2023年山东省临沂市兰山区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年山东省临沂市兰山区中考数学一模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省临沂市兰山区中考数学一模试卷
一、选择题（每题3分，共36分）
1．sin30°的值为（　　）
A． B． C． D．
2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．斐波那契螺旋线 B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图 D．科克曲线
3．下列运算正确的是（　　）
A．2x2+3x3＝5x5 B．（﹣2x）3＝﹣6x3
C．（x+y）2＝x2+y2 D．（3x+2）（2﹣3x）＝4﹣9x2
4．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（　　）

A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
5．下列图形中，主视图和左视图一样的是（　　）
A． B．
C． D．
6．一个正多边形的内角和是900度，则这个多边形是（　　）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
7．不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．某厂职工2020年的人均收入约为12000元，预计2022年的人均收入约为14520元，则人均收入的年平均增长率为（　　）
A．1% B．1.21% C．10% D．12.1%
9．费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻的数学家．下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：29，32，33，35，35，40，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．35，35 B．34，33 C．34，35 D．35，34
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，画射线BP，交AC于点D，若AD＝BD，则∠A的度数是（　　）

A．36° B．54° C．72° D．108°
11．如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．﹣ B．2﹣π C． D．﹣
12．已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（　　）
A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4
二、填空题（每题3分，共12分）
13．分解因式：3ax2﹣3ay2＝　 　．
14．一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别．若任意摸出一个球，摸出红球的概率为，则这个箱子中黄球的个数为 　 　个．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为 　 　．

16．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE＝5，CN＝8，则线段AB的长为 　 　．

三、解答题
17．（1）计算：；
（2）解分式方程：．
18．为减少传统塑料袋对生态环境的破坏，国家提倡使用可以在自然环境下（特定微生物、温度、湿度）较快完成降解的环保塑料袋．调查小组就某小区每户家庭1周内环保塑料袋的使用情况进行了抽样调查，使用情况为A（不使用）、B（1～3个）、C（4～6个）、D（7个及以上），以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分．
（1）本次调查的样本容量是 　 　，请补全条形统计图；
（2）已知该小区有1500户家庭，调查小组估计：该小区1周内使用7个及以上环保塑料袋的家庭约有225户．调查小组的估计是否合理？请说明理由．

19．某数学小组要测量学校路灯P﹣M﹣N的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，测量结果如下：
测量项目
测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角α
α＝58°
从D处测得路灯顶部P的仰角β
β＝31°
测角仪到地面的距离
AB＝DC＝1.6m
两次测量时测角仪之间的水平距离
BC＝2m
计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）

20．如图①和图②，并给出的关键信息有：哥哥、妹妹、家、书店．哥哥妹妹同时从家外出．

（1）请根据给出的关键信息以及两幅图，用精炼的语言创设一个问题情境，恰好能表达图①和图②中图象对应的函数关系．
（2）请根据（1）一种所创设的情境，用精炼的语言描述一下第30分钟时，两图中所表达的现实情境．
（3）请根据一中所创设的情境，第35分钟时图①和图②中速度更快的是填图①和图②．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，AC＝CD，AD与BC相交于点E，点F在BC的延长线上，且AF＝AE．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若EF＝6，sin∠BAC＝，求⊙O的半径．

22．某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：
年度（年）
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年度纯收入（万元）
1.5
2.5
4.5
7.5
11.3

若记2016年度为第1年，在直角坐标系中用点（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况．如图所示（m＞0），y＝x+b（k＞0），y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2021年度的纯收入．

（1）能否选用函数（m＞0）进行模拟，请说明理由；
（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；
（3）甲农户准备在2021年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测甲农户2021年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求．
23．问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．

（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．


参考答案
一、选择题（每题3分，共36分）
1．sin30°的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
解：sin30°＝．
故选：C．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．斐波那契螺旋线 B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图 D．科克曲线
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原来的图形重合．
3．下列运算正确的是（　　）
A．2x2+3x3＝5x5 B．（﹣2x）3＝﹣6x3
C．（x+y）2＝x2+y2 D．（3x+2）（2﹣3x）＝4﹣9x2
【分析】根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，平方差公式计算即可．
解：A选项，2x2与3x3不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；
B选项，原式＝﹣8x3，故该选项计算错误，不符合题意；
C选项，原式＝x2+2xy+y2，故该选项计算错误，不符合题意；
D选项，原式＝22﹣（3x）2＝4﹣9x2，故该选项计算正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，注意完全平方公式展开有三项．
4．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（　　）

A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】根据垂线的性质进行解答即可．
解：A、直线外一点到这条直线上各点的连线中，垂线段最短，故A符合题意；
B、两点确定一条直线，是直线的性质，故B不符合题意；
C、连接两点的所有线中，线段最短，故C不符合题意；
D、平行线的一条性质，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查垂线的性质，关键是掌握垂线的两条性质，明白垂线段最短．
5．下列图形中，主视图和左视图一样的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据各个几何体的主视图和左视图进行判定即可．
解：A．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
B．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
C．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
D．主视图和左视图相同，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体的三视图的形状是正确判断的关键．
6．一个正多边形的内角和是900度，则这个多边形是（　　）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
【分析】根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．
解：设这个多边形的边数为n，
则有（n﹣2）180°＝900°，
解得：n＝7，
∴这个多边形的边数为7．
故选：B．
【点评】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题．
7．不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】解出两个不等式，再表示出不等式组的解集，在数轴上正确表示出来即可选出正确答案．
解：解不等式x+1＜0得，x＜﹣1,
解不等式﹣2x≤6得，x≥﹣3，
∴不等式组的解集为：﹣3≤x＜﹣1,在数轴上表示为：

故选：A．
【点评】本题考查一元一次不等式组的解法以及数轴上表示解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
8．某厂职工2020年的人均收入约为12000元，预计2022年的人均收入约为14520元，则人均收入的年平均增长率为（　　）
A．1% B．1.21% C．10% D．12.1%
【分析】利用一元二次方程的应用中的增长率问题设元列方程求解即可．
解：设人均收入的年平均增长率为x，
则12000（1+x）2＝14520，
解得x＝0.1（其中x＝﹣2.1＜0舍去），
故增长率为10%，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的应用中的增长率问题，须注意实际情况中数据的取舍，正确的列式计算是解题的关键．
9．费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻的数学家．下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：29，32，33，35，35，40，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．35，35 B．34，33 C．34，35 D．35，34
【分析】根据中位数和众数的定义求解可得．
解：∵35出现的次数最多，
∴这组数据的众数是35，
把这些数从小到大排列，排在中间的两个数分别为33、35，故中位数为，
故选：D．
【点评】本题主要考查众数和中位数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，画射线BP，交AC于点D，若AD＝BD，则∠A的度数是（　　）

A．36° B．54° C．72° D．108°
【分析】由题意可得BP为∠ABC的角平分线，则∠ABD＝∠CBD，由AD＝BD，可得∠A＝∠ABD，即可得∠ABC＝2∠A，由AB＝AC，可得∠ABC＝∠C，再结合三角形内角和定理可列出关于∠A的方程，即可得出答案．
解：由题意可得BP为∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABC＝2∠A，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2∠A，
∴∠A+∠ABC+∠C＝∠A+2∠A+2∠A＝180°，
解得∠A＝36°．
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．
11．如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．﹣ B．2﹣π C． D．﹣
【分析】作AF⊥BC，由勾股定理求出AF，然后根据S阴影＝S△ABC﹣S扇形ADE得出答案．
解：由题意，以A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，
设切点为F，连接AF，则AF⊥BC．

在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝60°，
∴CF＝BF＝1．
在Rt△ACF中，AF＝＝，
∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形ADE
＝×2×﹣
＝﹣，
故选：D．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，求扇形面积，理解切线的性质，将阴影部分的面积转化为三角形的面积﹣扇形的面积是解题的关键．
12．已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（　　）
A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4
【分析】分两种情况讨论：当a＞0时，﹣a＝﹣4，解得a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，9a﹣a＝﹣4，解得a＝﹣．
解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为（1，﹣a），
当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，
∵y的最小值为﹣4，
∴﹣a＝﹣4，
∴a＝4；
当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，
解得a＝﹣；
综上所述：a的值为4或﹣，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共12分）
13．分解因式：3ax2﹣3ay2＝　3a（x+y）（x﹣y）　．
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
解：原式＝3a（x2﹣y2）
＝3a（x+y）（x﹣y）．
故答案为：3a（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了多项式的因式分解，掌握提公因式法和平方差公式是解决本题的关键．
14．一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别．若任意摸出一个球，摸出红球的概率为，则这个箱子中黄球的个数为 　15　个．
【分析】直接利用概率公式得出＝，进而得出答案．
解：设箱子中黄球的个数为x个，根据题意可得：
＝，
解得：x＝15，
经检验得：x＝15是原方程的根．
故答案为：15．
【点评】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为 　　．

【分析】由∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB得AC∥MN∥BD，从而得△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，由相似比，得到MN的长度．
解：∵∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB，
∴AC∥MN∥BD，∠CNM＝∠CBD，
∴∠MAC＝∠MBD，∠MCA＝∠MDB＝∠CMN，
∴△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，
∴，，
∴，
∴，
∴MN＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，旨在判断学生是否对两个常见的相似模型“A型相似”和“8字型相似”能够灵活应用．这里的易错点是在得到第一对三角形的相似比时，学生容易直接使用在第二对相似三角形中，导致失分．
16．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE＝5，CN＝8，则线段AB的长为 　20　．

【分析】连接AE，AF，EN，由正方形的性质可得AB＝AD，BC＝CD，∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°，可证得△ABE≌△ADF（SAS），可得∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，从而可得∠EAF＝90°，根据等腰三角形三线合一可得点M为EF中点，由AN⊥EF可证得△AEM≌△AFM（SAS），△EMN≌△FMN（SAS），可得EN＝FN，设DN＝x，则EN＝FN＝x+5，CE＝x+3，由勾股定理解得x＝12，可得DN＝12，AD＝BC＝20．
解：如图，连接AE，AF，EN，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，BC＝CD，∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，
∴∠EAF＝90°，
∴△EAF为等腰直角三角形，
∵AN⊥EF，
∴EM＝FM，∠EAM＝∠FAM＝45°，
∴△AEM≌△AFM（SAS），△EMN≌△FMN（SAS），
∴EN＝FN，
设DN＝x，
∵BE＝DF＝5，CN＝8，
∴CD＝CN+DN＝x+8，
∴EN＝FN＝DN+DF＝x+5，CE＝BC﹣BE＝CD﹣BE＝x+8﹣5＝x+3，
在Rt△ECN中，由勾股定理可得：
CN2+CE2＝EN2，
即82+（x+3）2＝（x+5）2，
解得：x＝12，
∴DN＝12，AD＝BC＝BE+CE＝5+x+3＝20．
∴AB＝AD＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，构建全等三角形解决问题．
三、解答题
17．（1）计算：；
（2）解分式方程：．
【分析】（1）先化简二次根式和计算负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可；
（2）先把分式方程化为整式方程求解，再检验即可．
解：（1）原式＝＝＝；
（2）
方程两边同乘以x（x+3），得5x＝x+3，
移项，得5x﹣x＝3，
合并同类项，得4x＝3，
系数化为1，得，
检验：当时，x（x+3）≠0，
∴是原分式方程的解．
【点评】本题主要考查了实数的混合计算，解分式方程，化简二次根式，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
18．为减少传统塑料袋对生态环境的破坏，国家提倡使用可以在自然环境下（特定微生物、温度、湿度）较快完成降解的环保塑料袋．调查小组就某小区每户家庭1周内环保塑料袋的使用情况进行了抽样调查，使用情况为A（不使用）、B（1～3个）、C（4～6个）、D（7个及以上），以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分．
（1）本次调查的样本容量是 　100　，请补全条形统计图；
（2）已知该小区有1500户家庭，调查小组估计：该小区1周内使用7个及以上环保塑料袋的家庭约有225户．调查小组的估计是否合理？请说明理由．

【分析】（1）用A类户数除以它所占的百分比得到样本容量，然后计算出C类和B类户数后补全条形统计图；
（2）利用样本估计总体，由于1500×＝225（户），则可估计该小区1周内使用7个及以上环保塑料袋的家庭约有225户，从而可判断调查小组的估计合理．
解：（1）20÷20%＝100，
所以本次调查的样本容量为100；
C类户数为100×25%＝25（户），
B类户数为100﹣20﹣25﹣15＝40（户），
补全条形统计图为：

故答案为：100；
（2）调查小组的估计合理．
理由如下：
因为1500×＝225（户），
所以根据该小区1周内使用7个及以上环保塑料袋的家庭约有225户．
【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了样本估计总体．
19．某数学小组要测量学校路灯P﹣M﹣N的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，测量结果如下：
测量项目
测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角α
α＝58°
从D处测得路灯顶部P的仰角β
β＝31°
测角仪到地面的距离
AB＝DC＝1.6m
两次测量时测角仪之间的水平距离
BC＝2m
计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）

【分析】延长DA，交PE于点F，则DF⊥PE，设AF＝xm，先在Rt△PFA中，利用锐角三角函数的定义求出PF的长，然后在Rt△PDF中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
解：如图：延长DA，交PE于点F，

则DF⊥PE，AD＝BC＝2m，AB＝CD＝EF＝1.6m，
设AF＝xm，
∴DF＝AF+AD＝（x+2）m，
在Rt△PFA中，∠PAF＝58°，
∴PF＝AF•tan58°≈1.6x（m），
在Rt△PDF中，∠PDF＝31°，
∴tan31°＝＝≈0.6，
∴x＝1.2，
经检验：x＝1.2是原方程的根，
∴PF＝1.6x＝1.92（m），
∴PE＝PF+EF＝1.92+1.6≈3.5（m），
∴路灯顶部到地面的距离PE约为3.5米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．如图①和图②，并给出的关键信息有：哥哥、妹妹、家、书店．哥哥妹妹同时从家外出．

（1）请根据给出的关键信息以及两幅图，用精炼的语言创设一个问题情境，恰好能表达图①和图②中图象对应的函数关系．
（2）请根据（1）一种所创设的情境，用精炼的语言描述一下第30分钟时，两图中所表达的现实情境．
（3）请根据一中所创设的情境，第35分钟时图①和图②中速度更快的是填图①和图②．
【分析】（1）根据给出的关键信息以及两幅图，用语言创设一个问题情境即可；
（2）根据（1）一种所创设的情境，进行回答即可；
（3）根据图象回答即可．
解：（1）哥哥和妹妹以相同的速度同时从家外出，20分钟后到达距离家900米的书店．哥哥到达书店后，立即以原来的速度返回家中（如图①），妹妹留在书店看了10分钟书后加快了速度返回家中（如图②）．
（2）第30分钟，哥哥在返回家的途中（或在离家450米处等），
妹妹即将开始返程回家（或仍在离家900米处等），
（3）根据图象可以得出：第35分钟时图①和图②中速度更快的是图②．
【点评】本题考查了函数的图形，解决本题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，AC＝CD，AD与BC相交于点E，点F在BC的延长线上，且AF＝AE．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若EF＝6，sin∠BAC＝，求⊙O的半径．

【分析】（1）由AE＝AF，AB是⊙O的直径，可以得出∠CAE+∠CEA＝90°，再根据AC＝CD，得出∠B+∠F＝90°，从而得出∠FAB＝90°即可；
（2）由锐角三角函数的定义得出，求出AE＝5，AC＝4，则可求出AB的长．
【解答】（1）证明：∵AE＝AF，
∴∠F＝∠CEA，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠CEA＝90°，
∵AC＝CD，
∴∠CAE＝∠D＝∠B，
∴∠B+∠F＝90°，
∴FA⊥AB，
∵AB是⊙O的直径，
∴AF与⊙O相切于点A；
（2）解：∵AE＝AF，∠ACB＝90°，
∴CF＝CE＝EF＝3，
∵∠CAB＝∠CEA，
∴sin∠CAB＝sin∠CEA＝，
∴，
∴AC＝，
∴，
∴AE＝5，
∴AC＝4，
∵sin∠CAB＝，
∴BC＝，
∴，
∴AB＝，
即⊙O的半径为．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
22．某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：
年度（年）
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年度纯收入（万元）
1.5
2.5
4.5
7.5
11.3

若记2016年度为第1年，在直角坐标系中用点（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况．如图所示（m＞0），y＝x+b（k＞0），y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2021年度的纯收入．

（1）能否选用函数（m＞0）进行模拟，请说明理由；
（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；
（3）甲农户准备在2021年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测甲农户2021年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求．
【分析】（1）根据m＝xy是否为定值即可判断和说明理由；
（2）通过点的变化可知不是一次函数，由（1）可知不是反比例函数，则可判断选用二次函数模拟最合理；
（3）利用已知点坐标用待定系数法求出解析式，然后计算出2021年即第6年度的纯收入y，然后比较结果即可．
解：（1）不能选用函数（m＞0）进行模拟，理由如下：
∵1×1.5＝1.5，2×2.5＝5，…
∴1.5≠5
∴不能选用函数（m＞0）进行模拟；
（2）选用y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），理由如下：
由（1）可知不能选用函数（m＞0），由（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）可知x每增大1个单位，y的变化不均匀，则不能选用函数y＝x+b（k＞0），
故只能选用函数y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0）进行模拟；
（3）由点（1，1.5），（2，2.5）在y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0）上
则，
解得：，
∴y＝0.5x2﹣0.5x+1.5
当x＝6时，y＝0.5×36﹣0.5×6+1.5＝16.5，
∵16.5＞16，
∴甲农户2021年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象特征、反比例函数的图象特征、待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的函数值等知识点，根据图象特征、正确判断函数的种类成为解答本题的关键．
23．问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．

（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．
【分析】（1）根据矩形的性质得∠DAB＝∠B＝90°，由等角的余角相等可得∠ADE＝∠BAF，利用AAS可得△ADE≌△BAF（AAS），由全等三角形的性质得AD＝AB，即可得四边形ABCD是正方形；
（2）利用AAS可得△ADE≌△BAF（AAS），由全等三角形的性质得AE＝BF，由已知BH＝AE可得BH＝BF，根据线段垂直平分线的性质可得即可得AH＝AF，△AHF是等腰三角形；
类比迁移：延长CB到点H，使BH＝AE＝6，连接AH，利用SAS可得△DAE≌△ABH（SAS），由全等三角形的性质得AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°，由已知DE＝AF可得AH＝AF，可得△AHF是等边三角形，则AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝6+2＝8，等量代换可得DE＝AH＝8．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵DE＝AF，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AD＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；

（2）解：△AHF是等腰三角形，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠ABH＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵DE＝AF，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AE＝BF，
∵DE＝AF，
∴BH＝AE，
∴BH＝BF，
∵∠ABH＝90°，
∴AH＝AF，
∴△AHF是等腰三角形；
类比迁移：解：延长CB到点H，使BH＝AE＝6，连接AH，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝AD，
∴∠ABH＝∠BAD，
∵BH＝AE，
∴△DAE≌△ABH（SAS），
∴AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°，
∵DE＝AF，
∴AH＝AF，
∴△AHF是等边三角形，
∴AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝6+2＝8，
∴DE＝AH＝8．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．