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专题07《三角形、平行四边形和梯形》-2022-2023学年四年级数学下册期末专项复习（学生版+教师版）苏教版
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这是一份专题07《三角形、平行四边形和梯形》-2022-2023学年四年级数学下册期末专项复习（学生版+教师版）苏教版，文件包含专题07三角形平行四边形和梯形教师版docx、专题07三角形平行四边形和梯形学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
知识点一：三角形的认识
1.定义：三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。三角形有3个顶点、3条边和3个角。不在同一条直线上的3个点能画出一个三角形。
2.三角形的高：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。任意一个三角形都有三条高。
3.三角形三边的关系：三角形任意两边长度的和大于第三边。
4.三角形的内角和：三角形的内角和等于180°
5.三角形具有稳定性（也就是当一个三角形的三条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小都不会改变），生活中很多物体利用了这样的特性。如：人字梁、斜拉桥、自行车车架。
6.三角形的分类： eq \\ac(○,1)三个角都是锐角的三角形是锐角三角形 eq \\ac(○,2)有一个角是直角的三角形是直角三角形 eq \\ac(○,3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。任意一个三角形至少有两个锐角。
7.等腰三角形和等边三角形和等腰直角三角形：
eq \\ac(○,1)两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，底和腰的夹角叫做底角，两个底角相等，等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴。
eq \\ac(○,2)三条边都相等的三角形是等边三角形，三条边都相等，三个角也 都相等（每个角都是 60°，所有等边三角形的三个角都是60°。）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。
eq \\ac(○,3)有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，它的底角等于45°，顶角等于90°
eq \\ac(○,4)等腰三角形的顶角=180°－底角×2 等腰三角形的底角=（180°－顶角）÷2
eq \\ac(○,5)一个三角形最大的角是 60 度，这个三角形一定是等边三角形。
eq \\ac(○,6)多边形的内角和=180°×（边数－2）
知识点二：平行四边形的认识
1.定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，它的对边平行且相等，对角相等。从一个顶点向对边可以作两种不同的高。一个平行四边形有无数条高。
2.特征：平行四边形有4条边，4个角；平行四边形的两组对边分别平行且想等；平行四边形的两组对角分别相等。
3.平行四边形容易变形（不稳定性）：生活中许多物体都利用了这样的特性。如：电动伸缩门、铁拉门、伸降机。把平行四边形拉成一个长方形，周长不变，面积变了。平行四边形不是轴对称图形。
4.用两块(完全一样)的三角尺可以拼成一个平行四边形，正方形、长方形属于特殊的平行四边形。
知识点三：梯形的认识
1.定义：只有一组对边平行的四边形叫梯形。平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰，从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高（无数条）。
2.梯形的分类及特征：两条腰相等的梯形叫等腰梯形，它的两个底角相等，等腰梯形是轴对称图形，有一条对称轴；有一个角是直角的梯形叫直角梯形，直角梯形有两组邻边互相垂直
3.两个（完全一样）的梯形可以拼成一个平行四边形。
攻略一：三角形的概念及特征
1、三角形是由3条线段围成的，而且3条线段必须是首尾相连的。
2、从三角形的一个顶点到对边的线段中，只有垂直线段才是高。
3、三角形有三个顶点，三条边，从任意一个顶点都可以作对边的垂直线段，因此三角形有三条高。
4、三角形任意两边之和一定大于第三边。
攻略二：三角形的分类和内角和
1、钝角三角形中两个锐角的度数和小于90°，直角三角形中两个锐角的度数和等于90°。
2、任意一个三角形的内角和都等于180°。
3、三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。
4、三角形按角分类时，每一类三角形中都至少有两个锐角。
5、等腰三角形两腰所夹的角叫顶角。
6、两条边相等的三角形叫等腰三角形，与角的大小无关。在钝角三角形、锐角三角形和直角三角形中，如果有两条边相等，就可以称为等腰三角形。
7、不能说三角形分为等边三角形、直角三角形和钝角三角形，因为它们分类的标准不相同，所以无法这样分类。
攻略三：平行四边形和梯形
1、平行四边形有无数条高，但过一个顶点向每条对边都只能画一条高。
2、平行四边形的两组对边都必须平行。
3、判断梯形的标准是有且只有一组对边平行的四边形。
4、梯形的高必须是垂直于两底的线段。
一．精挑细选（共5小题，满分5分，每小题1分）
1．（1分）（2023春•澄迈县月考）任意一个三角形中至少有（ ）个锐角。
A．3B．2C．1
【易错点拨】三角形的内角和是180°，任意一个三角形中至少有2个锐角。据此解答。
【规范解答】解：任意一个三角形中至少有2个锐角。
故选：B。
【题后反思】此题考查的目的是理解掌握三角形内角和及应用，三角形的特征及应用。
2．（1分）（2022秋•渑池县期末）下面说法不正确的是（ ）
A．长方形是特殊的平行四边形
B．捏住平行四边形木框的两个对角反方向拉，它的周长不变
C．两个高相等的梯形一定能拼成一个平行四边形
【易错点拨】A.根据长方形和平行四边形的特征进行解答；
B.因为捏住平行四边形木框的两个对角，向相反方向拉，平行四边形木框的长度不变，所以周长不变；
C.根据梯形和平行四边形的特征得出：两个高相等的梯形不一定能拼成一个平行四边形。
【规范解答】解：A.根据长方形和平行四边形的特征得出长方形是特殊的平行四边形；原题说法正确；
B.行四边形的周长就是围成它们的线段的和，因为每条线段长度没有变化，所以周长不变；原题说法正确；
C.根据梯形和平行四边形的特征得出：两个高相等的梯形不一定能拼成一个平行四边形；原题说法错误。
故选：C。
【题后反思】本题主要考查了平行四边形，长方形和梯形的特征。
3．（1分）（2022秋•盘龙区期末）如图中a∥b，关于图形的个数，下列描述错误的是（ ）
A．有2个三角形B．有一个平行四边形
C．有2个梯形D．有3个梯形
【易错点拨】根据平行四边形、三角形、梯形的特征数出个数解答即可。
【规范解答】解：平行线之间的距离相等，据此可知图形BEC和图形ECF是三角形，四边形ADEC是平行四边形，四边形ADEB、四边形BEFC及四边形ADFC都是梯形，一共有3个梯形。
故选：C。
【题后反思】本题主要考查学生对平行四边形、三角形、梯形特征的掌握。
4．（1分）（2022春•思明区期末）在数学活动课上，同学们准备把一根长13厘米的吸管剪成三段围成三角形。如果第一次在3厘米处剪了一刀，第二次可以在（ ）处剪。（如图）
A．aB．bC．cD．d
【易错点拨】任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此解答。
【规范解答】解：A.第二次在a处剪，三段长为：3厘米、1厘米、9厘米，因为3+1＜9，所以A点不可以；
B.第二次在b处剪，三段长为：3厘米、2厘米、8厘米，因为3+2＜8，所以B点不可以；
C.第二次在c处剪，三段长为：3厘米、4厘米、6厘米，因为3+4＞6，所以C点可以；
D.第二次在d处剪，三段长为：3厘米、7厘米、3厘米，因为3+3＜7，所以D点不可以。
故选：C。
【题后反思】本题考查了三角形的三边关系的应用。
5．（1分）（2021春•玉门市期末）一个等腰三角形中，顶角是100°，一个底角是（ ）
A．100°B．40°C．55°
【易错点拨】等腰三角形有两个相等的底角和一个顶角，它的内角和是180度，用180度减去顶角的度数，是两个底角的度数和，再除以2即可求出一个底角的度数．
【规范解答】解：（180°﹣100°）÷2
＝80°÷2
＝40°
答：它的一个底角是40°．
故选：B．
【题后反思】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
二．仔细想，认真填（共8小题，满分21分）
6．（3分）（2023春•定州市期中）平行四边形的周长为252厘米，一条边长是32厘米，另外三条边长分别是 32 厘米、 94 厘米和 94 厘米。
【易错点拨】根据平行四边形的特点，对边相等可得，平行四边形的周长的求解方法与长方形相似，都是相邻两条边的和的2倍，由此先用周长252厘米除以2，求出相邻两边的和，再减去其中的一条边32厘米，即可求出另一条边。
【规范解答】解：252÷2﹣32
＝126﹣32
＝94（厘米）
答：另外三条边分别是32厘米，94厘米，94厘米。
故答案为：32，94，94。
【题后反思】熟知平行四边形的特点，找出其周长的计算方法是解决本题的关键。
7．（2分）（2023春•澄迈县月考）在三角形中，一个角是直角，另外两个角可能分别是 30 度和 60 度。
【易错点拨】三角形的内角和是180°，在正三角形中，两个锐角之和是90°，据此解答。
【规范解答】解：答案不唯一。在三角形中，一个角是直角，另外两个角可能分别是30度和60度。
故答案为：30，60（答案不唯一）。
【题后反思】此题考查的目的是理解掌握直角三角形的特征及应用。
（3分）（2023春•上蔡县月考）填出下面各角的度数
【易错点拨】三角形的内角和是180°，用三角形的内角和减去已知的两个角的度数即可求出另一个角的度数。据此解答。
【规范解答】解：∠C＝180°﹣∠A﹣∠B
＝180°﹣90°﹣38°
＝52°
∠B＝180°﹣∠A﹣∠C
＝180°﹣110°﹣45°
＝25°
∠A＝180°﹣∠B﹣∠C
＝180°﹣65°﹣70°
＝45°
【题后反思】此题考查的目的是理解掌握三角形内角和及应用。
9．（1分）（2022秋•桓台县期末）两根木条分别长8厘米和12厘米，再用一根 5 厘米长的木条，就可以钉成一个三角形。（填整厘米数）
【易错点拨】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；从而可以确定出第三条边的取值范围，进而得出结论。
【规范解答】解：因为12﹣8＝4（厘米）
12+8＝20（厘米）
所以另一边在4厘米和20厘米之间，所以第三条边的长度可以是5、6……19厘米；
从中任选一个数值，即可与两根木条组成三角形。
故答案为：5（答案不唯一）。
【题后反思】此题应根据三角形的特性和等腰三角形的特征进行分析、解答。
10．（4分）（2022秋•芝罘区期末）任意一个三角形，最多有 3 个锐角，最少有 2 个锐角；任意一个三角形，最多有 1 个钝角，最少有 0 个钝角。
【易错点拨】根据三角形的内角和是180度，锐角：大于0°，小于90°的角；钝角：大于90°，小于180°的角；进行解答即可。
【规范解答】解：任意一个三角形，最多有3个锐角，最少有2个锐角；任意一个三角形，最多有1个钝角，最少有0个钝角。
故答案为：3；2；1；0。
【题后反思】此题考查了三角形的内角和及钝角、锐角的概念，结合题意分析解答即可。
11．（2分）（2022春•陕州区期末）某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带第 ③ 块去．这是因为 三角形的内角和是180°，知道两个角即可求出第三个角 ．
【易错点拨】利用三角形内角和定理即可求解．
【规范解答】解：他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带第 ③块去．这是因为三角形的内角和是180°，知道两个角即可求出第三个角．这个三角形即可确定。
故答案为：③；因为三角形的内角和是180°，知道两个角即可求出第三个角．这个三角形即可确定。
【题后反思】此题主要考查了三角形的内角和定理的应用，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．
12．（2分）（2021春•思明区期末）如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC向右平移3cm所得，已知∠B＝60°，B′C′＝9cm，则∠1＝ 30° ，B′C＝ 6 cm。
【易错点拨】三角形的内角和是180°，用三角形的内角和减去∠A和∠B的度数就是∠C的度数，根据图形平移的性质，图形平移后，图形的形状和大小不变，只是图形的位置发生了变化。由此可知，∠1的度数与∠C的度数相等。已知B′C′＝9cm，三角形A′B′C′是由三角形ABC向右平移3cm所得，B′C的长度等于9cm减3cm。据此解答即可。
【规范解答】解：∠C＝180°﹣∠A﹣∠B
＝180°﹣90°﹣60°
＝30°
∠1＝∠C
9﹣3＝6（cm）
答：∠1是30°，B′C的长是6cm。
故答案为：30°，6。
【题后反思】此题考查的目的是理解掌握三角形内角和及应用，图形平移的性质及应用。
13．（4分）如图，把正方形剪成一个特殊的三角形。
（1）∠1＝ 30 °，∠2＝ 60 °。
（2）如果正方形的边长是5厘米，那么得到的三角形的周长是 15 厘米。
（3）如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去一个角（如图），在剩下的四边形中，∠3+∠4＝ 240 °。
【易错点拨】（1）连接BE，根据图形对折及点E在BC的垂直平分线上，可得三角形EBC是等边三角形，即可求解；
（2）剪开的三角形是以正方形为边长的等边三角形，所以正方形的边长是5厘米，那么得到的三角形的周长是15厘米；据此求解即可；
（3）根据四边形的内角和及等边三角形各角度数即可求解。
【规范解答】解：（1）如图：连接
BE
根据对折可得：BC＝EC，∠1＝∠3，
点E在BC的垂直平分线上，所以BE＝EC，
所以三角形EBC是等边三角形，可得∠ECB＝60°
因为∠1＝∠3，所以∠1＝60°÷2＝30°；
图4中三角形即是三角形EBC，所以∠2＝60°。
（2）因为剪开的三角形是以正方形为边长的等边三角形，所以正方形的边长是5厘米，那么得到的三角形的周长是15厘米。
（3）如图：如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去一个角，
∠3+∠4＝360°﹣60°﹣60°＝240°
故答案为：30，60；15；240。
【题后反思】本题主要考查了图形的折叠、三角形的内角和及四边形的内角和，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到顶点的性质及图形折叠特性。
三．判断正误（共5小题，满分5分，每小题1分）
14．（1分）（2023春•惠来县期中）用三根分别是5厘米，2厘米和7厘米的小棒不能围成一个三角形。 √ （判断对错）
【易错点拨】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，分析解答即可。
【规范解答】解：2+5＝7，不能围成三角形；所以题干说法正确。
故答案为：√。
【题后反思】此题考查了三角形的特性中的三角形的三边关系；判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数。
15．（1分）（2022秋•邹城市期末）一个等腰梯形可以分成一个平行四边形和一个等腰三角形． √ （判断对错）
【易错点拨】利用过直线外一点作已知直线的平行线的方法，过梯形的上底的一个端点A，作腰CD的平行线AE就可以分成一个平行四边形和一个等腰三角形。
【规范解答】解：如图所示，
故答案为：√。
【题后反思】此题主要考查过直线外一点作已知直线的平行线的方法。
16．（1分）（2023春•阜南县期中）在等腰三角形中，有一个内角是40°，另外两个内角一定是70°． × （判断对错）
【易错点拨】已知给出了一个内角是40°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还需用三角形内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
【规范解答】解：分情况讨论：
（1）若等腰三角形的顶角为40°时，另外两个内角＝（180°﹣40°）÷2＝70°；
（2）若等腰三角形的底角为40°时，它的另外一个底角为40°，顶角为180°﹣40°﹣40°＝100°．
这个等腰三角形另外两个角分别是70°、70°或40°、100°；
所以本题说法错误；
故答案为：×．
【题后反思】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
17．（1分）（2023春•武江区期中）用3厘米，4厘米，6厘米的三根小棒能摆成一个三角形 √ ．（判断对错）
【易错点拨】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．
【规范解答】解：因为：3+4＞6，所以能摆成三角形；
故答案为：√．
【题后反思】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可．
18．（1分）（2021春•富县期末）任何四边形的内角和等于三角形内角和的2倍． √ （判断对错）
【易错点拨】三角形的内角和等于180°，因为四边形的任意一条对角线都能将一个四边形分成2个三角形，因为三角形内角和是180°，所以四边形的内角和等于2个三角形的内角和的和，是360°，据此即可解答．
【规范解答】解：（4﹣2）×180÷180
＝2×180÷180
＝2
答：任何四边形的内角和等于三角形内角和的2倍．
故答案为：√．
【题后反思】利用多边形的内角和为（n﹣2）•180°即可求出四边形的内角和，进而解决问题．
四．计算能手（共2小题，满分8分，每小题4分）
19．（4分）（2017春•乐山期中）（1）如图，计算下面图形中的未知角的度数．
（2）已知等腰三角形的一个内角是98°，求它的另外两个内角的度数．
【易错点拨】（1）用三角形的内角和180度减去三角形内已知的两个角的和就是第三个角的度数，列式解答即可．
（2）先确定等腰三角形的一个内角是98°是顶角还是底角，然后进一步解答．
【规范解答】解：（1）180°﹣（90°+30°）
＝180°﹣120°
＝60°
（2）当98°内角是顶角时，另外两个底角是：
（180°﹣98°）÷2
＝82°÷2
＝41°
当98°内角是底角时，另外一个底角是98°不符合题意：
所以它的另外两个内角的度数都是41°．
【题后反思】明确三角形的内角和是180度是解答的关键．
20．（4分）如图，求角的度数．
∠1＝40°，∠3＝60°，∠6＝30°．求∠2、∠4、∠5的度数．
【易错点拨】运用三角形的内角和是180°，减去已知的2个角就是另外的一个角，一个平角的度数是180°．
【规范解答】解：已知∠1＝40°，∠3＝60°，∠6＝30°
所以∠4＝180°﹣∠1﹣∠3
∠4＝180°﹣40°﹣60°
∠4＝80°
∠5＝180°﹣∠4
∠5＝180°﹣80°
∠5＝100°
∠2＝180﹣∠6﹣∠5
∠2＝180°﹣30°﹣100°
∠2＝50°
答：∠2是50°，∠4是80°，∠5是100°．
【题后反思】本题根据三角形的内角和定理，以及平角是180度进行求解．
五．实际应用（共5小题，满分24分）
21．（4分）（2022•南京模拟）一个等腰三角的一个顶角是64°，它的一个底角是多少度？如果它的底角是64°，那么它的顶角是多少度？
【易错点拨】三角形内角和等于180°，等腰三角形的两个底角相等；180°减顶角的度数，再除以2等于一个底角的度数；180°减两个底角的度数，等于顶角的度数；据此即可解答。
【规范解答】解：（180°﹣64°）÷2
＝116°÷2
＝58°
180°﹣64°×2
＝180°﹣128°
＝52°
答：一个等腰三角的一个顶角是64°，它的一个底角是58°；一个等腰三角底角是64°，它的顶角是52°。
【题后反思】本题主要考查学生对三角形的内角和及等腰三角形的特征的掌握和灵活运用。
22．（5分）（2019春•昌乐县期末）本学期老师带领我们探究出了三角形的内角和是180°．我们在探究三角形的内角和时，老师引领我们经历了怎样的过程？
【易错点拨】在探究三角形的内角和时，我们通过折的方法把三角形的3个角折到一起拼成一个平角，根据平角的意义推导出三角形的内角和是180°。据此解答。
【规范解答】解：如图：
通过折的方法把三角形的3个角折到一起拼成一个平角，平角是180°，所以三角形的内角和是180°。
【题后反思】此题考查的目的是理解掌握三角形内角和的探究方法及应用。
23．（5分）一个等腰三角形，它的顶角的度数是一个底角度数的3倍，这个三角形的顶角和一个底角各是多少度？
【易错点拨】根据三角形的内角和是180°，等腰三角形的两个底角相等，设等腰三角形的底角是x，列方程解答。
【规范解答】解：设等腰三角形的底角是x度，
3x+x+x＝180°
5x＝180°
x＝36°
36°×3＝108°
答：这个三角形的顶角是108°，底角是36°。
【题后反思】此题考查了三角形的内角和及等腰三角形的角的度数的特点。
24．（5分）（2021春•浚县校级月考）一个等腰三角形的顶角的度数是一个底角度数的4倍，求这个三角形顶角的度数。
【易错点拨】三角形的内角和是180°，等腰三角形的两底角相等，根据一个等腰三角形的顶角的度数是一个底角度数的4倍，把这个三角形一个底角看作1份，则它的顶角度数是4份，三角形三个角的度数一共是（1+1+4）份，这6份一共是180°，所以用180度除以6，可求出一个底角的度数，再用一个底角的度数乘4即可求出顶角的度数。
【规范解答】解：180°÷（1+1+4）
＝180°÷6
＝30°
30°×4＝120°
答：这个三角形顶角的度数是120°。
【题后反思】本题的重点是根据和倍问题，求出三角形的底角是多少度。
25．（5分）（2021春•浚县校级月考）如图是一张长方形纸折起来以后的图形，其中∠1＝30°，你知道∠2的度数吗？
【易错点拨】如图：
可知：∠1+∠2+∠3＝180°，由∠1＝30°，得出∠2+∠3＝150°，由对折的性质可知∠3＝∠2，进一步求得∠2即可。
【规范解答】解：由对折的性质可知∠3＝∠2
因为∠1+∠2+∠3＝180°，∠1＝30°
所以∠2+∠3＝150°
∠2＝150°÷2＝75°
答：∠2的度数是75°。
【题后反思】此题考查利用对折重叠的两个角相等和平角等于180°来解决有关角度计算的问题。
六．动手操作（共2小题，满分12分，每小题6分）
26．（6分）（2022秋•信阳期末）在如图所示的方格纸中，画一个底是5厘米，高是3厘米的平行四边形；再画一个等腰梯形，并标出它的上底、下底和高。（每个小方格表示边长为1厘米的正方形）
【易错点拨】根据平行四边形的对边平行且相等的性质，可画一个底是4厘米、高是3厘米的平行四边形即可；根据等腰梯形的定义，画出等腰梯形即可。
【规范解答】解：
（答案不唯一）。
【题后反思】此题考查平行四边形的特征、等腰梯形的特征。
27．（6分）（2021秋•慈溪市期末）（1）请在下方右边空白处画一个与如图完全一样的直角梯形。
（2）在原图中画出：上底延长到E，连接EC后变成一个长方形。再想象填一填：如果把画好后的长方形AB边向上延长1厘米到F，并连接EF，又会变成 梯 形。
【易错点拨】（1）根据要求，结合梯形的画法，画一个与如图完全一样的直角梯形即可。
（2）根据要求，上底延长到E，连接EC后变成一个长方形。
再想象填一填：如果把画好后的长方形AB边向上延长1厘米到F，并连接EF，又会变成梯形。
【规范解答】解：作图如下：
如果把画好后的长方形AB边向上延长1厘米到F，并连接EF，又会变成梯形。
故答案为：梯。
【题后反思】本题考查了梯形的特征及画法知识，结合题意分析解答即可。
七．解决问题（共5小题，满分25分，每小题5分）
28．（5分）（2023春•沈丘县期中）一个等腰三角形的一条边长是8cm，另一条边长是6cm，这个等腰三角形的周长是多少厘米？
【易错点拨】根据等腰三角形的性质可知，等腰三角形的两腰相等，故需分类讨论哪条边长为底边长，哪条边长为腰长；再根据“任意两边之和大于第三边”对两种情况进行验证，从而解题。
【规范解答】解：当8cm为腰时，底为6cm，6+8＞8，所以这个等腰三角形的周长为：
8+8+6＝22（cm）
当6cm为腰时，底为8cm，6+6＞8，所以这个等腰三角形的周长为：
8+6+6＝20（cm）
答：这个等腰三角形的周长为22cm或20cm。
【题后反思】本题考查等腰三角形的特征及三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键。
29．（4分）（2023春•阜南县期中）你知道吗？三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。如∠1、∠2、∠3，请你用学过的知识求出三个外角的和＝ 360 °。
【易错点拨】如图：，根据三角形的内角和是180°及∠1+∠4＝180°、∠2+∠5＝180°、∠3+∠6＝180°；列式解答即可。
【规范解答】解：如图，
因为∠1＝180°﹣∠4
∠2＝180°﹣∠5
∠3＝180°﹣∠6
∠4+∠5+∠6＝180°
所以∠1+∠2+∠3
＝180°﹣∠4+180°﹣∠5+180°﹣∠6
＝180°×3﹣（∠4+∠5+∠6）
＝180°×3﹣180°
＝360°
故答案为：360。
【题后反思】本题是一道有关三角形内角和、角的认识的题目。
30．（5分）（2022秋•单县期末）填一填、画一画。
丽丽画了一个平行四边形，不小心擦掉了两条边，只剩下一个角（如图）：
①这个角是 钝 角。②请把这个平行四边形补充完整。
③画一条线段，把这个平行四边形分割成一个三角形和一个直角梯形。
【易错点拨】①量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的0刻度线和角的一条边对齐，做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度，看刻度要分清内外圈；大于90度的角是钝角；小于90度的角是锐角，等于90度的角是直角；据此解答；
②平行四边形对边相等和平行，据此特征画图；
③根据平行四边形的高的意义，从任一顶点作它对边的垂线段，这条垂线就叫高，据此画出即可；所画的这条高，把平行四边形分割成了三角形和直角梯形。
【规范解答】解：①这个角的度数为120°，是钝角；
②和③如图：
故答案为：钝。
【题后反思】本题考查了角的度量及平行四边形的特征及高的画法。
31．（5分）（2022春•鹿邑县期末）胡夫金字塔是古埃及金字塔中最大的金字塔，塔的其中一个侧面是一个等腰三角形，顶角约76°。这个侧面的一个底角约是多少度？
【易错点拨】等腰三角形中两个底角相等，根据三角形的内角和为180°可知，用180°减去顶角的度数，求出两个底角的度数和，再除以2，即可求出一个底角的度数。
【规范解答】解：（180°﹣76°）÷2
＝104°÷2
＝52°
答：这个侧面的一个底角约是52°。
【题后反思】此题考查的目的是理解掌握等腰三角形的特征，三角形的内角和及应用。
32．（6分）（2022春•淳安县期末）如图：三角形ABC中，A＝40°，D、E分别是AB、AC上的点，那么∠1+∠2+
∠3+∠4＝ 280 度。
请写出你的思考过程：
【易错点拨】根据三角形内角和是180°，∠A+∠1+∠2＝180°，∠A+∠3+∠4＝180°，所以∠A+∠1+∠2+∠A+∠3+∠4＝180°+180°＝360°，已知∠A＝40°，据此解答即可。
【规范解答】解：因为三角形内角和是180°
所以∠A+∠1+∠2＝180°
∠A+∠3+∠4＝180°
所以∠A+∠1+∠2+∠A+∠3+∠4＝180°+180°＝360°
已知∠A＝40°
所以∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣40°﹣40°＝280°。
故答案为：280。
【题后反思】本题考查了三角形内角和是180度知识，结合题意灵活分析解答即可
知识点一：三角形的认识
1.定义：三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。三角形有3个顶点、3条边和3个角。不在同一条直线上的3个点能画出一个三角形。
2.三角形的高：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。任意一个三角形都有三条高。
3.三角形三边的关系：三角形任意两边长度的和大于第三边。
4.三角形的内角和：三角形的内角和等于180°
5.三角形具有稳定性（也就是当一个三角形的三条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小都不会改变），生活中很多物体利用了这样的特性。如：人字梁、斜拉桥、自行车车架。
6.三角形的分类： eq \\ac(○,1)三个角都是锐角的三角形是锐角三角形 eq \\ac(○,2)有一个角是直角的三角形是直角三角形 eq \\ac(○,3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。任意一个三角形至少有两个锐角。
7.等腰三角形和等边三角形和等腰直角三角形：
eq \\ac(○,1)两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，底和腰的夹角叫做底角，两个底角相等，等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴。
eq \\ac(○,2)三条边都相等的三角形是等边三角形，三条边都相等，三个角也 都相等（每个角都是 60°，所有等边三角形的三个角都是60°。）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。
eq \\ac(○,3)有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，它的底角等于45°，顶角等于90°
eq \\ac(○,4)等腰三角形的顶角=180°－底角×2 等腰三角形的底角=（180°－顶角）÷2
eq \\ac(○,5)一个三角形最大的角是 60 度，这个三角形一定是等边三角形。
eq \\ac(○,6)多边形的内角和=180°×（边数－2）
知识点二：平行四边形的认识
1.定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，它的对边平行且相等，对角相等。从一个顶点向对边可以作两种不同的高。一个平行四边形有无数条高。
2.特征：平行四边形有4条边，4个角；平行四边形的两组对边分别平行且想等；平行四边形的两组对角分别相等。
3.平行四边形容易变形（不稳定性）：生活中许多物体都利用了这样的特性。如：电动伸缩门、铁拉门、伸降机。把平行四边形拉成一个长方形，周长不变，面积变了。平行四边形不是轴对称图形。
4.用两块(完全一样)的三角尺可以拼成一个平行四边形，正方形、长方形属于特殊的平行四边形。
知识点三：梯形的认识
1.定义：只有一组对边平行的四边形叫梯形。平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰，从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高（无数条）。
2.梯形的分类及特征：两条腰相等的梯形叫等腰梯形，它的两个底角相等，等腰梯形是轴对称图形，有一条对称轴；有一个角是直角的梯形叫直角梯形，直角梯形有两组邻边互相垂直
3.两个（完全一样）的梯形可以拼成一个平行四边形。
攻略一：三角形的概念及特征
1、三角形是由3条线段围成的，而且3条线段必须是首尾相连的。
2、从三角形的一个顶点到对边的线段中，只有垂直线段才是高。
3、三角形有三个顶点，三条边，从任意一个顶点都可以作对边的垂直线段，因此三角形有三条高。
4、三角形任意两边之和一定大于第三边。
攻略二：三角形的分类和内角和
1、钝角三角形中两个锐角的度数和小于90°，直角三角形中两个锐角的度数和等于90°。
2、任意一个三角形的内角和都等于180°。
3、三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。
4、三角形按角分类时，每一类三角形中都至少有两个锐角。
5、等腰三角形两腰所夹的角叫顶角。
6、两条边相等的三角形叫等腰三角形，与角的大小无关。在钝角三角形、锐角三角形和直角三角形中，如果有两条边相等，就可以称为等腰三角形。
7、不能说三角形分为等边三角形、直角三角形和钝角三角形，因为它们分类的标准不相同，所以无法这样分类。
攻略三：平行四边形和梯形
1、平行四边形有无数条高，但过一个顶点向每条对边都只能画一条高。
2、平行四边形的两组对边都必须平行。
3、判断梯形的标准是有且只有一组对边平行的四边形。
4、梯形的高必须是垂直于两底的线段。
一．精挑细选（共5小题，满分5分，每小题1分）
1．（1分）（2023春•澄迈县月考）任意一个三角形中至少有（ ）个锐角。
A．3B．2C．1
【易错点拨】三角形的内角和是180°，任意一个三角形中至少有2个锐角。据此解答。
【规范解答】解：任意一个三角形中至少有2个锐角。
故选：B。
【题后反思】此题考查的目的是理解掌握三角形内角和及应用，三角形的特征及应用。
2．（1分）（2022秋•渑池县期末）下面说法不正确的是（ ）
A．长方形是特殊的平行四边形
B．捏住平行四边形木框的两个对角反方向拉，它的周长不变
C．两个高相等的梯形一定能拼成一个平行四边形
【易错点拨】A.根据长方形和平行四边形的特征进行解答；
B.因为捏住平行四边形木框的两个对角，向相反方向拉，平行四边形木框的长度不变，所以周长不变；
C.根据梯形和平行四边形的特征得出：两个高相等的梯形不一定能拼成一个平行四边形。
【规范解答】解：A.根据长方形和平行四边形的特征得出长方形是特殊的平行四边形；原题说法正确；
B.行四边形的周长就是围成它们的线段的和，因为每条线段长度没有变化，所以周长不变；原题说法正确；
C.根据梯形和平行四边形的特征得出：两个高相等的梯形不一定能拼成一个平行四边形；原题说法错误。
故选：C。
【题后反思】本题主要考查了平行四边形，长方形和梯形的特征。
3．（1分）（2022秋•盘龙区期末）如图中a∥b，关于图形的个数，下列描述错误的是（ ）
A．有2个三角形B．有一个平行四边形
C．有2个梯形D．有3个梯形
【易错点拨】根据平行四边形、三角形、梯形的特征数出个数解答即可。
【规范解答】解：平行线之间的距离相等，据此可知图形BEC和图形ECF是三角形，四边形ADEC是平行四边形，四边形ADEB、四边形BEFC及四边形ADFC都是梯形，一共有3个梯形。
故选：C。
【题后反思】本题主要考查学生对平行四边形、三角形、梯形特征的掌握。
4．（1分）（2022春•思明区期末）在数学活动课上，同学们准备把一根长13厘米的吸管剪成三段围成三角形。如果第一次在3厘米处剪了一刀，第二次可以在（ ）处剪。（如图）
A．aB．bC．cD．d
【易错点拨】任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此解答。
【规范解答】解：A.第二次在a处剪，三段长为：3厘米、1厘米、9厘米，因为3+1＜9，所以A点不可以；
B.第二次在b处剪，三段长为：3厘米、2厘米、8厘米，因为3+2＜8，所以B点不可以；
C.第二次在c处剪，三段长为：3厘米、4厘米、6厘米，因为3+4＞6，所以C点可以；
D.第二次在d处剪，三段长为：3厘米、7厘米、3厘米，因为3+3＜7，所以D点不可以。
故选：C。
【题后反思】本题考查了三角形的三边关系的应用。
5．（1分）（2021春•玉门市期末）一个等腰三角形中，顶角是100°，一个底角是（ ）
A．100°B．40°C．55°
【易错点拨】等腰三角形有两个相等的底角和一个顶角，它的内角和是180度，用180度减去顶角的度数，是两个底角的度数和，再除以2即可求出一个底角的度数．
【规范解答】解：（180°﹣100°）÷2
＝80°÷2
＝40°
答：它的一个底角是40°．
故选：B．
【题后反思】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
二．仔细想，认真填（共8小题，满分21分）
6．（3分）（2023春•定州市期中）平行四边形的周长为252厘米，一条边长是32厘米，另外三条边长分别是 32 厘米、 94 厘米和 94 厘米。
【易错点拨】根据平行四边形的特点，对边相等可得，平行四边形的周长的求解方法与长方形相似，都是相邻两条边的和的2倍，由此先用周长252厘米除以2，求出相邻两边的和，再减去其中的一条边32厘米，即可求出另一条边。
【规范解答】解：252÷2﹣32
＝126﹣32
＝94（厘米）
答：另外三条边分别是32厘米，94厘米，94厘米。
故答案为：32，94，94。
【题后反思】熟知平行四边形的特点，找出其周长的计算方法是解决本题的关键。
7．（2分）（2023春•澄迈县月考）在三角形中，一个角是直角，另外两个角可能分别是 30 度和 60 度。
【易错点拨】三角形的内角和是180°，在正三角形中，两个锐角之和是90°，据此解答。
【规范解答】解：答案不唯一。在三角形中，一个角是直角，另外两个角可能分别是30度和60度。
故答案为：30，60（答案不唯一）。
【题后反思】此题考查的目的是理解掌握直角三角形的特征及应用。
（3分）（2023春•上蔡县月考）填出下面各角的度数
【易错点拨】三角形的内角和是180°，用三角形的内角和减去已知的两个角的度数即可求出另一个角的度数。据此解答。
【规范解答】解：∠C＝180°﹣∠A﹣∠B
＝180°﹣90°﹣38°
＝52°
∠B＝180°﹣∠A﹣∠C
＝180°﹣110°﹣45°
＝25°
∠A＝180°﹣∠B﹣∠C
＝180°﹣65°﹣70°
＝45°
【题后反思】此题考查的目的是理解掌握三角形内角和及应用。
9．（1分）（2022秋•桓台县期末）两根木条分别长8厘米和12厘米，再用一根 5 厘米长的木条，就可以钉成一个三角形。（填整厘米数）
【易错点拨】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；从而可以确定出第三条边的取值范围，进而得出结论。
【规范解答】解：因为12﹣8＝4（厘米）
12+8＝20（厘米）
所以另一边在4厘米和20厘米之间，所以第三条边的长度可以是5、6……19厘米；
从中任选一个数值，即可与两根木条组成三角形。
故答案为：5（答案不唯一）。
【题后反思】此题应根据三角形的特性和等腰三角形的特征进行分析、解答。
10．（4分）（2022秋•芝罘区期末）任意一个三角形，最多有 3 个锐角，最少有 2 个锐角；任意一个三角形，最多有 1 个钝角，最少有 0 个钝角。
【易错点拨】根据三角形的内角和是180度，锐角：大于0°，小于90°的角；钝角：大于90°，小于180°的角；进行解答即可。
【规范解答】解：任意一个三角形，最多有3个锐角，最少有2个锐角；任意一个三角形，最多有1个钝角，最少有0个钝角。
故答案为：3；2；1；0。
【题后反思】此题考查了三角形的内角和及钝角、锐角的概念，结合题意分析解答即可。
11．（2分）（2022春•陕州区期末）某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带第 ③ 块去．这是因为 三角形的内角和是180°，知道两个角即可求出第三个角 ．
【易错点拨】利用三角形内角和定理即可求解．
【规范解答】解：他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带第 ③块去．这是因为三角形的内角和是180°，知道两个角即可求出第三个角．这个三角形即可确定。
故答案为：③；因为三角形的内角和是180°，知道两个角即可求出第三个角．这个三角形即可确定。
【题后反思】此题主要考查了三角形的内角和定理的应用，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．
12．（2分）（2021春•思明区期末）如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC向右平移3cm所得，已知∠B＝60°，B′C′＝9cm，则∠1＝ 30° ，B′C＝ 6 cm。
【易错点拨】三角形的内角和是180°，用三角形的内角和减去∠A和∠B的度数就是∠C的度数，根据图形平移的性质，图形平移后，图形的形状和大小不变，只是图形的位置发生了变化。由此可知，∠1的度数与∠C的度数相等。已知B′C′＝9cm，三角形A′B′C′是由三角形ABC向右平移3cm所得，B′C的长度等于9cm减3cm。据此解答即可。
【规范解答】解：∠C＝180°﹣∠A﹣∠B
＝180°﹣90°﹣60°
＝30°
∠1＝∠C
9﹣3＝6（cm）
答：∠1是30°，B′C的长是6cm。
故答案为：30°，6。
【题后反思】此题考查的目的是理解掌握三角形内角和及应用，图形平移的性质及应用。
13．（4分）如图，把正方形剪成一个特殊的三角形。
（1）∠1＝ 30 °，∠2＝ 60 °。
（2）如果正方形的边长是5厘米，那么得到的三角形的周长是 15 厘米。
（3）如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去一个角（如图），在剩下的四边形中，∠3+∠4＝ 240 °。
【易错点拨】（1）连接BE，根据图形对折及点E在BC的垂直平分线上，可得三角形EBC是等边三角形，即可求解；
（2）剪开的三角形是以正方形为边长的等边三角形，所以正方形的边长是5厘米，那么得到的三角形的周长是15厘米；据此求解即可；
（3）根据四边形的内角和及等边三角形各角度数即可求解。
【规范解答】解：（1）如图：连接
BE
根据对折可得：BC＝EC，∠1＝∠3，
点E在BC的垂直平分线上，所以BE＝EC，
所以三角形EBC是等边三角形，可得∠ECB＝60°
因为∠1＝∠3，所以∠1＝60°÷2＝30°；
图4中三角形即是三角形EBC，所以∠2＝60°。
（2）因为剪开的三角形是以正方形为边长的等边三角形，所以正方形的边长是5厘米，那么得到的三角形的周长是15厘米。
（3）如图：如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去一个角，
∠3+∠4＝360°﹣60°﹣60°＝240°
故答案为：30，60；15；240。
【题后反思】本题主要考查了图形的折叠、三角形的内角和及四边形的内角和，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到顶点的性质及图形折叠特性。
三．判断正误（共5小题，满分5分，每小题1分）
14．（1分）（2023春•惠来县期中）用三根分别是5厘米，2厘米和7厘米的小棒不能围成一个三角形。 √ （判断对错）
【易错点拨】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，分析解答即可。
【规范解答】解：2+5＝7，不能围成三角形；所以题干说法正确。
故答案为：√。
【题后反思】此题考查了三角形的特性中的三角形的三边关系；判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数。
15．（1分）（2022秋•邹城市期末）一个等腰梯形可以分成一个平行四边形和一个等腰三角形． √ （判断对错）
【易错点拨】利用过直线外一点作已知直线的平行线的方法，过梯形的上底的一个端点A，作腰CD的平行线AE就可以分成一个平行四边形和一个等腰三角形。
【规范解答】解：如图所示，
故答案为：√。
【题后反思】此题主要考查过直线外一点作已知直线的平行线的方法。
16．（1分）（2023春•阜南县期中）在等腰三角形中，有一个内角是40°，另外两个内角一定是70°． × （判断对错）
【易错点拨】已知给出了一个内角是40°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还需用三角形内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
【规范解答】解：分情况讨论：
（1）若等腰三角形的顶角为40°时，另外两个内角＝（180°﹣40°）÷2＝70°；
（2）若等腰三角形的底角为40°时，它的另外一个底角为40°，顶角为180°﹣40°﹣40°＝100°．
这个等腰三角形另外两个角分别是70°、70°或40°、100°；
所以本题说法错误；
故答案为：×．
【题后反思】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
17．（1分）（2023春•武江区期中）用3厘米，4厘米，6厘米的三根小棒能摆成一个三角形 √ ．（判断对错）
【易错点拨】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．
【规范解答】解：因为：3+4＞6，所以能摆成三角形；
故答案为：√．
【题后反思】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可．
18．（1分）（2021春•富县期末）任何四边形的内角和等于三角形内角和的2倍． √ （判断对错）
【易错点拨】三角形的内角和等于180°，因为四边形的任意一条对角线都能将一个四边形分成2个三角形，因为三角形内角和是180°，所以四边形的内角和等于2个三角形的内角和的和，是360°，据此即可解答．
【规范解答】解：（4﹣2）×180÷180
＝2×180÷180
＝2
答：任何四边形的内角和等于三角形内角和的2倍．
故答案为：√．
【题后反思】利用多边形的内角和为（n﹣2）•180°即可求出四边形的内角和，进而解决问题．
四．计算能手（共2小题，满分8分，每小题4分）
19．（4分）（2017春•乐山期中）（1）如图，计算下面图形中的未知角的度数．
（2）已知等腰三角形的一个内角是98°，求它的另外两个内角的度数．
【易错点拨】（1）用三角形的内角和180度减去三角形内已知的两个角的和就是第三个角的度数，列式解答即可．
（2）先确定等腰三角形的一个内角是98°是顶角还是底角，然后进一步解答．
【规范解答】解：（1）180°﹣（90°+30°）
＝180°﹣120°
＝60°
（2）当98°内角是顶角时，另外两个底角是：
（180°﹣98°）÷2
＝82°÷2
＝41°
当98°内角是底角时，另外一个底角是98°不符合题意：
所以它的另外两个内角的度数都是41°．
【题后反思】明确三角形的内角和是180度是解答的关键．
20．（4分）如图，求角的度数．
∠1＝40°，∠3＝60°，∠6＝30°．求∠2、∠4、∠5的度数．
【易错点拨】运用三角形的内角和是180°，减去已知的2个角就是另外的一个角，一个平角的度数是180°．
【规范解答】解：已知∠1＝40°，∠3＝60°，∠6＝30°
所以∠4＝180°﹣∠1﹣∠3
∠4＝180°﹣40°﹣60°
∠4＝80°
∠5＝180°﹣∠4
∠5＝180°﹣80°
∠5＝100°
∠2＝180﹣∠6﹣∠5
∠2＝180°﹣30°﹣100°
∠2＝50°
答：∠2是50°，∠4是80°，∠5是100°．
【题后反思】本题根据三角形的内角和定理，以及平角是180度进行求解．
五．实际应用（共5小题，满分24分）
21．（4分）（2022•南京模拟）一个等腰三角的一个顶角是64°，它的一个底角是多少度？如果它的底角是64°，那么它的顶角是多少度？
【易错点拨】三角形内角和等于180°，等腰三角形的两个底角相等；180°减顶角的度数，再除以2等于一个底角的度数；180°减两个底角的度数，等于顶角的度数；据此即可解答。
【规范解答】解：（180°﹣64°）÷2
＝116°÷2
＝58°
180°﹣64°×2
＝180°﹣128°
＝52°
答：一个等腰三角的一个顶角是64°，它的一个底角是58°；一个等腰三角底角是64°，它的顶角是52°。
【题后反思】本题主要考查学生对三角形的内角和及等腰三角形的特征的掌握和灵活运用。
22．（5分）（2019春•昌乐县期末）本学期老师带领我们探究出了三角形的内角和是180°．我们在探究三角形的内角和时，老师引领我们经历了怎样的过程？
【易错点拨】在探究三角形的内角和时，我们通过折的方法把三角形的3个角折到一起拼成一个平角，根据平角的意义推导出三角形的内角和是180°。据此解答。
【规范解答】解：如图：
通过折的方法把三角形的3个角折到一起拼成一个平角，平角是180°，所以三角形的内角和是180°。
【题后反思】此题考查的目的是理解掌握三角形内角和的探究方法及应用。
23．（5分）一个等腰三角形，它的顶角的度数是一个底角度数的3倍，这个三角形的顶角和一个底角各是多少度？
【易错点拨】根据三角形的内角和是180°，等腰三角形的两个底角相等，设等腰三角形的底角是x，列方程解答。
【规范解答】解：设等腰三角形的底角是x度，
3x+x+x＝180°
5x＝180°
x＝36°
36°×3＝108°
答：这个三角形的顶角是108°，底角是36°。
【题后反思】此题考查了三角形的内角和及等腰三角形的角的度数的特点。
24．（5分）（2021春•浚县校级月考）一个等腰三角形的顶角的度数是一个底角度数的4倍，求这个三角形顶角的度数。
【易错点拨】三角形的内角和是180°，等腰三角形的两底角相等，根据一个等腰三角形的顶角的度数是一个底角度数的4倍，把这个三角形一个底角看作1份，则它的顶角度数是4份，三角形三个角的度数一共是（1+1+4）份，这6份一共是180°，所以用180度除以6，可求出一个底角的度数，再用一个底角的度数乘4即可求出顶角的度数。
【规范解答】解：180°÷（1+1+4）
＝180°÷6
＝30°
30°×4＝120°
答：这个三角形顶角的度数是120°。
【题后反思】本题的重点是根据和倍问题，求出三角形的底角是多少度。
25．（5分）（2021春•浚县校级月考）如图是一张长方形纸折起来以后的图形，其中∠1＝30°，你知道∠2的度数吗？
【易错点拨】如图：
可知：∠1+∠2+∠3＝180°，由∠1＝30°，得出∠2+∠3＝150°，由对折的性质可知∠3＝∠2，进一步求得∠2即可。
【规范解答】解：由对折的性质可知∠3＝∠2
因为∠1+∠2+∠3＝180°，∠1＝30°
所以∠2+∠3＝150°
∠2＝150°÷2＝75°
答：∠2的度数是75°。
【题后反思】此题考查利用对折重叠的两个角相等和平角等于180°来解决有关角度计算的问题。
六．动手操作（共2小题，满分12分，每小题6分）
26．（6分）（2022秋•信阳期末）在如图所示的方格纸中，画一个底是5厘米，高是3厘米的平行四边形；再画一个等腰梯形，并标出它的上底、下底和高。（每个小方格表示边长为1厘米的正方形）
【易错点拨】根据平行四边形的对边平行且相等的性质，可画一个底是4厘米、高是3厘米的平行四边形即可；根据等腰梯形的定义，画出等腰梯形即可。
【规范解答】解：
（答案不唯一）。
【题后反思】此题考查平行四边形的特征、等腰梯形的特征。
27．（6分）（2021秋•慈溪市期末）（1）请在下方右边空白处画一个与如图完全一样的直角梯形。
（2）在原图中画出：上底延长到E，连接EC后变成一个长方形。再想象填一填：如果把画好后的长方形AB边向上延长1厘米到F，并连接EF，又会变成 梯 形。
【易错点拨】（1）根据要求，结合梯形的画法，画一个与如图完全一样的直角梯形即可。
（2）根据要求，上底延长到E，连接EC后变成一个长方形。
再想象填一填：如果把画好后的长方形AB边向上延长1厘米到F，并连接EF，又会变成梯形。
【规范解答】解：作图如下：
如果把画好后的长方形AB边向上延长1厘米到F，并连接EF，又会变成梯形。
故答案为：梯。
【题后反思】本题考查了梯形的特征及画法知识，结合题意分析解答即可。
七．解决问题（共5小题，满分25分，每小题5分）
28．（5分）（2023春•沈丘县期中）一个等腰三角形的一条边长是8cm，另一条边长是6cm，这个等腰三角形的周长是多少厘米？
【易错点拨】根据等腰三角形的性质可知，等腰三角形的两腰相等，故需分类讨论哪条边长为底边长，哪条边长为腰长；再根据“任意两边之和大于第三边”对两种情况进行验证，从而解题。
【规范解答】解：当8cm为腰时，底为6cm，6+8＞8，所以这个等腰三角形的周长为：
8+8+6＝22（cm）
当6cm为腰时，底为8cm，6+6＞8，所以这个等腰三角形的周长为：
8+6+6＝20（cm）
答：这个等腰三角形的周长为22cm或20cm。
【题后反思】本题考查等腰三角形的特征及三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键。
29．（4分）（2023春•阜南县期中）你知道吗？三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。如∠1、∠2、∠3，请你用学过的知识求出三个外角的和＝ 360 °。
【易错点拨】如图：，根据三角形的内角和是180°及∠1+∠4＝180°、∠2+∠5＝180°、∠3+∠6＝180°；列式解答即可。
【规范解答】解：如图，
因为∠1＝180°﹣∠4
∠2＝180°﹣∠5
∠3＝180°﹣∠6
∠4+∠5+∠6＝180°
所以∠1+∠2+∠3
＝180°﹣∠4+180°﹣∠5+180°﹣∠6
＝180°×3﹣（∠4+∠5+∠6）
＝180°×3﹣180°
＝360°
故答案为：360。
【题后反思】本题是一道有关三角形内角和、角的认识的题目。
30．（5分）（2022秋•单县期末）填一填、画一画。
丽丽画了一个平行四边形，不小心擦掉了两条边，只剩下一个角（如图）：
①这个角是 钝 角。②请把这个平行四边形补充完整。
③画一条线段，把这个平行四边形分割成一个三角形和一个直角梯形。
【易错点拨】①量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的0刻度线和角的一条边对齐，做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度，看刻度要分清内外圈；大于90度的角是钝角；小于90度的角是锐角，等于90度的角是直角；据此解答；
②平行四边形对边相等和平行，据此特征画图；
③根据平行四边形的高的意义，从任一顶点作它对边的垂线段，这条垂线就叫高，据此画出即可；所画的这条高，把平行四边形分割成了三角形和直角梯形。
【规范解答】解：①这个角的度数为120°，是钝角；
②和③如图：
故答案为：钝。
【题后反思】本题考查了角的度量及平行四边形的特征及高的画法。
31．（5分）（2022春•鹿邑县期末）胡夫金字塔是古埃及金字塔中最大的金字塔，塔的其中一个侧面是一个等腰三角形，顶角约76°。这个侧面的一个底角约是多少度？
【易错点拨】等腰三角形中两个底角相等，根据三角形的内角和为180°可知，用180°减去顶角的度数，求出两个底角的度数和，再除以2，即可求出一个底角的度数。
【规范解答】解：（180°﹣76°）÷2
＝104°÷2
＝52°
答：这个侧面的一个底角约是52°。
【题后反思】此题考查的目的是理解掌握等腰三角形的特征，三角形的内角和及应用。
32．（6分）（2022春•淳安县期末）如图：三角形ABC中，A＝40°，D、E分别是AB、AC上的点，那么∠1+∠2+
∠3+∠4＝ 280 度。
请写出你的思考过程：
【易错点拨】根据三角形内角和是180°，∠A+∠1+∠2＝180°，∠A+∠3+∠4＝180°，所以∠A+∠1+∠2+∠A+∠3+∠4＝180°+180°＝360°，已知∠A＝40°，据此解答即可。
【规范解答】解：因为三角形内角和是180°
所以∠A+∠1+∠2＝180°
∠A+∠3+∠4＝180°
所以∠A+∠1+∠2+∠A+∠3+∠4＝180°+180°＝360°
已知∠A＝40°
所以∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣40°﹣40°＝280°。
故答案为：280。
【题后反思】本题考查了三角形内角和是180度知识，结合题意灵活分析解答即可
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