2022-2023学年广东省河源市紫金县琴江中学八年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省河源市紫金县琴江中学八年级（下）开学数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题等内容，欢迎下载使用。

1. 把分式3mnm+n中的m、n都扩大到原来的8倍，那么此分式的值( )
A. 扩大到原来的8倍B. 缩小到原来的8倍C. 是原来的18D. 不变
2. 甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式，有时候也被认为是汉字的书体之一，也是现存中国王朝时期最古老的一种成熟文字．如图为甲骨文对照表中的部分文字，若把它们抽象为几何图形，其中最接近轴对称图形的甲骨文对应的汉字是( )
A. 时B. 康C. 黄D. 奚
3. 下列等式成立的是( )
A. ba=b2a2B. ba=2b2aC. ba=b+2a+2D. ba=b−2a−2
4. 下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (−y2)3=y6C. (m2n)3=m5n3D. (−a)6÷a3=a3
5. 要使分式2x−3有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠3B. x≠−3C. x≥3D. x≥−3
6. 如图，等边△ABC的顶点A(1,1)，B(3,1)，规定把△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2020次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为( )
A. (−2 020，3+1)B. (−2 019，−3−1)
C. (−2 018，3+1)D. (−2 017，−3−1)
7. 如果关于x的分式方程2x−5+m+15−x=1无解，则m的值为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，BE与CD相交于F，则CF的长是( )
A. 1B. 43C. 53D. 2
9. 已知：如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点(点E，F不与线段BC，CD的端点重合)且BE=CF，连接OE，OF，EF.在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：
①△OEF是等腰直角三角形；
②△OEF面积的最小值是12；
③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+3；
④四边形OECF的面积是1．
所有符合题意结论的序号是( )
A. ①②③B. ③④C. ①②④D. ①②③④
10. 如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是( )
A. 15B. 30C. 45D. 60
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
11. 2017年11月5日19时45分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”的方式成功发射第二十四、二十五颗北斗导航卫星．这两颗卫星属于中圆地球轨道卫星，是我国北斗三号第一、二
颗组网卫星，开启了北斗卫星导航系统全球组网的新时代．
如图所示，在发射运载火箭时，运载火箭的发射架被焊接成了许多的三角形，这样做的原因是：______．
12. 如图，若△OAD≌△OBC，且∠O=75，∠C=10，则∠OAD=______°.
13. 计算：3x(4x−3)=______．
14. 若3m=5，3n=6，则3m+n的值是 ．
15. 如图，△ABC的中线BD、CE相交于点F，若△BEF的面积是3，则△ABC的面积是 ．
16. 如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠BAC=90°，∠B=45°，A(3,0)、C(1,12)，将△ABC沿x轴的负方向平移，在第二象限内B、C两点的对应点B1、C1正好落在反比例函数y=kx的图象上，则k=______．
17. 已知△ABC中，∠B=32°，tanB=ACAB，则∠C的度数为______．
三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）
18. 如图：在△ABC中，∠B=90°，AB=BD，AD=CD，求∠CAD的度数．
四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
a4b−5a2b+4b．
20. (本小题6.0分)
如图，E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．
求证：EB=DF(写出主要的证明依据)．
21. (本小题6.0分)
若∠1=∠2，∠A=∠D，求证：AB=DC．
22. (本小题9.0分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3，求△ABD的面积．
23. (本小题9.0分)
如图，某市有一块长为(3a+b)米，宽为(2a+b)米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座边长为(a+b)米的正方形雕像，求绿化面积是多少平方米？并求出当a=2，b=3时的绿化面积．
24. (本小题10.0分)
如图，已知，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=4cm，求AC的长．
25. (本小题10.0分)
如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AE=CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，求证：BD平分EF．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：把分式3mnm+n中的m、n都扩大到原来的8倍为：3×8m×8n8m+8n=3×8m×8n8(m+n)=8×3mnm+n，
∴分式的值扩大到原来的8倍，
故选：A．
先把分式3mnm+n中的m、n都扩大到原来的8倍，再约分，比较约分后的分式的值与原分式的值即可得到答案．
本题考查的是分式的基本性质，掌握“利用分式的基本性质判断分式的值的变化”是解本题的关键．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念观察图形判断即可．
【解答】
解：由图可知，只有甲骨文最接近轴对称图形，
因此，最接近轴对称图形的甲骨文对应的汉字只有“黄”．
故选C．
3.【答案】B
【解析】解：A．ba=aba2=b2ab≠b2a2，故不成立；
B.ba=2b2a，故成立；
C.ba≠b+2a+2，故不成立；
D.ba≠b−2a−2，故不成立．
故选：B．
根据分式的性质可逐项计算判断求解．
本题主要考查分式的性质，利用分式的性质解决问题是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，故A不符合题意；
B、(−y2)3=−y6，故B不符合题意；
C、(m2n)3=m6n3，故C不符合题意；
D、(−a)6÷a3=a3，故D符合题意；
故选：D．
利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】A
【解析】解：当分母x−3≠0，即x≠3时，分式2x−3有意义．
故选：A．
分式有意义时，分母不等于零．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
6.【答案】C
【解析】[分析]
根据轴对称判断出点C变换后在x轴下方，然后求出点C纵坐标，再根据平移的距离求出点C变换后的横坐标，最后写出坐标即可．
本题考查了坐标与图形变化−平移，等边三角形的性质，读懂题目信息，确定出连续这样的变换得到三角形在x轴上方还是下方是解题的关键．
[详解]
解：∵△ABC是等边三角形，AB=3−1=2，
∴点C到x轴的距离为1+2×32=3+1，
横坐标为2，
∴C(2,3+1)，
第2020次变换后的三角形在x轴上方，
点C的纵坐标为3+1，横坐标为2−2020×1=−2018，
∴点C的对应点C′的坐标是(−2018,3+1)，
故选C．
7.【答案】B
【解析】解：2x−5+m+15−x=1，
方程两边同时乘以x−5得，
2−(m+1)=x−5，
去括号得，2−m−1=x−5，
解得x=6−m，
∵原分式方程无解，
∴x=5，
∴m=1，
故选：B．
解方程得x=6−m，由方程无解，则x=5，即可求m的值．
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解的条件是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：过点E作EG⊥AB于点G，如图：
∵CD⊥AB于D，
∴EG/​/CD，
∴∠GEB=∠EFC，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴EC⊥CB，
又∵BE平分∠ABC，EG⊥AB，
∴EG=EC．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5．
在Rt△EBC和Rt△EBG中，
EB=EBEC=EG，
∴Rt△EBC≌Rt△EBG(HL)，
∠CEB=∠GEB，BG=BC=4，
∴∠CEB=∠EFC，AG=AB−BG=5−4=1，
∴CF=CE．
设CF=EG=EC=x，则AE=3−x，
在Rt△AEG中，由勾股定理得：
(3−x)2=x2+12，
解得x=43
∴CF的长是43．
故选：B．
过点E作EG⊥AB于点G，由EG⊥AB，CD⊥AB，可得EG//CD，由平行线的性质可得∠GEB=∠EFC；在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB的值；由HL判定Rt△EBC≌Rt△EBG，由全等三角形的性质可得∠CEB=∠EFC及AG的值，进而可判定CF=CE.设CF=EG=EC=x，则AE=3−x，在Rt△AEG中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值即为CF的长．
本题主要考查了勾股定理、角平分线的性质定理及等腰三角形的判定等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，
在△OBE和△OCF中，
OB=OC∠OBE=∠OCFBE=CF，
∴△OBE≌△OCF(SAS)，
∴OE=OF，
∵∠BOE=∠COF，
∴∠EOF=∠BOC=90°，
∴△OEF是等腰直角三角形；
故①正确；
②∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE=OF=12BC=1，
∴△OEF面积的最小值是12×1×1=12，
故②正确；
③∵BE=CF，
∴CE+CF=CE+BE=BC=2，
假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+3，
则EF=3，
由①得△OEF是等腰直角三角形，
∴OE=EF2=62．
∵OB=2，OE的最小值是1，
∴存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+3．
故③正确；
④由①知：△OBE≌△OCF，
∴S四边形OECF=S△COE+S△OCF=S△COE+S△OBE=S△OBC=14S正方形ABCD=14×2×2=1，
故④正确；
故选：D．
①易证得△OBE≌△OCF(SAS)，则可证得结论①正确；
②由OE的最小值是O到BC的距离，即可求得OE的最小值1，根据三角形面积公式即可判断选项②错误；
③利用勾股定理求得2≤EF<2，即可求得选项③正确；
④证明△OBE≌△OCF，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项④正确．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=12∠COD，
∵△PMN周长的最小值是6cm，
∴PM+PN+MN=6，
∴DM+CN+MN=6，
即CD=6=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°，
故选：B．
分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=12∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．
本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
11.【答案】三角形具有稳定性
【解析】解：这样做的原因是三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
根据三角形具有稳定性解答．
本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
12.【答案】95
【解析】解：∵△OAD≌△OBC，
∴∠D=∠C=10°，
∴∠DAC=∠D+∠O=10°+75°=85°，
∴∠OAD=180°−85°=95°，
故答案为：95°．
由全等三角形的性质可求得∠D，在△OAD中，利用外角的性质可求得∠DAC的度数，再利用平角的定义可求解．
本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
13.【答案】12x2−9x
【解析】解；原式=12x2−9x，
故答案为：12x2−9x．
根据单项式乘以多项式的法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
14.【答案】30
【解析】解：∵3m=5，3n=6，
∴3m+n=3m×3n=5×6=30．
故答案为：30．
逆向运用同底数幂的乘法法则计算即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
15.【答案】18
【解析】解：∵△ABC的中线BD、CE相交于点F，则点F为△ABC的重心，
由重心的性质可得：EFCF=12，
∵△BEF与△BCF等高，S△BEF=3，
∴S△BFC=6，
则S△BEC=S△BEF+S△BFC=3+6=9，
又E为AB中点，
∴S△ABC=2S△BEC=2×9=18．
故答案为：18．
由题意可知F为重心，则根据重心的性质有EFCF=12，又△BEF与△BCF等高，S△BEF=3，立得S△BFC=6，所以S△BEC=9，最后根据三角形中线的性质求△ABC面积即可．
本题考查了三角形的重心，熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．
16.【答案】−53
【解析】解：过C作CM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，
∵∠CAB=90°，∠B=45°，
∴AB=AC，
∴∠CAM+∠BAN=90°，又∠MCA+∠CAM=90°，
∴∠MCA=∠NAB，
在△ACM和△BAN中，
∠CMA=∠ANB=90°∠MCA=∠NABCA=BA，
∴△ACM≌△BAN(AAS)，
∵A(3,0)、C(1,12)，
∴CM=AN=12，AM=BN=2，
∴B(72,2)，
设反比例函数为y=kx(k≠0)，点C1和B1在该比例函数图象上，
由平移的性质，可设C1(m,12)，则B1(m+52,2)，
把点C1和B1的坐标分别代入y=kx，得k=12m；k=2(m+52)，
∴12m=2(m+52)，解得：m=−103，
则k=(−103)×12=−53．
故答案为：−53．
过C作CM垂直于x轴，过B作BN垂直于x轴，由AC与AB垂直，得到一对角互余，再由CM与MA垂直，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由∠B=45°得出AB=AC，且一对直角相等，利用AAS得出三角形ACM与三角形ABN全等，由全等三角形的对应边相等得到CM=AN，AM=BN，由A与C的坐标得出AM与CM的长，由OA+AM求出OM的长，确定出B的坐标，由平移的性质得到C1和B1的纵坐标不变，且横坐标相差52，设出C1与B1的坐标，分别代入反比例解析式中，得到两个关系式，消去k求出m的值，即可得到k的值．
此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，平移的性质，以及反比例函数的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
17.【答案】58°
【解析】解：∵tanB=ACAB，
∴∠A=90°，
∵∠B=32°，
∴∠C=90°−32°=58°．
故答案为：58°．
根据tanB=ACAB，知道∠A=90°，根据直角三角形两锐角互余即可得出答案．
本题考查了锐角三角函数的定义，根据tanB=ACAB推出∠A=90°是解题的关键．
18.【答案】解：∵△ABC中，∠B=90°，AB=BD，AD=CD
∴∠BAD=∠ADB=45°，∠DCA=∠CAD
∴∠BDA=2∠CAD=45°
∴∠CAD=22.5°
【解析】根据等腰三角形的性质可得到两组相等的角，再根据三角形外角的性质即可得到∠BDA与∠CAD的关系，从而不难求解．
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形的外角性质的综合运用．
19.【答案】解：原式=b(a4−5a2+4)=b(a2−1)(a2−4)=b(a+1)(a−1)(a+2)(a−2)．
【解析】首先提取公因式b，再利用十字相乘法可分解成b(a2−1)(a2−4)，然后再利用平方差公式进一步分解即可．
此题主要考查了十字相乘法、平方差公式、提公因式法分解因式，关键是注意一定要分解彻底．
20.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD(平行四边形的对边平行且相等)，
∴∠FCD=∠EAB(两直线平行，内错角相等)，
∵AE=CF，
∴△FCD≌△EAB(SAS)，
∴EB=DF．
【解析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等，可得AB/​/CD，AB=CD，根据两直线平行，内错角相等，可得∠FCD=∠EAB，由已知AE=CF，可证得△FCD≌△EAB(SAS)，所以EB=DF．
此题考查了平行四边形的性质(平行四边形的对边平行且相等)与全等三角形的判定与性质．
21.【答案】证明：在△ABC和△DCB中，∠A=∠D∠2=∠1BC=CB
∴△ABC≌△DCB(AAS)．
∴AB=DC．
【解析】由AAS证明△ABC≌△DCB，即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
22.【答案】解：作DE⊥AB于点E，

∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，CD=3，
∴DE=CD=3，
∵AB=10，
∴△ABD的面积为 12×3×10=15．
【解析】根据角平分线的性质得DE=CD，再根据三角形的面积公式求解即可．
本题考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
23.【答案】解：S阴影=(3a+b)(2a+b)−(a+b)2
=6a2+3ab+2ab+b2−a2−2ab−b2
=(5a2+3ab)平方米，
∴绿化的面积是(5a2+3ab)平方米；
当a=2，b=3时，
原式=5×4+3×2×3
=20+18
=38(平方米)，
∴当a=2，b=3时的绿化面积为38平方米．
【解析】阴影部分即绿化面积等于大长方形面积减去小正方形面积，化简得到最简结果；然后把a与b的值代入计算即可．
此题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24.【答案】解：∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=90°−∠A=60°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD=AD，
∴∠A=∠ABD=30°，
∴∠CBD=∠ABC−∠ABD=30°，
∵CD=4cm，
∴BD=2CD=8(cm)，
∴AD=BD=8cm，
∴AC=CD+AD=12cm，
∴AC的长为12cm．
【解析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ABC=60°，再利用线段垂直平分线的性质可得BD=AD，从而可得∠A=∠ABD=30°，进而可得∠CBD=30°，然后在Rt△BCD中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BD=2CD=8cm，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
25.【答案】解：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA=∠DEC=90°，
在Rt△ABF和Rt∠CDE中，
AB=CDAF=CE，
∴Rt△ABF≌Rt∠CDE(HL)．
∴BF=DE，
在△BFG和△DEG中，
∠BGF=∠DGE∠BFG=∠DEGBF=DE，
∴△BFG≌△DEG(AAS)，
∴EG=FG，
即BD平分EF．
【解析】根据HL证出Rt△ABF≌Rt△CDE，得出BF=DE，再根据AAS证出△BFG≌△DEG得出EG=FG，从而证得结论．
本题考查了全等三角形的性质和全等三角形判定的应用，注意：三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL.全等三角形的对应边相等，对应角相等．