甘肃省兰州第一中学2022-2023学年高一下学期7月期末数学试卷（含答案）

这是一份甘肃省兰州第一中学2022-2023学年高一下学期7月期末数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

甘肃省兰州第一中学2022-2023学年高一下学期7月期末数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、在等差数列中，，，则( )
A.9 B.6 C.8 D.10
2、若某群体中的成员会用现金支付的概率为0.60，会用非现金支付的概率为0.55，则用现金支付也用非现金支付的概率为( )
A.0.10 B.0.15 C.0.40 D.0.45
3、如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷.它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上.九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为且，已知，，且通过该规则可得，则解下第4个圆环最少需要移动的次数为( )

A.4 B.6 C.7 D.11
4、已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，，则
D.若，，，，，则
5、如右图，四面体ABCD中，，，E，F分别是AC，BD的中点，若，则EF与CD所成的角的大小是( )

A. B. C. D.
6、图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某平面多边形，现将该图形绕对称轴旋转，则所得几何体的表面积为( )

A. B.
C. D.
7、如右图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面，使，设与SM交于点N，则的值为( )

A. B. C. D.
8、已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为3，在其中有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的高为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、一个质地均匀的正四面体4个表面上分别有数字1，2，3，4，抛郑该正四面体两次，记事件M为“第一次向下的数字为1或2”，事件N为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是( )
A.事件M与事件N互斥 B.事件M发生的概率为
C.事件M与事件N相互独立 D.事件发生的概率为1
10、数列的前n项和为，已知，则下列说法正确的是( )
A.数列是递减数列
B.数列是等差数列
C.当时，
D.数列有最大项，没有最小项
11、如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，则下列四个结论中正确的是( )

A.
B.是等边三角形
C.平面平面ABC
D.二面角的平面角的正切值为
12、如图，已知正方体的棱长为2，P为正方形底面ABCD内的一动点，则下列结论正确的有( )

A.三棱锥的体积为定值
B.存在点P，使得
C.若，则点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长度为
D.若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体所得截面的面积为
三、填空题
13、数列，，，，的一个通项公式为_________.
14、甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是______.
15、若数列中的最大项是第k项，则________.
16、如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形构成的多面体.若该多面体的表面积是，则该多面体外接球的表面积是_______.

四、解答题
17、已知等差数列的前n项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）求的最小值.
18、甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个.甲、乙二人依次不放回各抽一题，求
（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率；
（2）甲、乙二人中至少有一个抽到选择题的概率.
19、今年“双碳”再次成为全国两会的热点词汇.“双碳”即我国提出力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和.低碳生活引领生活时尚，新能源汽车成为当前购车的首选.某新能源汽车销售部为了满足广大客户对新能源汽车性能的需求，随机抽取了500名用户进行问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按，，，，[60，70]分组，并绘制出了部分频率分布直方图如图所示.

（1）请将频率分布直方图补充完整；
（2）销售部从年龄在，两组的样本中用分层抽样的方法随机抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行电话回访，求这2人取自不同年龄区间的概率.
20、已知数列的前n项和为，，，.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）求数列的前n项和.
21、如图，在直棱柱中，底面ABCD是菱形，E，F分别是棱BC，的中点.

（1）求证：；
（2）求证：平面.
22、如图，在四棱锥中，底面ABCD，ABCD是直角梯形，，，，点E是PB的中点.
（1）证明：平面平面PBC；
（2）若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为，
①求点P到平面ACE的距离；
②求二面角的平面角的余弦值.
参考答案
1、答案：A
解析：
2、答案：B
解析：设成员会用现金支付为是事件A，会用非现金支付为事件B，则为即用现金支付也用非现金支付，则，，则，.
3、答案：C
解析：由已知，.
4、答案：D
解析：
5、答案：A
解析：如图，取AD中点G，连接EG、FG，因为E，F分别是AC，BD的中点，所以，，又，，所以，，因为，所以，
所以在中，，所以，因为，根据等角定理可知，EF与CD所成的角的大小是，故B，C，D错误.
6、答案：C
解析：
7、答案：B
解析：连接MB交AC于点D，连接ND，NA，NC，则平面NAC即为平面，因为，平面，平面SMB，所以，因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，
所以，，
所以且，所以，
又，所以，所以.
8、答案：A
解析：设该内接圆柱底面半径为r，高为h，又圆锥的底面半径为1，母线长为3，高为，
则，整理得，
则该内接圆柱的侧面积，
(当且仅当时等号成立)此时圆柱的高.
9、答案：BC
解析：由题意可得，故B正确；
当两次抛掷的点数为时，事件M与事件N同时发生，所以事件M与事件N不互斥，故A错误；
事件M与事件N同时发生的情况有，，，共4种，所以又，所以，故事件M与事件N相互独立，故C正确；，故D错误.
10、答案：ACD
解析：当时，，又，所以，则是递减数列，故A正确，B错误；
当时，，故C正确；
是递减数列，故D正确.
11、答案：ABD
解析：设等腰直角三角形的腰为a，则斜边，
D为BC的中点，，
又平面平面ACD，平面平面，，平面ABD，平面ADC，又平面ADC，，故A正确；
由A知，平面ADC，平面ADC，，
又，由勾股定理得：，
又，是等边三角形，故B正确；
为等腰直角三角形，取斜边AC的中点F，则，又为等边三角形，连接BF，则，为平面ADC与平面ABC的二面角的平面角，由平面ADC可知，为直角，因此不是直角，故平面ADC与平面ABC不垂直，故C错误；
由题意知，平面BDC，过点D作于点E，连接AE，则，为二面角的平面角，设为，则，故D正确；故选：ABD.
12、答案：ACD
解析：对于A，由题意及图形可知平面ABCD平行于平面，则点P到平面距离d为定值.则，又为定值，故三棱锥的体积为定值，故A正确；
对于B，作，交线段AD于M，连接，因为面面，面面面ABCD，所以面，又面，所以，若，又，故面，又面，所以，因为M为线段AD上一点，在直角中不可能有，故不存在相应的点P，使，故B错误；

对于C，如图有平面.理由如下：连接DB，
由题可得，，又，则平面.
因平面，则.同理可证得，
又，则平面，得平面.
故点P轨迹为平面与底面ABCD交线，即为线段AC，又，故C正确；

对于D，如图取AB中点为，连接.
由题可得，平面ABCD.
因平行于平面ABCD，则，.
又，则平面.
又取中点为，则，有P，，Q，四点共面因为平面，所以平面平面.则平面即为平面.设平面分别与，交于R，，因为面面，面，面所以，又P，Q，都是中点，故是中点.同理可证R是中点，所以平面截正方体所得截面为正六边形，又正方体棱长为2，则，故截面面积为，故D正确.故选：ACD

13、答案：
解析：
14、答案：0.18
解析：记事件M为甲队以4：1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以.
15、答案：4
解析：设，易知，则.令，得，即，，当且时，，当且时，，即，，.
16、答案：
解析：由题意可得多面体的棱长为原正四面体棱长的，设原正四面体的棱长为a，则其表面积为，由图易知该多面体与原正四面体相比较，表面积少了8个边长为的正三角形的面积，所以该多面体的表面积为，所以.如图，是下底面正六边形ABCDEF的中心，是上底面正三角形MNG的中心，由正四面体的对称性可知截角四面体的外接球的球心O在原正四面体的高上，，
.
设球O的半径为R，在中，，所以，
在中，，所以，
所以，解得，所以，
所以该多面体外接球的表面积.

17、答案：（1）
（2）-20
解析：（1）设等差数列的公差为d，因为，可得，又因为，可得，解得，所以，即数列的通项公式为
（2）由（1）知，，，则当或时最小，的最小值为
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）甲从选择题中抽到一题的可能结果有6个，乙从判断题中抽到一题的可能结果有4个，又甲、乙依次抽一题的结果共有个，所以甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是：.
（2）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为.或：，所求概率为.
19、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）年龄在的频率为，补充完整的频率分布直方图如图：

（2）由分层抽样的方法可知，抽取的4人中，年龄在内的有1人，记为A：年龄在内的有3人，分别记为，，，则从这4人中随机抽取2人的所有基本事件有，，，，，共6种；
记这2人取自不同年龄区间为事件M，其基本事件有，，，共3种，故这2人取自不同年龄区间的概率为.
20、答案：（1）证明见解析
（2）见解析
解析：（1）因为，所以，所以是首项为，公差为-1的等差数列.
（2）由（1）得，则，
所以
又符合上式，所以设表示数列的前n项和.由，解得，则
①当时，.
②当时，，
故
21、答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）连接AC.
在直棱柱中，平面ABCD，
因为平面ABCD，所以，
在菱形ABCD中，，因为，，平面，所以平面.又因为平面，所以.

（2）取的中点G，连接FG，GB.
因为F是的中点，所以，.
在直棱柱中，，.
在菱形ABCD中，，.所以，.
因为E是BC的中点，所以.所以，.
所以四边形BEFG为平行四边形.所以.
因为平面，平面，
所以平面.

22、答案：（1）证明见解析
（2）①
②
解析：（1）平面ABCD，平面ABCD，.，有，，且ABCD是直角梯形，，即，，.，平面PBC，平面PBC，平面PBC.
平面EAC，平面平面PBC

（2）由（1）易知平面PAC，即为直线PB与平面PAC所成角，，则
①底面ABCD，点E是PB的中点.
.且中
又由（1）知平面PBC，则的面积设求点P到平面ACE的距离为h，
则由得
点P到平面ACE的距离为
②平面PBC，即为二面角的平面角.
由（1）知中，，，，，
.
所求二面角为锐角，二面角的平面角的余弦值为.