数学（广东卷）2023年中考考前最后一卷（全解全析）

这是一份数学（广东卷）2023年中考考前最后一卷（全解全析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年中考考前最后一卷【广东卷】
数学·全解全析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．﹣5的绝对值是（　　）
A．15 B．-15 C．+5 D．﹣5
【答案】C
【分析】根据绝对值的意义直接判断即可．
【解答】解：|﹣5|＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a．
2．﹣42的值为（　　）
A．﹣8 B．8 C．﹣16 D．16
【答案】C
【分析】根据乘方的定义求解可得．
【解答】解：﹣42＝﹣4×4＝﹣16，
故选：C．
【点评】本题主要考查乘方，解题的关键是掌握乘方的定义．
3．如图，AB∥CD，且被直线l所截，若∠1＝54°，则∠2的度数是（　　）

A．154° B．126° C．116° D．54°
【答案】B
【分析】由平行线的性质得到∠2与∠3的关系，再根据对顶角的性质得到∠1与∠3的关系，最后求出∠2．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠2+∠3＝180°．
∵∠3＝∠1＝54°，
∴∠2＝180°﹣∠3
＝180°﹣54°
＝126°．
故选：B．

【点评】本题考查了平行线的性质，掌握“对顶角相等”和“两直线平行，同旁内角互补“是解决本题的关键．
4．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连接CA并延长至点D，连接CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝18m，则线段AB的长度是（　　）

A．9m B．12m C．8m D．10m
【答案】A
【分析】根据三角形的中位线定理解答即可．
【解答】解：∵A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝18m，
∴AB=12DE＝9m，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
5．点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（　　）
A．（﹣5，3） B．（ 5，﹣3） C．（﹣3，5） D．（ 3，﹣5）
【答案】C
【分析】根据题意，M点的横坐标是﹣3，纵坐标是﹣5，据此求出M点的坐标即可．
【解答】解：∵点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，
∴M点的横坐标是﹣3，纵坐标是﹣5，
∴M点的坐标为（﹣3，5）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了点的坐标，注意每个象限的点的坐标的特征．
6．均匀的正方体骰子的六个面上的点数分别为1、2、3、4、5，6，抛掷正方体骰子一次，朝上的面上的点数不大于2的概率为（　　）
A．16 B．13 C．12 D．23
【答案】B
【分析】先求出一个均匀的正方体的骰子六个面上的6的个数，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：因为一个均匀的正方体的骰子六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6，只有1，2两面不大于2，
所以抛掷一次向上的面的点数不大于2的概率是26=13．
故选：B．
【点评】本题考查的是概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．如图，∠ABC＝30°，边BA上有一点D，DB＝4，以点D为圆心，以DB长为半径作弧交BC于点E，则BE＝（　　）

A．43 B．4 C．23 D．8
【答案】A
【分析】连接DE，过点D作DF⊥BC于点F，解直角三角形求出BF，EF可得结论．
【解答】解：如图，连接DE，过点D作DF⊥BC于点F，

在Rt△BDF中，∠ABC＝30°，BD＝4，
由cos∠ABC=BFBD得BF=BD⋅cos∠ABC=4×32=23，
依题意可得：DB＝DE，
∴△BDE是等腰三角形，
∵DF⊥BC，
∴BF=EF=12BE（等腰三角形三线合一），
∴BE=2BF=43．
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形，垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
8．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则BC的长为（　　）

A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【答案】A
【分析】由平行四边形ABCD，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA＝OC，OB＝OD，又由∠ODA＝90°，根据勾股定理，即可求得BC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10cm，BD＝6cm，
∴OA＝OC=12AC＝5（cm），OB＝OD=12BD＝3（cm），
∵∠ODA＝90°，
∴AD=AO2-DO2=25-9=4（cm），
∴BC＝AD＝4（cm），
故选：A．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（　　）

A．∠B＝∠BCD B．CB＝CD
C．DE+DC＝AE D．∠BCD+∠ADC＝90°
【答案】C
【分析】判断出△ADC是等边三角形，可得结论．
【解答】解：由旋转的性质可知，∠BAC＝∠EDC＝120°，
∵A，D，E共线，
∴∠ADC＝180°﹣∠EDC＝60°，
∵CA＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴AD＝CD，
∴DE+DC＝AE．
故选：C．
【点评】本题考查性质的性质，等边三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论中：（1）2a+b＝0，（2）a+b+c＜0，（3）3a﹣c＝0，（4）当a=12时，△ABD是等腰直角三角形，正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据二次函数的对称轴、二次函数图象上点的特征、勾股定理及其逆定理分析解答即可．
【解答】解：其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1和3，则函数的对称轴为直线x＝1，
（1）∵x=1=-b2a，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，故正确；
（2）由图象知，当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故正确；
（3）当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，故错误；
（4）依题意，函数的表达式为：y=12(x+1)(x-3)=12(x-1)2-2，
则点A、B、D的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（1，﹣2），
∴AB2＝16，AD2＝4+4＝8，BD2＝8，
∴AD＝BD，AB2＝AD2+BD2
故△ABD是等腰直角三角形符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．3sin60°＝　32　．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接代入sin60°=32，然后计算即可．
【解答】解：原式=3×32=32，
故答案为：32．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．
12．将抛物线y＝x2﹣2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是　y＝（x﹣1）2+1　．
【答案】y＝（x﹣1）2+1．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2﹣2向右平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣2；
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝（x﹣1）2﹣2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+1，
故答案为y＝（x﹣1）2+1．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
13．已知x，y满足方程组x-5y=20224x-2y=2023，则x+y的值为 　13　．
【答案】13．
【分析】利用方程②﹣方程①，可得出3x+3y＝1，再在方程的两边同时除以3，即可求出x+y的值．
【解答】解：x-5y=2022①4x-2y=2023②，
方程②﹣方程①得：3x+3y＝1，
∴x+y=13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，两方程作差后，找出3x+3y＝1是解题的关键．
14．如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC＝25°，则∠P＝　50　度．

【答案】见试题解答内容
【分析】首先利用切线长定理可得PA＝PB，再根据∠OBA＝∠BAC＝25°，得出∠ABP的度数，再根据三角形内角和求出．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，
∴PA＝PB，∠OBP＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠BAC＝25°，
∴∠ABP＝90°﹣25°＝65°，
∵PA＝PB，
∴∠BAP＝∠ABP＝65°，
∴∠P＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故答案为：50．
【点评】此题主要考查了切线长定理、切线的性质以及三角形内角和定理，得出∠ABP是解决问题的关键．
15．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点A（x，y），我们把点B（1x，1y）称为点A的“倒数点”．如图，矩形OCDE的顶点C为（3，0），顶点E在y轴上，函数y=2x（x＞0）的图象与DE交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则△OBC的面积为 　14或32　．

【答案】14或32．
【分析】设点A的坐标为（m，2m），由“倒数点”的定义，得点B坐标为（1m，m2），分析出点B在某个反比例函数上，分两种情况：①点B在ED上，由ED∥x轴，得m2=2m，解出m＝±2，（﹣2舍去），得点B纵坐标为1，此时，S△OBC=12×3×1=32；②点B在DC上，得点B横坐标为3，即1m=3，求出点B纵坐标为：m2=16，此时，S△OBC=12×3×16=14．
【解答】解：设点A的坐标为（m，2m），
∵点B是点A的“倒数点”，
∴点B坐标为（1m，m2），
∵点B的横纵坐标满足1m⋅m2=12，
∴点B在某个反比例函数上，
∴点B不可能在OE，OC上，
分两种情况：
①点B在ED上，
由ED∥x轴，
∴点B、点A的纵坐标相等，即m2=2m，
∴m＝±2（﹣2舍去），
∴点B纵坐标为1，
此时，S△OBC=12×3×1=32；
②点B在DC上，
∴点B横坐标为3，即1m=3，
∴点B纵坐标为：m2=16，
此时，S△OBC=12×3×16=14；
故答案为：14或32．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，新定义的阅读理解能力，三角形面积的求法．解题关键是理解“倒数点”的定义．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
16．解不等式组2(x-1)≤x+1x+22≥x+33．
【答案】0≤x≤3．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再把其解集在数轴上表示出来．
【解答】解：2(x-1)≤x+1①x+22≥x+33②，
解不等式①，得x≤3，
解不等式②，得x≥0，
故原不等式组的解集为0≤x≤3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．先化简，再求值：(2x+2x2-1+1)÷x+1x2-2x+1，其中x＝4．
【答案】x﹣1，3．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（2x+2x2-1+x2-1x2-1）•(x-1)2x+1
=x2+2x+1x2-1•(x-1)2x+1
=(x+1)2(x+1)(x-1)•(x-1)2x+1
＝x﹣1，
当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
18．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝18，BE＝4，求AB的长．

【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求出∠E＝∠DFC＝90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE＝DF，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出AE＝AF，由线段的和差关系求出答案．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
BD=CDBE=CF，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵DE＝DF，AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∵AB＝AE﹣BE＝AF﹣BE＝AC﹣CF﹣BE，
∴AB＝18﹣4﹣4＝10．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛是古代的一种容量位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．
（1）1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？
（2）盛酒16斛，需要大桶、小桶各多少？（写出两种方案即可）
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设需要大桶m个，小桶n个，根据盛酒的总量＝1个大桶的盛酒量×使用大桶的数量+1个小桶的盛酒量×使用小桶的数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数，即可求出结论．
【解答】解：（1）设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，
依题意，得：5x+y=3x+5y=2，
解得：x=1324y=724．
答：1个大桶可以盛酒1324斛，1个小桶可以盛酒724斛．
（2）设需要大桶m个，小桶n个，
依题意，得：1324m+724n＝16，
∴n=384-13m7．
∵m，n均为非负整数，
∴m=1n=53，m=8n=40，m=15n=27，m=22n=14，m=29n=1，
∴共有5种方案，方案1：使用1个大桶，53个小桶；方案2：使用8个大桶，40个小桶；方案3：使用15个大桶，27个小桶；方案4：使用22个大桶，14个小桶；方案5：使用29个大桶，1个小桶（任选2个方案即可）．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
20．中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 　200　名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1180名，请估计参加B项活动的学生数；
（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．

【答案】（1）200；
（2）见解答；
（3）472名；
（3）14．
【分析】（1）由D的人数除以所占的比例即可；
（2）求出C的人数，补全条形统计图即可；
（3）由该校共有学生乘以参加B项活动的学生所占的比例即可；
（4）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）在这次调查中，一共抽取的学生为：40÷72°360°=200（名），
故答案为：200；
（2）C的人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（名），
补全条形统计图如下：

（3）1180×80200=472（名），
答：估计参加B项活动的学生为472名；
（4）画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，
∴小杰和小慧参加同一项活动的概率为416=14．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．掌握公式：概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
21．如图，直线y＝kx+3与x轴、y轴分别交于点B、C，与反比例函数y=mx交于点A、D．过D作DE⊥x轴于E，连接OA，OD，若A（﹣2，n），S△OAB：S△ODE＝1：2
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点C的坐标；
（3）直接写出关于x不等式：mx＞kx-3的解集为 　﹣2＜x＜0或x＞4　．

【答案】（1）y=-12x；
（2）C（2，0）；
（3）﹣2＜x＜0或x＞4．
【分析】（1）先求出点B的坐标，再求出△OAB的面积，再利用S△OAB：S△ODE＝1：2得到S△ODE＝6，最后利用k的几何意义求出答案即可；
（2）先求出点A的坐标，再求出一次函数的表达式，再求出与x轴的交点C的坐标即可；
（3）先求出一次函数和反比例函数交点的坐标，再结合图象求出答案即可．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝kx+3得，y＝3，
∴B（0，3），
∵A（﹣2，n），
∴△OAB的面积=12×2×3=3，
∵S△OAB：S△ODE＝1：2，
∴S△ODE＝6，
∵DE⊥x，点D在反比例函数y=mx的图象上，
∴12|m|=6，
∴m＝±12，
∵m＜0，
∴m＝﹣12，
∴反比例函数关系式为：y=-12x；
（2）把A（﹣2，n）代入y=-12x得：n=-12-2=6，
∴A（﹣2，6），
把A（﹣2，6）代入y＝kx+3得：6＝﹣2k+3，
∴k=-32，
∴一次函数关系式为：y=-32x+3，
把y＝0代入y=-32x+3中得：0=-32x+3，
∴x＝2，
∴C（2，0）；
（3）∵一次函数和反比例函数相交，
∴-32x+3=-12x；
∴x1＝4，x2＝﹣2，
∴y1＝﹣3，y2＝6，
∴一次函数和反比例函数的交点A（﹣2，6），D（4，﹣3），
由图可知-12x＞-32x+3时，﹣2＜x＜0或x＞4，
故答案为：﹣2＜x＜0或x＞4．
【点评】此题是反比例函数和一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式、利用图象解不等式等知识，数形结合并准确计算是解题的关键．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是弧AC的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．
（1）求证：AE⊥AB；
（2）求证：DF2＝FH•FC；
（3）若DH＝9，tanC=34，求半径OA的长．

【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）10．
【分析】（1）根据垂径定理得到OE⊥AC，求得∠AFE＝90°，求得∠EAO＝90°，于是得到结论；
（2）根据圆周角定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（3）连接AD，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）∵D是AC的中点，
∴OE⊥AC，
∴∠AFE＝90°，
∴∠E+∠EAF＝90°，
∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C，
∴∠CAE＝∠AOE，
∴∠E+∠AOE＝90°，
∴∠EAO＝90°，
∴AE⊥AB；
（2）∵OD＝OB，
∴∠B＝∠FDH，
∵∠C＝∠B，
∴∠C＝∠FDH，
∵∠DFH＝∠CFD，
∴△DFH∽△CFD，
∴DFFH=CFDF，
∴DF2＝FH•CF；
（3）连接AD，在Rt△ADH中，
∵∠DAC＝∠C，
∴tan∠DAC＝tanC=34，
∵DH＝9，
∴AD＝12，
在Rt△BDA中，∵tanB＝tanC=34，
∴sinB=35，
∴AB＝20，
∴OA=12AB＝10．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
23．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为（2，0），点D(-3，52)在抛物线上．

（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，点P在y轴上，且点P在点C的下方，若∠PDC＝45°，求点P的坐标；
（3）如图②，E为线段CD上的动点，射线OE与线段AD交于点M，与抛物线交于点N，求MNOM的最大值．

【答案】（1）y=-12x2-x+4；
（2）(0，32)；
（3）258．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）解法一：如图，过点P作PE⊥PD交DC的延长线于点E，过点P作x轴的平行线FG，过点D作DF⊥PF于点F，过点E作EG⊥PF于点G，设点P坐标为（0，m），先证明△DFP≌△PGE（AAS），可得出E(52-m，3+m)，再求出直线CD的表达式为y=12x+4，最后把E(52-m，3+m)代入y=12x+4求解即可；
解法二：把CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CF，连接DF，先证明△CDG≌△FCH（AAS），再求出直线CF的表达式为y=-13x+32，即可求解；
解法三：过P作PE⊥CD于点E，过点D作DF⊥OC于F，利用勾股定理求出CD=325，然后证明△DCF∽△PCE，再利用勾股定理求出PC=52，即可求解；
（3）解法一：过点N作NH∥y轴，交直线AD于点H，则∠HNO＝∠QOM，由△MNH∽△MOQ得到MNMO=NHOQ，利用待定系数求得直线AD的表达式为y=-12x+1，设H(t，-12t+1)，得到N的坐标(t，-12t2-t+4)，其中﹣3≤t≤0，可得出NH=-12t2-12t+3，所以MNMO=-12(t+12)2+258，再根据二次函数的性质即可求解；
解法二：过点N作NQ∥x轴，交直线AD于点Q，则∠NQA＝∠QAB，由△MNQ∽△MOA得出MNMO=NQOA，利用待定系数法求得直线AD的表达式为y=-12x+1，设点N坐标为(t，-12t2-t+4)，得出点Q坐标为(t2+2t-6，-12t2-t+4)，其中﹣3≤t≤0，可得出MNMO=-12(t+12)2+258，再根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵点A（2，0），D(-3，52)在抛物线上，
∴4a+4a+c=09a-6a+c=52，
解得：a=-12c=4，
∴抛物线的表达式为y=-12x2-x+4．
（2）解法一：
如图，过点P作PE⊥PD交DC的延长线于点E，过点P作x轴的平行线FG，过点D作DF⊥PF于点F，过点E作EG⊥PF于点G，
∴∠DPE＝90°，∠DFP＝∠PGE＝90°，
又∵∠PDC＝45°，
∴△PDE为等腰直角三角形，PE＝PD，
设点P坐标为（0，m），
∵点D坐标为(-3，52)，
∴DF=52-m，PF＝3，
∵DF⊥PF，EG⊥PG，
又∵∠DPE＝90°
∴∠FDP+∠DPF＝90°，∠EPG+∠DPF＝90°
∴∠FDP＝∠EPG，
在△DFP和△PGE中，
∠DEP=∠PGE∠FDP=∠GPEDP=PE，
∴△DFP≌△PGE（AAS），
∴PG=DF=52-m，EG＝PF＝3，
∴E(52-m，3+m)，
∵C为抛物线y=-12x2-x+4与y轴交点，
当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
又∵点D坐标为(-3，52)，
设直线CD的表达式为y＝kx+b，
∴b=4-3k+b=52，
解得：k=12b=4，
∴直线CD的表达式为y=12x+4，
把E(52-m，3+m)代入y=12x+4，
得：12(52-m)+4=3+m，
解得：m=32，
∴点P的坐标为(0，32)．
解法二：
把CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CF，连接DF，

∴△CDF为等腰直角三角形，CD＝CF，∠CDF＝45°，
∴DF与y轴的交点即为P点，
作DG⊥y轴于G，作FH⊥y轴于H，
∴∠DGC＝∠CHF＝90°，
∴∠DCG+∠CDG＝90°，
∵∠DCF＝90°，
∴∠DCG+∠HCF＝90°，
∴∠CDG＝∠HCF．
在△CDG和△FCH中，
∠DGC=∠CHF∠CDG=∠FCHCD=FC，
∴△CDG≌△FCH（AAS），
∴GC＝HF，DG＝CH，
∵C为抛物线y=-12x2-x+4与y轴交点，
∴C（0，4），
∵点D坐标为(-3，52)，
∴DG＝3，CG=4-52=32，
∴HF=CG=32，CH＝DG＝3，
∴OH＝4﹣3＝1，
∴F坐标为(32，1)，
设直线CF的表达式为y＝k1x+b1，
∴32k1+b1=1-3k1+b1=52，
解得：k1=-13b1=32，
∴直线CF的表达式为y=-13x+32，
当x＝0时，y=32，
∴点P的坐标为(0，32)．
解法三：
过P作PE⊥CD于点E，过点D作DF⊥OC于F，

∴∠PEC＝∠DFC＝90°，
∵C为抛物线y=-12x2-x+4与y轴交点，
∴C（0，4），
∵点D坐标为（﹣3，52），
∴F(0，52)，
∴DF＝3，CF=4-52=32，
∴CD=DF2+CF2=32+(32)2=325，
∵∠DFC＝∠PEC＝90°，
又∵∠FCD＝∠ECP，
∴△DCF∽△PCE，
∴CFDF=CEPE，
∴CEPE=323=12，
∴PE＝2CE．
∵PE⊥CD，∠PDC＝45°，
∴∠DPE＝∠PDC＝45°，
∴PE＝DE，
∴CD=CE+DE=CE+PE=CE+2CE=3CE=325，
∴CE=125，PE=5，
∴PC=CE2+PE2=(125)2+(5)2=52，
∴OP=OC-PC=4-52=32，
∴点P的坐标为(0，32)．
（3）解法一：
过点N作NH∥y轴，交直线AD于点H，则∠HNO＝∠QOM，

又∵∠NMH＝∠OMQ，
∴△MNH∽△MOQ，
∴MNMO=NHOQ，
由点A坐标为（2，0），点D坐标为(-3，52)，
可求得直线AD的表达式为y=-12x+1，
当x＝0时，y＝1，
∴直线AD与y轴的交点坐标为Q（0，1），
∴OQ＝1，
设H(t，-12t+1)，
∴N的坐标为(t，-12t2-t+4)，其中﹣3≤t≤0，
∴NH=-12t2-t+4-(-12t+1)=-12t2-12t+3，
∴MNMO=NHOQ=-12t2-12t+3=-12(t+12)2+258，
∵-12＜0，-3＜-12＜0，
∴t=-12时，MNMO取最大值，最大值为258．
解法二：
过点N作NQ∥x轴，交直线AD于点Q，则∠NQA＝∠QAB，

又∵∠NMQ＝∠OMA，
∴△MNQ∽△MOA，
∴MNMO=NQOA，
由点A坐标为（2，0），点D坐标为(-3，52)，
可求得直线AD的表达式为y=-12x+1，
设点N坐标为(t，-12t2-t+4)，
∴点Q坐标为(t2+2t-6，-12t2-t+4)，其中﹣3≤t≤0，
∴NQ＝t﹣（t2+2t﹣6）＝﹣t2﹣t+6，
∴MNMO=NQOA=-t2-t+62=-12(t+12)2+258，
∵-12＜0，-3＜-12＜0，
∴t=-12时，MNMO取最大值，最大值为258．





【点评】本题考查函数的综合应用，解题的关键是掌握函数的相关应用和性质．