2022-2023学年广东省河源市紫金县苏区中学九年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省河源市紫金县苏区中学九年级（下）开学数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省河源市紫金县苏区中学九年级（下）开学数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  设，是一元二次方程的两个根，则的值是(    )A.  B.  C.  D. 2.  方程的根是(    )A.  B.
C. ， D. ，3.  如图，已知某广场菱形花坛的周长是米，，则花坛对角线的长等于(    )A. 米
B. 米
C. 米
D. 米4.  “凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了本图书，如果设该组共有名同学，那么依题意，可列出的方程是(    )A.  B.  C.  D. 5.  如图，把正方形沿着对角线的方向移动到正方形的位置，它们重叠的部分的面积是正方形面积的一半，若，则正方形移动的距离是(    )
 A.  B.  C.  D. 无法确定6.  菱形中，已知，，则此菱形的周长为(    )A.  B.  C.  D. 7.  如图是由个大小相同的正方体搭成的几何体，该几何体的俯视图(    )A.
B.
C.
D. 8.  若点是反比例函数图象上的一点，则此函数图象必经过点(    )A.  B.  C.  D. 9.  如图，菱形的对角线，的长分别为，，则这个菱形的周长为．(    )
 A.  B.  C.  D. 10.  如图，点是正方形外一点，连接，和，过点作的垂线交于，若，，下列结论：
≌；
；
点到直线的距离为；
．
则正确结论的个数有(    )
 A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11.  一元二次方程的一次项系数为______．12.  如图，正方形的各边分别平行于轴或者轴，蚂蚁甲和蚂蚁乙都由点出发，同时沿正方形的边做环绕运动，蚂蚁甲按顺时针方向以个单位长度秒的速度做匀速运动，蚂蚁乙按逆时针方向以个单位长度秒的速度做匀速运动，则两只蚂蚁出发后第三次相遇点的坐标是______．
13.  若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是          ．14.  如图，在中，，点是的中点，，则        ．
 15.  如图，将面积为的矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接交于点，若，则的长为________．
 16.  菱形两条对角线的长分别为和，它的高为______ ．17.  已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）18.  解方程：．四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.  本小题分
如图，点，在线段上，是等边三角形，且
求证：∽；
若，，求的长．
 20.  本小题分
如图，已知反比例函数的图象的一支位于第一象限．
该函数图象的另一分支位于第______象限，的取值范围是______；
已知点在反比例函数图象上，轴于点，的面积为，求的值．
21.  本小题分
如图，在四边形中，，，平分．
求证：四边形是菱形．
过点作，交的延长线于点，若，．
求菱形的面积．
求四边形的周长．
22.  本小题分
如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点．
求证：≌；
若，，求的长．
23.  本小题分
国家为了实现年全面脱贫目标，实施“精准扶贫”战略，采取异地搬迁，产业扶持等措施．使贫困户的生活条件得到改善，生活质量明显提高．某县为了全面了解贫困县对扶贫工作的满意度情况，进行随机抽样调查，分为四个类别：非常满意；满意；基本满意；不满意．依据调查数据绘制成图和图的统计图不完整．
 根据以上信息，解答下列问题：将图补充完整；通过分析，贫困户对扶贫工作的满意度、、类视为满意是________；市扶贫办从该县甲乡镇户、乙乡镇户共户贫困户中，随机抽取两户进行满意度回访，求这两户贫困户恰好是同一乡镇的概率． 24.  本小题分
如图，在正方形中，对角线、相交于点，、分别在、上的动点，且，连接、，的延长线交于点，连接．
求证：≌；
求证：；
当时，试判断的形状，并说明理由．
25.  本小题分
如图，矩形的顶点，分别在轴和轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过的中点，且与交于点，连接．
求反比例函数的表达式及点的坐标；
点是边上一点，若∽，求直线的解析式；
若点是反比例函数的图象上的一点，若的面积恰好等于矩形的面积，求点的坐标．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
，
则或，
解得或，
，
故选：．
利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 2.【答案】 【解析】【分析】
先将原方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了一元二次方程的解法--因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
【解答】
解：由原方程，得
，
，
或，
解得，，；
故选：．  3.【答案】 【解析】解：四边形为菱形，
，，，米，
，
为等边三角形，
米，米，
在中，根据勾股定理得：米，
则米，
故选：．
由四边形为菱形，得到四条边相等，对角线垂直且互相平分，根据得到三角形为等边三角形，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，即可确定出的长．
此题考查了勾股定理，菱形的性质，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：由题意得，，
故选B．
根据题意列出一元二次方程即可．
本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程，在解决实际问题时，要全面地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系．
 5.【答案】 【解析】解：设，则，由题意得，
，
解得，不合题意，舍去，
即平移的距离为，
故选：．
根据正方形面积的计算方法，列方程求解即可．
本题考查平移的性质，正方形的性质，掌握正方形面积的计算方法是正确解答的前提．
 6.【答案】 【解析】解：根据题意，设对角线、相交于则．
则由菱形对角线性质知，，．
所以，在直角中，由勾股定理得．
则此菱形的周长是．
故选C．
根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得，，在中，根据勾股定理可以求得的长，即可求菱形的周长．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算的长是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：从上往下看得到的平面图形是，
故选：．
根据俯视图的定义即可判断．
本题考查三视图，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 8.【答案】 【解析】解：点是反比例函数图象上的一点，
，
个选项中，只有点，，
故此函数图象必经过点，
故选：．
根据反比例函数图象的性质，，只有横纵坐标的乘积等于相同值的点，在一个图象上，进而得出答案即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数得出是解题关键．
 9.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记．
根据菱形的对角线互相垂直平分可得，，，再利用勾股定理列式求出，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．
【解答】解：四边形是菱形，
，，
，
根据勾股定理得，，
所以，这个菱形的周长．
故选D．
   10.【答案】 【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
又，
，
又，
≌，
所以正确；
，，
，
，
≌，
，
，
即，
所以正确；
在等腰中，利用勾股定理可得，
在中，利用勾股定理可得．
点到直线的距离小于，
所以点到直线的距离为是错误的，
所以错误；
在中，，，，
如图所示，过点作交延长线于点，

在等腰中，可得，
所以，
在中利用勾股定理可得，
即，
所以，
所以正确，
所以只有和、的结论正确，
故选：．
易知，，所以只需证明即可用说明≌；
易知，则，所以；
在中利用勾股定理求出值为，根据垂线段最短可知到直线的距离小于；则错误；
要求正方形的面积，则需知道正方形一条边的平方值即可，所以在中，，，，过点作交延长线于点，在中利用勾股定理即可．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：一元二次方程的一次项系数为，
故答案为：．
根据一元二次方程的定义和项、系数的定义得出即可．
本题考查了一元二次方程和项、系数等定义，能理解定义的内容是解此题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：由已知，正方形周长为，
甲、乙速度分别为单位秒，单位秒，
则两只蚂蚁每次相遇时间间隔为秒，
则两只蚂蚁相遇点依次为、、，
故答案为：．
根据两只蚂蚁运动速度和正方形周长，得到两只蚂蚁的相遇时间间隔，进而得到两只蚂蚁相遇的位置规律．
本题为平面直角坐标系内的动点坐标规律探究题，解答关键是找到两只蚂蚁相遇的位置的变化规律．
 13.【答案】 【解析】【分析】
此题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．
由一元二次方程的概念得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】
解：根据一元二次方程的定义可得：，
解得：，
故答案是：．  14.【答案】 【解析】解：，为中点，
，
，
，
．
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：设，，则，
由∽可得：，
，
，
，，
设交于．

在中，，
，
．
故答案为．
设，，则，构建方程组求出、即可解决问题；
本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
 16.【答案】 【解析】解：由题意知，，则菱形的面积，
菱形对角线互相垂直平分，
为直角三角形，，，
，
菱形的高．
故答案为：．
根据对角线的长度即可计算菱形的面积，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得为直角三角形，根据，可以求得的值，根据菱形的面积和边长即可解题．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，菱形面积的计算，本题中求根据，的值求是解题的关键．
 17.【答案】且 【解析】解：关于的方程有两个实数根，
，
解得：且．
故答案为：且．
根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键．
 18.【答案】解：原式可化为
即，
开方得，，
；
． 【解析】本题考查了解一元二次方程--配方法，熟悉完全平方公式是解题的关键．
先利用配方法将原式化为完全平方的形式，再用直接开平方法解答．
 19.【答案】证明：，
，
是等边三角形，
，
，，
，又，
∽；
∽，
，即，
解得，，则，
． 【解析】根据等边三角形的性质、三角形的外角的性质得到，，根据相似三角形的判定定理证明结论；
根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 20.【答案】三；；
点在第一象限，
轴，
，
，
解得． 【解析】【分析】
根据反比例函数的图象是双曲线．当时，则图象在一、三象限，且双曲线是关于原点对称的；
由对称性得到的面积为设、，则利用三角形的面积公式得到关于的方程，借助于方程来求的值．
本题考查了反比例函数的性质、图象，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点．根据题意得到的面积是解题的关键．
【解答】
解：根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且，则；
故答案是：三，；
见答案．  21.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
解：菱形中，，
，
，，
，
，
，
，
，
；
． 【解析】根据平行线的性质得到，根据角平分线定义得到，等量代换得到，根据等腰三角形的判定定理得到，根据菱形的判定即可得到结论；
由垂直的定义得到，等量代换得到，根据等腰三角形的判定得到，根据勾股定理得到，于是得到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 22.【答案】证明：
四边形，是正方形，
，，，
，
在和中，
，
≌；
≌，
，
四边形是正方形，，
，，
，，
，
，
，
． 【解析】由正方形，正方形可得，，，后利用即可证明结论；
由则可得，后在中，利用勾股定理可得的长，进而求得的长．
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 23.【答案】被调查的总户数为，
类别户数为，
补全图形如下：

；
画树状图如下：

由树状图知共有种等可能结果，其中这两户贫困户恰好都是同一乡镇的有种结果，
所以这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率为． 【解析】解：见答案；
贫困户对扶贫工作的满意度、、类视为满意是，
故答案为：；
见答案．
【分析】先由类别户数和所占百分比求得样本总量，再根据各类别户数和等于总户数求得的数量即可补全图形；
用、、户数和除以总户数即可得；
画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．  24.【答案】证明：四边形是正方形，
，
在和中，
，
≌；
由中≌，
，
，
，
，
；
如图，是等腰三角形，
理由是：，

，
，
，
，
是等腰三角形． 【解析】根据和正方形的性质，证明≌；
由≌得出，然后利用等角代换可得出，得出了结论．
利用等腰三角形三线合一得：，再由直角三角形斜边中线可得结论．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰三角形三线合一的性质，解答本题的关键是证明≌，利用等角代换解题．
 25.【答案】解：轴，点的坐标为，
，
点为的中点，
，
点的坐标为，
代入双曲线得；
反比例函数的表达式，
轴，
点的横坐标与点的横坐标相等为，
点在双曲线上，
点的纵坐标，
点的坐标为；
点的坐标为，的坐标为，点的坐标为，
，，
∽，
．
即：，
，
点的坐标为，
设直线的解析式
则
解得：，，
直线的解析式，
如图，过点作轴于点，

由有，直线的解析式，
，
，
，
矩形的顶点，分别在轴和轴上，点的坐标为，
，，
，
若的面积恰好等于矩形的面积，
，
，
，
点是反比例函数的图象上的一点，
 【解析】首先根据点的坐标和点为的中点表示出点的坐标，代入反比例函数的解析式求得值，然后将点的横坐标代入求得点的纵坐标即可；
根据∽，利用相似三角形对应边的比相等确定点的坐标后即可求得直线的解析式．
先求出，再用的面积恰好等于矩形的面积，求出点横坐标即可．
此题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及矩形的性质，面积公式，解本题的关键是求出反比例函数的解析式，解题时注意点的坐标与线段长的相互转化．