2023年江苏省苏州市昆山市城北中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年江苏省苏州市昆山市城北中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  一个不透明的布袋里装有个只有颜色不同的球，其中个白球，个红球，个黄球．从布袋里任意摸出个球，是红球的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  关于的一元二次方程有两个相等的实根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若一次函数的图象经过点，点，则该函数图象不经过的象限是(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

6.  将抛物线先向左平移个单位、再向下平移个单位后，得到(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，动点从点出发沿方向以每秒个单位的速度向点运动，动点从点出发沿方向以每秒个单位的速度向点运动．，两点同时出发，当点到达点时，两点都停止运动．设它们的运动时间为秒，当时，运动时间的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，点的坐标是，点是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点当点在上运动时，所有这样的点组成的图形与直线有且只有一个公共点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  因式分解：          ．

10.  式子在实数范围内有意义，则的取值范围是          ．

11.  如图，直线，将一直角三角形的直角顶点置于直线上，若，则______

12.  若，则的值为______．

13.  设，是关于的方程的两个根，且，则          ．

14.  如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为______ ．

15.  如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数，的图象分别经过点，，则的值为          ．
 

16.  如图，在正方形中，、、、分别是、、、上靠近、、、的四等分点，、、、分别是、、、上靠近、、、的四等分点，则           ．
 

三、解答题（本大题共11小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解方程：．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
进出校园测量体温是学校常态化疫情防控的重要举措，学校有、两个测温通道，甲、乙、丙三个同学上学进校园，随机选择一个通道测量体温
甲同学通过通道进入校园的概率是______；
请用列表或画树状图的方法求出甲、乙、丙三个同学经过同一个通道进校园的概率．

21.  本小题分
如图，中，是延长线上一点，满足，过点作且，连接并延长，分别交、于点、．
求证：≌；
若，，求的度数．

22.  本小题分
为落实“双减”政策，某中学积极开展校内课后服务．学校根据学生的兴趣爱好组建课后兴趣小组，并随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：

学校这次调查共抽取了______名学生；
求的值并补全条形统计图；
在扇形统计图中，“音乐”所在扇形的圆心角度数为______；
若该校共有学生名，请你估计该校有多少名学生喜欢足球．

23.  本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
求、的值；
求一次函数的解析式；
求的面积．

24.  本小题分
为支援武汉抗击新冠肺炎，甲地捐赠多批救援物质并联系了一家快递公司进行运送，快递公司准备安排、两种车型把这批物资从甲地快速送到武汉．其中，从甲地到武汉，型货车辆、型货车辆，一共需补贴油费元；型货车辆、型货车辆，一共需补贴油费元．
从甲地到武汉，、两种型号的货车，每辆车需补贴的油费分别是多少元？
如果需派出辆车，并且预算油费补贴不超过元，那么该快递公司至多能派出几辆型货车？

25.  本小题分
图是一台实物投影仪，图是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，，

如图，，．
填空： ______ ；
投影探头的端点到桌面的距离______ ．
如图，将中的向下旋转，时，求投影探头的端点到桌面的距离参考数据：，，，

26.  本小题分
如图，以的边为直径的与边相交于点，是的切线，为的中点，连接、．
求证：是的切线；
设的面积为，四边形的面积为若，求的值；
在的条件下，若，求的半径长．
 

27.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、与轴交于点和点．

求抛物线的函数表达式；
若点为第一象限的抛物线上一点．
过点作，垂足为点，求线段长的取值范围；
若点、分别为线段、上一点，且四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，求此时点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．
【解答】
解：的相反数是：，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，故A不符合题意．
B、原式，故B符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据整式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：从布袋里任意摸出个球，是红球的概率．
故选：．
根据概率公式求解．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
 

4.【答案】 

【解析】解：一元二次方程有两个相等的实根，
，
解得：，
故选：．
根据判别式的意义得到，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

5.【答案】 

【解析】解：描点、连线，画出函数图象，如图所示．
该函数图象不经过第二象限．
故选：．
描点、连线，画出函数图象，观察函数图象可得出该函数图象不经过第二象限．
本题考查了一次函数的图象，依照题意，画出函数图象是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的新抛物线解析式为，
即，
故选：．
根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可．
本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：过点作于点，

，
是等腰直角三角形，
点，的坐标分别为，，
，，
动点的运动速度为每秒个单位，动点的运动速度为每秒个单位，
，，
在中，，
，，
，，
，，
，
，
故选：．
过点作于点，在中，，，，在中，，，进而得到，，根据求解即可．
此题考查了解直角三角形，坐标与图形，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，，为圆的直径，
，
与关于点对称，
，
点运动的轨迹是以为圆心，为半径的圆．

点组成的图形与直线有且只有一个公共点，
直线与圆相切．
设直线直线与轴，轴相交于，，
作，垂足为，
，当时，，
，
在中，根据勾股定理得，
，
，
，，
∽，
：：，
代入，，，
，
，
．
故选：．
根据点的对称性和直径所对的圆周角是直角，可知点的运动轨迹；当点所组成的图形与直线有且只有一个公共点时，即直线与圆相切，根据∽求出的值，即可求出的值．
本题考查了一次函数与圆的综合题，确定点的运动轨迹和点的坐标是解决本题的关键，本题难度较大．
 

9.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
直接提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确掌握公式法分解因式是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件．直接利用二次根式的有意义的条件得出的取值范围，进而得出答案．
【解答】
解：由题意可得：，
解得：．
故答案为：．  

11.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，
，
．
故答案为：．
由已知条件可求得的度数，再利用平行线的性质即可求得的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
 

12.【答案】 

【解析】解：



．
故答案为：．
将所求代数式适当变形，利用整体代入的方法解答即可．
本题主要考查了求代数式的值，将所求代数式适当变形，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握相关等式是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系，列方程即可解答．
【解答】
解：，是关于的方程的两个根，
，，
，
，解得，
，

故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：，
，


．
故答案为：．
由根据圆周角定理得出，根据可得出结论．
本题考查的是扇形面积的计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数中系数的几何意义，相似三角形的判定与性质．
过、分别作轴的垂线，垂足分别为、，先证得∽，根据相似三角形的性质得出，根据反比例函数系数的几何意义得出，解方程即可求得．
【解答】
解：如图，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、．
，
，
，
，
，
∽，
，

，
，
，
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
设，，求出小正方形的边长，可得结论．
【解答】
解：设，，
则，
，，
，
，
故答案为：．  

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：方程的两边同乘，得：，
解得：．
检验：当时，，
即不是原分式方程的解．
则原方程无解． 

【解析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后进行检验．
此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．
 

19.【答案】解：，
，
，
，
当时，原式． 

【解析】根据单项式乘多项式的法则和平方差公式计算化简，然后代入数据计算即可．
考查了整式的混合运算．主要考查了整式的乘法、合并同类项的知识点．注意运算顺序以及符号的处理．
 

20.【答案】解：甲同学通过通道进入校园的概率是；
故答案为：；
画出树状图如图：

共种等可能的结果，其中甲、乙、丙三个同学经过同一个通道的结果有种，
则甲、乙、丙三个同学经过同一个通道的概率为． 

【解析】

【分析】
本题考查了列表法与画树状图法求概率：利用列表法或画树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
直接根据概率公式求解即可；
画出树状图，共种等可能的结果，其中甲、乙、丙三个同学经过同一个通道的结果有种，由概率公式即可得出答案．  

21.【答案】证明：，
，
在与中，
，
≌；

解：≌，，，
，，
，
 

【解析】根据可得，由定理可得结论；
利用全等三角形的性质定理可得，，由三角形的内角和定理和外角的性质可得结果．
本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，平行线的性质定理，外角的性质等，熟记定理是解答此题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：学校本次调查的学生人数为名，
故答案为：；
喜欢书法的人数为名，
，
补全图形如下：

在扇形统计图中，“音乐”所在扇形的圆心角度数为，
故答案为：；

估计该校喜欢足球的学生人数为名．
用“围棋”的人数除以其所占百分比可得；
用总人数减去其他的人数求得喜欢书法的人数，除以以总数可得其所占百分比，即可得的值，由喜欢书法的人数即可补全图形；
用乘以“音乐”人数所占百分比即可得；
用总人数乘以样本中“足球”人数所占百分比可得．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想．
 

23.【答案】解：将点代入得，．
反比例函数解析式为：，
将代入得，．
一次函数经过、两点，
，
解得：，
一次函数的解析式为：．
设直线与轴的交点为，
把代入，则，解得，
，
--． 

【解析】将点代入，求出的值，再将点代入求的值；
根据、两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
求得直线与轴的交点，然后根据求得即可．
本题考查一次函数与反比例函数的交点、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用图象解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：设从甲地到武汉，每辆型货车补贴油费元，每辆型货车补贴油费元，
依题意，得：，
解得：．
答：从甲地到武汉，每辆型货车补贴油费元，每辆型货车补贴油费元．
设该快递公司能派出辆型货车，种型号的货车辆，由题意得，
，
解得，
又为整数，
的最大值为．
答：设该快递公司能派出辆型货车． 

【解析】设从甲地到武汉，每辆型货车补贴油费元，每辆型货车补贴油费元，根据“从甲地到武汉，型货车辆、型货车辆，一共需补贴油费元；型货车辆、型货车辆，一共需补贴油费元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设该快递公司能派出辆型货车，种型号的货车辆，由题意得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】；．
过点作于点，过点作，与延长线相交于点，如图，

，，
，
在中，，
则投影探头的端点到桌面的距离．
故投影探头的端点到桌面的距离约为． 

【解析】解：过点作，如图，则，

，
，
，
，
过点作于点，如图，

则，
则投影探头的端点到桌面的距离为：；
故答案为：；．
过点作，如图，根据平行线的性质解答便可；
过点作于点，如图，解直角三角形求出，进而计算求得结果；
过点作于点，过点作，与延长线相交于点，解直角三角形求出，再根据线段的和差关系求得投影探头的端点到桌面的距离．
此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．
 

26.【答案】证明：连接，

．
是直径，
，
．
为的中点，
，
，
，
即．
是以为直径的的切线，
，
，
，
是的切线；




∽



．

，得
为的中点

，
在中，由勾股定理得
，解得
故的半径． 

【解析】

【分析】
连接，由圆周角定理就可以得出，可以得出，根据为的中点可以得出，就有，可以得出，由等式的性质就可以得出就可以得出结论．
由可得的面积是面积的倍，可求得：：，可得：：则的值可求；
由的关系即可知，在中，由勾股定理即可求的长，从而求的半径
本题考查了圆周角定理的运用，直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，切线的判定定理的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定和性质，解答时正确添加辅助线是关键．  

27.【答案】解：抛物线与轴交于点，，
设，将点代入，
得：，
解得：，
；
该抛物线的函数表达式为；
如图，过点作轴于点，交于点，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
设点，则点，
，
在中，，
，轴，
，
，
，
又，
∽，
，即，
，
当时，取得最大值为，
；
存在两种情况：
如图，四边形是菱形时，满足四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，

设，，
，
四边形是菱形，
，
，
解得：，，
；
如图，四边形是矩形时，满足四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，

由对称得：；
综上，点的坐标为或． 

【解析】利用待定系数法即可求解；
如图，过点作轴于点，交于点，运用待定系数法求出直线的解析式为，设点，则点，利用∽，即可求得的长，运用二次函数性质即可求得答案；
如图，存在两种情况：四边形是矩形和菱形时满足既是中心对称图形，又是轴对称图形，根据各自的性质可得点的坐标．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，轴对称和中心对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质相关知识．