数学（浙江宁波卷）2023年中考考前最后一卷（全解全析）

这是一份数学（浙江宁波卷）2023年中考考前最后一卷（全解全析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年中考考前最后一卷【浙江宁波卷】
数学·全解全析
第Ⅰ卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
A
B
D
C
A
B
D
A
B
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．﹣2023的相反数是（　　）
A． B． C．2023 D．3202
【答案】C
【点拨】根据相反数的定义，即可求解．
【解析】解：﹣2023的相反数是2023，
故选：C．
【点睛】本题考查的是相反数的定义，掌握只有符号不同的两个数叫做相反数是解题的关键．
2．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．在下列含有负数的运算中，运算结果是负数的为（　　）
A．（﹣2）+（﹣3） B．（﹣2）﹣（﹣3） C．（﹣2）×（﹣3） D．（﹣2）÷（﹣3）
【答案】A
【点拨】根据有理数的四则运算法则，逐项判断即可求解．
【解析】解：A、（﹣2）+（﹣3）＝﹣5，故本选项符合题意；
B、（﹣2）﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1，故本选项不符合题意；
C、（﹣2）×（﹣3）＝6，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则运算，熟练掌握有理数的四则运算法则是解题的关键．
3．据国家统计局统计，2022年全国城镇新增就业1206万人．其中“1206万”用科学记数法表示为（　　）
A．1.206×108 B．1.206×107 C．1206×105 D．1206×104
【答案】B
【点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解析】解：1206万＝12060000＝1.206×107．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【点拨】找到从几何体的左边看所得到的图形即可．
【解析】解：从左边看有两列，从左到右第一列是一个正方形，第二列是三个正方形．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了组合几何体的三视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
5．小文掷一枚质地均匀的骰子，前两次抛掷向上一面的点数都是6，那么第三次抛掷向上一面的点数是6的概率是（　　）

A． B． C． D．1
【答案】C
【点拨】弄清骰子六个面上分别刻的点数，再根据概率公式解答就可求出点数为3的概率．
【解析】解：根据概率公式P（向上一面点数是6）＝1÷6＝．
故选：C．
【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
6．一个圆锥的母线长为3cm，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则这个圆锥的底面圆半径为 （　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．cm
【答案】A
【点拨】根据弧长公式求出圆锥的底面圆的周长＝＝2π（cm），设这个圆锥的底面圆的半径为rcm，根据圆的周长公式得出2πr＝2π，再求出r即可．
【解析】解：圆锥的底面圆的周长＝＝2π（cm），
设这个圆锥的底面圆的半径为rcm，
则2πr＝2π，
解得：r＝1，
即这个圆锥的底面圆半径为1cm，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，能熟记弧长公式是解此题的关键，已知扇形的圆心角为n°，半径为r，那么扇形所对的弧的长度是．
7．某同学对七个数据42，35，46，3■，46，37，52进行统计分析，发现第四个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则下列统计量中不受影响的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【点拨】根据众数的定义求解即可．
【解析】解：由题意知，被污染的数字是十位数字是3的数，
把这组数据按照从小到大的顺序排列，42永远占据7个数的中间位置，
∴不受影响的是中位数，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了方差、平均数、众数、中位数，关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，AC＝4，D，F分别是AB，BC边的中点，DE⊥AC于点E．连接EF，则EF的长为（　　）

A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【点拨】先根据等边对等角得到∠A＝∠C＝45°，再由勾股定理得到，由线段中点的定义和三角形中位线定理得到，DF＝2，AC∥DF，再由DE⊥AC得到∠ADE＝45°＝∠A，DE⊥DF，由此求出DE＝1，即可利用勾股定理求出EF的长．
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝45°，
∵AC＝4，
∴，
∵D，F分别是AB，BC边的中点，
∴DF是Rt△ABC的中位线，，
∴，AC∥DF，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE＝45°＝∠A，DE⊥DF，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，三角形中位线定理，证明DF是Rt△ABC的中位线是解题的关键．
9．已知A（n，y1）、B（n+2，y2）在抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣2（m＞0）的对称轴的同侧，当|y1﹣y2|＝2时，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．0＜m≤2
【答案】A
【点拨】将抛物线的解析式变形为顶点式，由此可得出抛物线的对称轴为直线x＝1，利用二次函数图象上点的坐标特征，结合|y1﹣y2|＝2，可得出|4mn|＝2，分n+2≤1及n≥1两种情况，可求出m的取值范围，此题得解．
【解析】解：∵y＝mx2﹣2mx+m﹣2，
∴y＝m（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣2（m＞0）的对称轴为直线x＝1．
∵点A（n，y1），B（n+2，y2）在抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣2上，
∴|y1﹣y2|＝|m（n﹣1）2﹣2﹣[m（n+2﹣1）2﹣2]|＝|4mn|，
∵|y1﹣y2|＝2，
∴|4mn|＝2．
当n+2≤1时，n≤﹣1，
∴4mn＝﹣2，
∴m≤，
又∵m＞0，
∴0＜m≤；
同理：当n≥1时，0＜m≤．
∴m的取值范围是0＜m≤．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及不等式的性质，利用二次函数图象上点的坐标特征及|y1﹣y2|＝2，找出|4mn|＝2是解题的关键．
10．如图，AB、AC为⊙O的两条弦，，AC＝4，将劣弧折叠后刚好过弦AC的中点D，则⊙O的半径为（　　）

A． B． C．5 D．
【答案】B
【点拨】过点O作ON⊥BM于点N，然后在Rt△DDM中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【解析】解：作DE⊥AB交O于E点，则BD＝BE＝BC，作BM⊥AC于M点，作ON⊥BM于点N，
∴DM＝CM＝1，
在Rt△BDM中，
∴BM＝，
设MN＝x，
（3﹣x）2+12＝22+x2，
∴x＝1，
∵BN＝BM﹣MN＝3﹣1＝2，
在Rt△BNO中，OB＝，
∴R＝．
故选：B．

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，翻折的变换的性质，以及圆周角定理，作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
11．计算：＝　﹣1　．
【答案】﹣1．
【点拨】先化简各式，然后再进行计算，即可解答．
【解析】解：
＝1﹣2
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．因式分解：3x2+3y2﹣6xy＝　3（x﹣y）2　．
【答案】3（x﹣y）2．
【点拨】先提取公因式3，再根据完全平方公式分解因式即可．
【解析】解：3x2+3y2﹣6xy
＝3（x2+y2﹣2xy）
＝3（x﹣y）2，
故答案为：3（x﹣y）2．
【点睛】此题考查了综合利用公式法和提公因式法分解因式，正确掌握因式分解的方法是解题的关键．
13．在非零实数范围内规定a*b＝﹣，若x*（x﹣3）＝，则x的值为 　2　．
【答案】2．
【点拨】利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．
【解析】解：由题意得：
﹣＝，
解得：x＝2．
经检验，x＝2是原方程的根，
∴x＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，本题是新定义型题目，准确理解新规定并熟练应用是解题的关键．
14．《孙子算经》是我国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．其内容为：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有 　60　客人．
【答案】60．
【点拨】设有x客人，根据“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗”列出方程即可．
【解析】解：设有x客人．
根据题意，得x+x+x＝65，
解得x＝60．
答：有60客人．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．
15．如图，△ABC中，∠BAC＝35°，边BC与以AB为直径的⊙O相切于点B，将△ABC绕点A顺时针旋转，记旋转角度为α（0°＜α＜180°），旋转过程中，△ABC的边与⊙O相切时，α的值为 　90°或125°　．

【答案】90°或125°．
【点拨】当△ABC的边AB绕点A顺时针旋转到AB′的位置，根据切线的性质得到∠BAB′＝90°，当△ABC的边AC绕点A顺时针旋转到AC′的位置，根据切线的性质得到∠BAC′＝90°，于是得到结论．
【解析】解：当△ABC的边AB绕点A顺时针旋转到AB′的位置，
∵AB为⊙O的直径，AB′是⊙O的切线，
∴∠BAB′＝90°，
∴旋转过程中，△ABC的边与⊙O相切时，α＝90°，
当△ABC的边AC绕点A顺时针旋转到AC′的位置，
∵AB为⊙O的直径，AC′是⊙O的切线，
∴∠BAC′＝90°，
∵∠BAC＝35°，
∴∠CAC′＝125°，
综上所述，旋转过程中，△ABC的边与⊙O相切时，α的值为90°或125°，
故答案为：90°或125°．

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了旋转的性质和直角三角形的性质．
16．如图，正方形OABC与反比例函数在第一象限内的图象交于P，Q两点，OA上的点R满足QR⊥OP．
（1）若k＝4，PA＝1，则QB的长为 　3　；
（2）若△OQR的面积为，则实数k的值为 　2　．

【答案】（1）3；
（2）2．
【点拨】（1）根据正方形的性质得到OC＝AB＝BC＝OA＝4，BC∥OA求得yQ＝4，把y＝4代入y＝得到点Q的坐标为（1，4），求得CQ＝1，于是得到结论；
（2）过Q作QH⊥OA于H，根据矩形的性质得到CQ＝OH，QH＝OC，根据全等三角形的判定定理得到△QRH≌△OAP（ASA），由于S△OQH＝S△AOP＝，于是得到S△OQR＝k，根据题意列方程即可得到结论．
【解析】解：（1）∵k＝4，PA＝1，
∴S△OPA＝＝＝2，
∴OA＝4，
∴点P的坐标为（4，1），
则OA＝4，
∵四边形OABC是正方形，
∴OC＝AB＝BC＝OA＝4，BC∥OA
∴yQ＝4，
把y＝4代入y＝可得：x＝1，
点Q的坐标为（1，4），
∴CQ＝1，
∴BQ＝BC﹣CQ＝3；
（2）过Q作QH⊥OA于H，
则四边形OHQC是矩形，
∴CQ＝OH，QH＝OC，
∵QR⊥OP，
∴∠HQR+∠QRH＝∠QRH+∠AOP＝90°，
∵OC＝OA，
∴QH＝OA，
∵∠QHR＝∠OAP，
∴△QRH≌△OAP（ASA），
∴HR＝AP，
∵S△OQH＝S△AOP＝，
∴S△QRH＝S△AOP＝，
∴S△OQR＝k，
∵△OQR的面积为，
∴＝k，
解得k＝2或k＝0（不合题意舍去），
∴实数k的值为2，
故答案为：2．

【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共80分）
17．（1）计算：（2x+1）2+x（x﹣4）；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）5x2+1；
（2）x＞3．
【点拨】（1）利用完全平方公式和单项式乘多项式的法则展开，再合并即可求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解析】解：（1）（2x+1）2+x（x﹣4）
＝4x2+4x+1+x2﹣4x
＝5x2+1；
（2）解不等式3x﹣6＞0得：x＞2；
解不等式得：x＞3；
则不等式组的解集为x＞3．
【点睛】本题考查的是整式的运算，解一元一次不等式组．正确求出每一个不等式解集是解一元一次不等式组的基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．在如图所示的12个小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点上．仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图．
（1）在图1网格中找格点D，作射线BD，使得∠ABD＝∠CBD；
（2）在图2网格中找格点E，作直线BE交AC于点Q，使得AQ＝AB．

【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【点拨】（1）根据90°的一半是45°及网格线的特点作图；
（2）根据相似三角形的性质作图．
【解析】解：如下图：

（1）作∠ABC的平分线，平分线上的格点即为所求的点D；
（2）取格点E，连接BE，
则△ABQ～△CEQ，
∴AQ＝AC＝4＝AB，
∴点Q即为所求．
【点睛】本题考查了作图的应用和设计，掌握网格线的特点及相似三角形的性质是解题的关键．
19．随着科技进步发展，在线学习已经成为部分人自主学习的选择、某校计划为学生提供以下四类学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生的需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣的调查”，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

（1）这次抽样调查的样本容量是 　90　，在扇形统计图中“在线阅读”所在扇形圆心角的度数为 　96　°；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有学生1500人，请你估计该校对“在线讨论”最感兴趣的学生人数．
【答案】（1）90，96；
（2）见解析；
（3）200人．
【点拨】（1）根据在线答题的人数和所占的百分比即可求得本次调查的人数，根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中“在线阅读”对应的扇形圆心角的度数；
（2）用样本总人数减去其他在线学习方式的人数即可求出在线听课的人数，然后补全条形统计图即可；
（3）用该校的总人数乘以“在线阅读”所占的百分比即可得出答案．
【解析】解：（1）本次调查的学生总人数为：18÷20%＝90（人），
∴样本容量为90，
扇形统计图中“在线阅读”对应的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：90，96；
（2）在线听课的人数为：90﹣24﹣18﹣12＝36（人），
补全条形统计图如下：

（3）（人），
答：对“在线讨论”最感兴趣的学生大约200人．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由ON位置运动到底面CD垂直的OM位置时的示意图，已知AC＝0.8米，BD＝0.2米，α＝30°（参考数据：≈1.73，≈1.41）．
（1）求AB的长；
（2）若ON＝0.7米，求M、N两点的距离（精确到0.1米）．

【答案】（1）1.2米．
（2）1.2米．
【点拨】（1）过点B作BE⊥AC于点E，从而可知AE＝0.6米，然后根据∠ABE＝30°，可知AB＝2AE．
（2）过点N作FN⊥MO的延长线于点F，然后根据∠ONF＝∠ABE＝30°，可知OF＝ON＝0.35（米），最后利用勾股定理分别求出FN与MN的长度．
【解析】解：（1）过点B作BE⊥AC于点E，
∴四边形BECD是矩形，
∴BD＝CE＝0.2（米），
∴AE＝AC﹣CE＝0.8﹣0.2＝0.6（米），
∵∠ABE＝30°，
∴AB＝2AE＝1.2（米）．
（2）过点N作FN⊥MO的延长线于点F，
∴FN∥BE，
∴∠ONF＝∠ABE＝30°，
∴OF＝ON＝0.35（米），
在Rt△ONF中，
由勾股定理可知：NF＝＝0.35（米），
∴MF＝OM+OF＝ON+OF＝1.05（米），
在Rt△MNF中，
由勾股定理可知：MN＝≈1.2（米）．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质，本题属于中等题型．
21．如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数y＝kx的图象l2与l1交于点C（m，4）．
（1）求m的值及l2的表达式；
（2）一次函数y＝nx+1的图象为l3，且l1，l2，l3三条直线不能围成三角形，直接写出所有满足条件的n的值．

【答案】（1）m＝﹣2，l2的表达式为：y＝﹣2x；，
（2）﹣或﹣2或﹣．
【点拨】（1）根据待定系数法列方程组求解；
（2）当l3与l1或l2平行或过C点时，三条直线不得能围成三角形．
【解析】（1）由题意得：，
解得：，
∴l2的表达式为：y＝﹣2x；
（2）当l3∥l1时：n＝﹣，
当l3∥l2时：n＝﹣2，
当l3过C点时，﹣2n+1＝4，
解得：n＝﹣．
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行的问题，掌握待定系数法是解题的关键．
22．原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示，建立平面直角坐标系xOy，实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
小明训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
竖直高度y/m
1.8
2.43
2.88
3.15
3.24
3.15
根据上述数据，解决下列问题：
（1）直接写出实心球竖直高度的最大值是 　3.24　；
（2）求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（3）求实心球从出手到落地点的水平距离．
【答案】（1）3.24；
（2）y＝﹣0.09（x﹣4）2+3.24；
（3）实心球从出手到落地点的水平距离为10米．
【点拨】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值；
（2）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3.24，将点（0，1.8）代入于是得到结论；
（3）解方程即可得到结论．
【解析】解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（4，3.24），
∴实心球竖直高度的最大值是3.24m，
故答案为：3.24；
（2）由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为（4，3.24），
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3.24，
将点（0，1.8）代入，得1.8＝16a+3.24，
解得a＝﹣0.09．
∴抛物线的表达式为y＝﹣0.09（x﹣4）2+3.24；
（3）令y＝0，
∴0＝﹣0.09（x﹣4）2+3.24，
∴x1＝10，x2＝﹣2（舍）．
答：实心球从出手到落地点的水平距离为10米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
23．如图（1），在Rt△ABC中，．点D是BC边上任意一点（不与B，C重合），连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，连接CE，点F为AD中点，连接CF，EF．

（1）当BD＝2CD时，判断四边形CDEF的形状，并证明．
（2）点D在线段BC上的什么位置时，△DEF的面积最大？请说明理由．
（3）如图（1）中的△BDE绕点B旋转到如图（2）所示位置，得到△BD′E′，使得点A在直线D′E′上，连接CE′，点F′为AD′中点，AD′与BC交于点G，其他条件不变．求证：AE′﹣D′E′＝2CF′．
【答案】（1）四边形CDEF是菱形，理由见解析过程；
（2）当BD＝2CD时，△DEF的面积最大，理由见解析过程；
（3）见解析过程．
【点拨】（1）由锐角三角函数可求∠BAC＝60°，由直角三角形的性质可求DB＝2DE＝2CD，可证∠DAC＝∠DAE＝30°，可得CF＝EF＝DE＝CD，可得结论；
（2）设AC＝a，CD＝x，有三角形的面积公式和二次函数的性质可求解；
（3）由“SAS”可证△ABH≌△A'BD'，可得AH＝A'D'，由三角形中位线定理可得A'D＝2CF'，即可求解．
【解析】（1）解：四边形CDEF是菱形，理由如下：
∵∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，
∴∠BAC＝60°，
∴∠B＝30°，
∵DE⊥AB，
∴BD＝2DE，
∵BD＝2CD，
∴CD＝DE，
又∵∠ACD＝∠AED＝90°，
∴∠DAC＝∠DAE＝30°，
∴AD＝2CD＝2DE，
∵∠ACD＝∠AED＝90°，点F是AD的中点，
∴AD＝2CF＝2EF，
∴CF＝EF＝DE＝CD，
∴四边形CDEF是菱形；
（2）解：当BD＝2CD时，△DEF的面积最大，理由如下：
设AC＝a，CD＝x，则BC＝a，AB＝2a，BD＝a﹣x，DE＝BD＝（a﹣x），BE＝DE＝a﹣x，AE＝AB﹣BE＝x+a，
∵点F是AD中点，
∴S△DEF＝××AE•DE＝（x+a）×（a﹣x）＝﹣x2+x+a2，
∴当x＝时，S△DEF有最大值，
当BD＝2CD时，△DEF的面积最大；
（3）证明：作点A关于BC的对称点A'，点D'关于BE的对称点H，连接A'B，BH，A'D'，

则AB＝A'B，BD'＝BH，AC＝A'C，D'E＝HE'，
∴AE'﹣D'E'＝AE'﹣HE'＝AH，
由（1）可得：∠A'AB＝∠BD'E'＝60°，
∴△ABA'和△BHD'是等边三角形，
∴∠ABH＝∠A'BD'＝60°﹣∠A'BH，
∴△ABH≌△A'BD'（SAS），
∴AH＝A'D'，
∵点F'是AD'的中点，AC＝A'C，
∴A'D'＝2CF'，
∴AE'﹣D'E'＝AH＝2CF'．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24．如图1，已知⊙O的半径为2，A、B、D在⊙O上，DH经过点O且与AB垂直垂足为点H，点F是线段HB上的一个动点（不与H，B重合），连接DF并延长与⊙O交于点C，过点C作⊙O的切线CE交AB的延长线于点E．
（1）求证：EC＝EF；
（2）如图2，连接CA，CB，DE，DB，DA，已知∠ACD＝60°时，求DF•DC的值；
（3）在（2）的条件下，若∠CAB＝∠BDE，求证：DF•DC＝AC•DE．


【答案】（1）证明见上面详细过程；
（2）证明见上面详细过程；
（3）证明见上面详细过程；
【点拨】（1）连接OC，根据切线的性质得到，∠OCD+∠ECD＝90°，根据垂直及同圆的半径相等得到∠CFE＝∠ECD，进而证明EC＝EF；
（2）连接OB，根据同弧所对的圆周角相等，先证明△ABD为等边三角形，然后证明△BDC∽△FDB，推比例线段，求DF•DC的值；
（3）证明△CAB～△BDE，推比例线段，等量代换后得出BD2＝AC•DE，再根据（2）DF•DC＝DB2，等量代换后得出DF•DC＝AC•DE．
【解析】（1）证明：连接OC，如图所示：

∵⊙O的切线是CE，
∴∠OCD+∠ECD＝90°，
∵DH⊥AB，
∴∠HDB+∠HFD＝90°，
∵OD＝OC，
∴∠HDC＝∠CFE，
∴∠CFE＝∠ECD，
∴EC＝EF；
（2）解：连接OB，如图所示：

∵∠ACD＝60°，，
∴∠ACD＝∠ABD＝60°，
∵DH⊥AB且DH过圆心，
∴AH＝BH，
∴DB＝DA，
∴△ABD为等边三角形，
在Rt△OBH中，∠BOH＝60°，OB＝2，
∴OH＝OB＝1，
∴BH＝，
∴∠BCD＝∠DBF＝60°，
AD＝AB＝BD＝2BH＝2，
∠BDC＝∠FDB，
∴△BDC∽△FDB，
∴，
∴DF•DC＝DB2＝12；
（3）证明：∵△ABD为等边三角形，
∴∠ACD＝∠DBF＝60°，AD＝AB＝DB，
∴∠ACB＝∠DBE＝120°，
∵∠CAB＝∠BDE，
∴△CAB～△BDE，
∴，
∴，
∴DB2＝AC•DE，
∵DF•DC＝DB2，
∴DF•DC＝AC•DE．
【点睛】此题属于圆的综合题，考查了三角形相似的判定和性质、切线的性质、垂径定理、等边三角形的判定和性质，解题关键是找到三角形相似的条件．