理由

21.  如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD，CB，使得，连接AE，
求证：；
连接AC，已知，，当______ 时，四边形AECF是菱形.

22.  某校八年级体育活动课开设了篮球、羽毛球、乒乓球、排球、足球共5项球类体育活动.为了解学生对这5项球类体育活动的喜爱情况每人只选一项，学校从八年级全体学生中随机抽查部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成以下统计表和扇形统计图：
调查结果统计表

请你根据以上信息回答问题：
参加问卷调查的学生人数为______ 名；在统计表中，______ ，______ ；
在扇形统计图中，“乒乓球”部分对应的圆心角的度数为______
若该校八年级学生人数为1500人，试估计该校八年级学生喜欢“羽毛球”的学生有多少名？

23.  如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与x轴交于点
求一次函数和反比例函数的表达式；
连接OA，OB，在直线AC上是否存在点D，使的面积是面积的？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由.

24.  如图，中，，D为AB上的一点，以CD为直径的交BC于E，连接AE交CD于P，交于F，连接DF，
求证：AB是的切线；
若，，求PC的长.

25.  某文具店计划购进A、B两种笔记本，已知A种笔记本的进价比B种笔记本的进价每本便宜3元现分别购进A种笔记本150本，B种笔记本300本，共计6300元．

求A、B两种笔记本的进价；

文具店第二次又购进A、B两种笔记本共100本，且投入的资金不超过1380元．在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折销售，剩余的B种笔记本按标价的八折销售．若第二次购进的100本笔记本全部售出后的最大利润不少于600元，请求出m的最小值．

26.  如图，已知二次函数其中的图像与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧，与y轴交于点C，对称轴为直线l，连接AC、
求的度数；
设外接圆的圆心为P，求点P的坐标用含m的代数式表示；
在的条件下，设抛物线的顶点为D，是否存在实数m，使，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

27.  如图，是边长为3的等边三角形，D是AB上一动点，连接CD，以CD为边向CD的右侧作等边三角形CDE，连接

【尝试初探】
如图1，当点D在线段AB上运动时，AC，DE相交于点F，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由.
【深入探究】
如图2，当点D在线段AB上运动时，延长ED，交CB的延长线于点H，随着D点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当时，求的值.
【拓展延伸】
如图3，当点D在BA的延长线上运动时，CD，AE相交于点F，设的面积为，的面积为，当时，求BD的长.

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：，，0是有理数；
是无理数．
故选：
根据无理数的定义解答即可．
本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
 

2.【答案】A 

【解析】解：
故选：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
 

3.【答案】D 

【解析】解：A、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，符合题意；
故选：
A、不能合并同类项；
B、用同底数幂的除法法则计算；
C、用同底数幂的乘法法则计算；
D、用幂的乘方法则计算．
本题考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方，掌握这几个知识点的综合应用是解题关键．
 

4.【答案】C 

【解析】解：由条形统计图知，这组数据共个，
其中位数为第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据分别为2，2，
所以这组数据的中位数为，
故选：
根据中位数的定义求解即可．
本题主要考查条形统计图和中位数，解题的关键是从条形统计图找到解题所需数据和中位数的定义．
 

5.【答案】C 

【解析】解：，
，
平分，

是的外角，

故选：
由，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出的度数，结合CD平分，可求出的度数，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数．
本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质以及角平分线的定义，牢记“两直线平行，内错角相等”及“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
 

6.【答案】A 

【解析】解：圆锥的底面圆的周长，
设这个圆锥的底面圆的半径为r cm，
则，
解得：，
即这个圆锥的底面圆半径为1cm，
故选：
根据弧长公式求出圆锥的底面圆的周长，设这个圆锥的底面圆的半径为r cm，根据圆的周长公式得出，再求出r即可．
本题考查了圆锥的计算，能熟记弧长公式是解此题的关键，已知扇形的圆心角为，半径为r，那么扇形所对的弧的长度是
 

7.【答案】A 

【解析】解：根据题意得：，
故选：
根据原来的米+向桶中加的谷子，原来的米+桶中的谷子舂成米即可得出答案．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找到等量关系：原来的米+向桶中加的谷子，原来的米+桶中的谷子舂成米是解题的关键．
 

8.【答案】B 

【解析】解：如图，连接OA，，过点作轴于点H，过点A作于点

点A坐标为，点B坐标为，
，，，
，
，
，
，
，
点到x轴的距离为，
故选：
如图，连接OA，，过点作轴于点H，过点A作于点解直角三角形求出OA，再利用面积法求出可得结论．
本题考查作图-复杂作图，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用面积法解决问题．
 

9.【答案】6 

【解析】

【分析】
本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数．求一个数的相反数，即在这个数的前面加负号，据此解答即可．
【解答】
解：根据相反数的概念，得
的相反数是
故答案为  

10.【答案】 

【解析】解：式子在实数范围内有意义，则，
故实数x的取值范围是：
故答案为：
直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：


故答案为：
先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查提公因式法与公式法的综合应用，确定多项式的公因式是提公因式的关键，掌握公式的结构特征是正确使用公式的前提．
 

12.【答案】115 

【解析】解：，，
，
四边形ABCD内接于，
，
，
故答案为：
根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的对角互补求解即可．
此题考查了圆内接四边形的性质，熟记“圆内接四边形的对角互补”是解题的关键．
 

13.【答案】2 

【解析】解：连接

由作图可知MN垂直平分线段BC，
，
，
，
，

故答案为：
连接EC，证明，，再利用勾股定理求解．
本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得“等值点”在直线上，
令，
整理得，
时，符合题意，
解得，
故答案为：
联立抛物线方程与直线方程，通过判别式大于0求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
 

15.【答案】24 

【解析】解：由图2可知．乙没有出发时，甲乙相距12米，且甲先出发3秒，
甲的速度为米/秒，
a秒后乙到达终点，甲、乙两人相距96米，
甲还需96米到达终点，
甲还需秒到达终点，
，
故答案为：
根据题意和函数图象，可以得到甲的速度，再根据函数图象中的数据，即可得到a秒时乙到达终点，甲还需秒到达终点，即
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点B作于点，交AE于，过F作于N，交AD于M，如图：

，点E是边BC的中点，
，
四边形ABCD是矩形，
，
沿AE翻折得，
，，，，
，
，
∽，
，
，，
设，，则，，
，，
，
解得，
，
，
当B，P，Q共线时，最小，即最小，此时Q与重合，P与重合，最小值为的长度，
，，，
≌，
，
最小值为的长度，
故答案为：
过点B作于点，交AE于，过F作于N，交AD于M，证明∽，得，设，，可得，即得，而，故当B，P，Q共线时，最小，即最小，此时Q与重合，P与重合，最小值为的长度，由≌，得，从而最小值为的长度
本题考查矩形中的翻折问题，涉及相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握翻折的性质，作出辅助线，构造相似三角形．
 

17.【答案】解：

 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是分式方程的解，
即分式方程的解是 

【解析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

19.【答案】解：，
，





 

【解析】根据完全平方公式解答即可．
本题考查了完全平方公式，求解代数式的值，掌握“整体代入进行求值”是解本题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：有“紫薇”、“黄杨”、柳树”、“樟树”图案的4张卡片，
小明从盒子中任意取出一张卡片，卡片上的图案是“黄杨”的概率是
故答案为：
画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中两人取出的卡片图案相同的结果有4种，
两人取出的卡片图案相同的概率为
直接利用概率公式计算即可．
画树状图得出所有等可能的结果数和两人取出的卡片图案相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

21.【答案】10 

【解析】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
四边形AECF是平行四边形，
；
解：当时，四边形AECF是菱形．
，，
，
，
，
，
，
四边形AECF是菱形．
故答案为：
根据平行四边形的性质得到，，求得，推出四边形AECF是平行四边形，得到；
根据三角形外角的性质得到，求得，根据菱形的判定定理即可得到结论．
本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：参加问卷调查的学生人数为：名；
故名；

故答案为：50；11；4；
在扇形统计图中，“乒乓球”部分对应的圆心角的度数为
故答案为：；
名，
答：估计该校八年级学生喜欢“羽毛球”的学生大约有420名．
由足球人数及其所占百分比可得问卷调查的学生人数；用问卷调查的学生人数乘可得n的值；进而底层m的值；
用乘“乒乓球”人数所占比例可得；
利用样本估计总体即可，即用1500乘样本中喜欢“羽毛球”的学生所占比例可得答案．
本题考查了扇形统计图、统计表以及用样本估计总体，从不同的统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

23.【答案】解：一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，
，
解得，
点A坐标为，点B坐标为，
，
将点和点代入一次函数，
得，
解得，
一次函数表达式为，反比例函数表达式为；
一次函数的图像与x轴交于点C，
当时，，
点C坐标为，
，


，
的面积是面积的，
的面积为，
设D点纵坐标为t，
，
解得或，
点D在直线AC上，
或，
解得或，
点D坐标为或 

【解析】先根据点A和点B在反比例函数的图像上，可得，求出n的值，可得点A和点B坐标，再待定系数法求一次函数表达式和反比例函数表达式即可；
先求出C点坐标，根据求出的面积，设D点纵坐标为t，根据的面积，求出t的值，即可确定点D坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，三角形面积等，熟练掌握待定系法求解析式是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
直径，
是的切线；
解：连接DE，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
，，
∽，

，
，
，
 

【解析】由圆周角定理，直角三角形的性质推出，即可证明，因此AB是的切线；
由平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质推出得到，即可求出PC的长．
本题考查切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，灵活应用以上知识点是解题的关键．
 

25.【答案】解：设A种笔记本的进价是x元，B种笔记本的进价是y元，
由题意得：，
解得：
答：A种笔记本的进价是12元，B种笔记本的进价是15元；
设文具店第二次购进A种笔记本a本，则B种笔记本本，由题意得：
，
解得，
依题意有：，
解得：，
为整数，
的最小值为 

【解析】设A种笔记本的进价是x元，B种笔记本的进价是y元，由题意：A种笔记本的进价比B种笔记本的进价每本便宜3元；现分别购进A种笔记本150本，B种笔记本300本，共计6300元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
设文具店第二次购进A种笔记本a本，则B种笔记本本，根据投入的资金不超过1380元可求a的范围；再根据两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折销售，剩余的B种笔记本按标价的八折销售．若第二次购进的100本笔记本全部售出后的最大利润不少于600元，列出不等式可求出m的最小值．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

26.【答案】解：二次函数其中，令，则，
点坐标为，
令，则，
解得：，，
，点A在点B的左侧，
点坐标为：，
，
，
是等腰直角三角形，
；
如图1，连接PA，PC，

外接圆的圆心为P，
，
点P在对称轴直线l上，
抛物线的对称轴为：，
设点P坐标为：，
，
，
，
解得：，
点的坐标为：；
不存在实数m，使理由如下：
点的坐标为：，
当时，，
，
设直线BD的解析式为，
，解得，
直线BD的解析式为，
同理得直线PC的解析式为，
，
，解得，
二次函数其中，
不符合题意，
不存在实数m，使 

【解析】首先求出点A、B的坐标，进而得出，再利用等腰直角三角形的性质求出即可；
连接PA，PC，由题意得点P在直线l上，，设，利用两点的距离公式表示出PA、PC，可得关于m的方程，解方程即可求解；
根据待定系数法求出直线BD、CP的解析式，由两直线平行得k的值相等，即可得出答案．
此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象及性质，三角形的外接圆，待定系数法求函数的解析式，两直线平行问题等，解题关键是掌握二次函数的图象及性质．
 

27.【答案】解：如图1，≌，理由如下：
与都是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中，
，
≌；
如图2，过点D作于D点G，

是边长为3的等边三角形，，
，，，
，
，
，
由得，≌，
，，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
，
；
如图3，过点C作于点H，
与都是等边三角形，
，，
，
，
即，
在与中，
，
≌，
，
又，
∽，
，
，
，
设，
则，
，
，是边长为3的等边三角形，
，
，
，
，
，
即，
解得，
点D在BA的延长线上，
，
，
，
即 

【解析】根据等边三角形的性质，利用SAS即可证明≌；
过点D作于D点G，由可说明，从而得出∽，进而解决问题；
过点C作于点H，由同理得≌，再说明∽，得，设，则，在中，运用勾股定理列方程即可解决问题．
本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握手拉手模型是解题的关键．