甘肃省兰州第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

甘肃省兰州第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、若，则(   )

A.   B.   C.   D.

2、在复平面内，复数z对应的点与对应的点关于实轴对称，则(   )

A. B.           C.  D.

3、设，是非零向量.“”是“”的(   )

A.充分而不必要条件   B.必要而不充分条件

C.充分必要条件    D.既不充分也不必要条件

4、已知正三角形ABC的边长为a，那么的平面直观图的面积为(   )

A.  B.   C.   D.

5、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则为(   )

A.钝角三角形    B.直角三角形

C.锐角三角形    D.等边三角形　

6、如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(   )

A.   B.   C.   D.

7、 (   )

A.-4   B.4   C.-2   D.2

8、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则角C的大小是(   )

A.或   B.               C.    D.

二、多项选择题

9、下列命题正确的是(   )

A.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线

B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台

D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形

10、已知i为虚数单位，复数，则以下为真命题的是(   )

A.z在复平面内对应的点在第一象限

B.z的虚部是

C.

D.若复数满足，则的最大值为

11、如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为反射坐标系.在反射坐标系中，若，则把有序数对称为向量的反射坐标，记为.在的反射坐标系中，，，其中正确的是(　　)

A.     B.          C.            D..

12、已知函数，则下列关于函数的描述正确的是(　　)

A.在区间上单调递增

B.图象的一个对称中心是

C.图象的一条对称轴是

D.将的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于y轴对称

三、解答题

13、平面向量a与b的夹角为45°，，，则等于________.

14、已知，，，均为锐角，则________.

15、我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝.若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为________.

16、已知在中，，，动点P位于线段AB上，则当取最小值时，向量与的夹角的余弦值为________.

17、回答下列问题

（1）已知复数z满足，求；

(2)计算.

18、学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体.其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，求制作该模型所需原料的质量.

19、如图，在平面四边形ABCD中，，，，.

(1)求的值；

(2)若，求CD的长.

20、已知函数，且函数的最小正周期为π.

（1）求的解析式，并求出的单调递增区间；

（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数的最大值及取得最大值时x的取值集合.

21、在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.

在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，S是的面积，若__________（填条件序号）

（1）求角C的大小；

（2）点D在CA的延长线上，且A为CD的中点，线段BD的长度为2，求的面积S的最大值.

22、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求B；

(2)若△ABC为锐角三角形，且，求a的取值范围.

参考答案

1、答案：B

解析：,

故选: B.

2、答案：D

解析：复数 对应的点与 对应的点关于实轴对称,. 故选 D.

3、答案： A

解析：设 与 的夹角为. 因为, 所以, 即 与 的夹角为, 故; 而当 时, 与 的夹角 为 或, 所以, 所以 “” 是 “" 的充分而不必要条件, 故选 A.

4、答案： D

解析：由于斜二测画法规则是在已知图象中取互 相垂直的x 轴和y 轴,

两轴相交于点O, 画直观图时, 画出相应的 轴 和 轴, 两轴相交于, 且使 或,

它们确定的平面表示水平面，

已知图形中平行于x 轴或 y轴的线段, 在直观图 中分别画出平行于 轴和 轴的线段,

已知图形中平行于x轴的线段在直观图中长度保 持不变, 平行于y轴的线段长度变成原来的一 半,

的平面直观图 的底边长不变, 高变为,

的平面直观图 的面积.

故选: D.

5、答案： A

解析：已知, 由正弦定理, 得,

即, 所以,

即 ,

所以. 又, 于是有 ，B为钝角,

所以 是钝 角三角形.

6、答案：D

解析：在中，.

由正弦定理得，

所以.

在中，

.

故选D

7、答案： B

解析：

故选B　

8、答案：A

解析：由，得，

则，

因为，所以，

由及正弦定理，

得，

即，

即，

整理得，则，又，

即或，即或.

故选A

9、答案： AC

10、答案： AD

解析：，

z在复平面内对应的点为，在第一象限，故A正确；

z的虚部是，故B不正确；

，故C不正确；

设，x，，由得，则点在以为圆心，以1为半径的圆上，则到的距离的最大值为，即的最大值为，故D正确.

故选AD

11、答案： AD

12、答案：AC

解析：

，

由，

得，

当时，，故A正确；

，故B不正确；

，故C正确；

将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，显然不关于y轴对称，故D不正确.

故选AC

13、答案：

解析：依题意得 ，，

14、答案：

解析：，为锐角, ,

.

且,

.

.

为锐角,

.

故答案:.

15、答案：

解析：根据正弦定理及，可得，

由，可得，

所以

.

16、答案：

解析：易知，记，，

则，设，

则，

则，

当时，取最小值，

此时，，

，

，

所以此时向量与的夹角的余弦值为

.

17、答案： (1)

(2)

解析： (1)由题设得，，

则.

 (2)原式

.

18、答案：118.8g

解析：由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，其对角线长分别为6cm和4cm，

故.

又，

所以模型的体积为，

所以制作该模型所需原料的质量为.

19、答案： (1)

(2)

解析： (1)，

可设，.

又，，由余弦定理，

得，

解得，，，

.

(2)，，

，

在中，由正弦定理，得

.

20、答案：（1），

（2）

解析：（1）

.

由函数的最小正周期，得.

所以.

令，，

解得，，

故的单调递增区间为，.

（2），

则的最大值为2，

此时有，即，

即，，

解得，，

所以当取得最大值时x的取值集合为

.

21、答案：(1)

(2)

解析：（1）选①：，

由正弦定理得，

，即，

.

由，得.

选②：由正弦定理得，

，则.

由，知，则

选③：因为，

所以，则.

由，得.

（2）在中，由余弦定理知，

，

，当且仅当，即，时取等号，此时ab的最大值为2.

可得的面积取得最大值.

22、答案： (1)

(2)

解析：(1)由题设及正弦定理得.

因为，所以.

由，可得，

故.

因为，所以，所以.

(2)由(1)知，

由正弦定理得.

由于为锐角三角形，故，.

结合，得，所以.